Full text of "Niels-Henrik Abel : tableau de sa vie et de son action scientifique"

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NIELS-HENRIK ABEL

TABLEAU

DE SA VIE ET DE SON ACTION SCIENTIFIQUE

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Extrait des Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux,

t. I (3« Série).

Durdeaux. — luip. G. Gounouilhov, rue Cuiraude, 11.

o/.iû. M^

)-J03TRYCK AP J. JaBQBK, gTOCKHOLM.

NIELS-HENRIK ABEL

TABLEAU

DE SA VIE ET DE SON ACTION SCIENTIFIQUE

PAR

PROFESSEUR A L'UNIVEBSITÉ DE CHRISTIANIA

TRADUCTION FRANÇAISE

Revue et considérablement augmentée par l'auteur

ORNE D'UN PORTRAIT D'ABEL

PARIS

G AU THIER-VIL L AR S

IMPRIMEUR-LIBRAIRE DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU
DES LONGITUDES, SUCCESSEUR DE MALLET-BAGHELIER ,

Qnai des Angnstins, 55.

1885

PREFACE

Les notices suivantes ont été publiées pour la plus fi^rande partie
dans plusieurs livraisons de la Revue Scandinave pour les sciences, les
arts et l'industrie, éditée à Stockholm (^). De prime abord cependant, je
n'ai pu compter qu'une description circonstanciée de la vie et des
œuvres d'Abel, en supposant qu'à un degré quelconque elle pût satisfaire
les hommes spéciaux, présentât aussi à la long-ue un intérêt durable à
la plupart des lecteurs d'une telle Revue. Je me réservais donc d'interrom-
pre ma narration — ou plutôt ma série d'esquisses détachées, paraissant
à des intervalles irréguliers, — aussitôt que cela paraîtrait commandé
par les circonstances. Mais j'espérais en tous cas, lors même que je me
bornerais à présenter quelques fragments, que ce serait aux yeux d'un
public Scandinave une entreprise méritant d'être tentée que d'essayer à
éclaircir ce qu'avait fait Abel et quelles furent les circonstances de sa
vie. Dans la mesure où je réussirais, il en ressortirait une idée plus ou
moins claire des plans et des efforts de notre mathématicien, ou que du
moins j'éveillerais chez le lecteur le sentiment de leur importance, et,
quoi qu'il en soit, les circonstances de sa vie ont été assez remarquables
pour donner à réfléchir à tous les amis de la science.

D'après le plan primitif, les articles devaient, autant que possible,
former chacun un ensemble indépendant. Souvent aussi, ils s'étaient
suivis à des intervalles assez considérables. Le tout n'était pas fait
d'avance. A différentes reprises je fus donc amené, pendant la publica-
tion, à entreprendre des recherches nouvelles, puisant à des sources
connues et aussi à d'autres jusqu'à présent inexplorées.

(i) iVorrfîoi- Tidskrift for vetemkap, konst och industri utgift'cn af Icttcrstcdska Fôrcningen
1880.

II PRÉFACE.

Peu à peu, je fus conduit de la sorts à des conclusions contraires sur
tous les points aux notions générales, c'est-à-dire à celles que j'avais
admises au commencement. Mais les difficultés qui étaient déjà assez
grandes d'avance, lorsqu'en décrivant la vie d'un personnage on devait
parler de progrès accomplis dans une science abstraite, ces difficultés
croissaient maintenant d'une manière notable. Il fallait entrer dans la
discussion des questions délicates sur l'origine de certaines découvertes
analytiques, qui, par un hasard singulier, devaient avoir été faites
presque simultanément, et d'une manière pleinement indépendante, par
Abel et par son éminent émule, Jacobi. Mais le changement qui s'opérait
ainsi au milieu de mon travail, dans la conception des faits, ne pouvait
aussi être sans influence sur la composition dans les parties suivantes
de la biographie; et il fallait surtout donner plus d'extension aux expli-
cations mathématiques, tout en gardant une forme suffisamment
populaire.

De cette façon, lorsque les parties abstraites de cet essai durent
prendre relativement un très grand développement sans être toujours
facilement compréhensibles en tous les points capitaux pour la pluralité
de ces lecteurs, il fut évident qu'en voulant continuer la biographie sur
la môme échelle jusqu'au bout, je finirais par me mettre en conflit avec
les intérêts de la Revue elle-même.

Dès lors il valait mieux s'adresser aux seuls mathématiciens ou
essayer de faire paraître la biographie comme un livre indépendant,
destiné à ceux qui s'intéressaient spécialement à la vie et au sort d'Abel
ou à ce que son génie avait su créer

Je dus ainsi me décider, après quelques réflexions, à ne pas m' arrêter
trop longtemps aux choses purement biographiques, et sous ce rap-
port, il fallait s'en tenir à une narration des derniers jours. Pour pou-
voir expliquer avec les détails nécessaires au moins ce qui a été d'une
importance historique, il fallait renoncer à donner ce qui n'était que
des traits intéressants de sa vie privée. De cette façon, il est arrivé que
la narration a été un peu brusquement interrompue quand je suis
arrivé au moment où Abel avec ses camarades quittait Dresde pour faire
son voyage à Vienne et en Italie. Pareillement, il fallait renoncer, en
conséquence, à reproduire les mêmes détails de sa vie à Paris et à expli-
quer pour les lecteurs quelle était là sa position parmi les savants. Je
ne pouvais même qu'effleurer la question de ses études et des œuvres
importantes qu'il y accomplit, bien qu'avec celles-ci commence un

PHKFACE. m

épisode d'un bien haut intérêt dans l'histoire des matliématiqucs. Il
retourna dans son pays, et de graves événements le forcèrent à s'arrêter
en même temps que s'ouvrait l'époque de la grande découverte des
fonctions elliptiques. Sur tout ce temps et celui qui suivit, il aurait
certainement été d'un grand intérêt de s'étendre avec un peu plus de
détails sur la connexion des faits et des découvertes qui se succédèrent ;
et pour cela il serait bon et instructif de présenter les choses dans leur
ordre chronologique, en présentant pendant la narration les personnages
eux-mêmes qui ont agi. Mais au lieu de cela, pour abréger, il faudrait
maintenant se restreindre à une exposition résumée.

C'est sous la pression de ce manque de liberté, dû au changement
des circonstances, que les dernières parties de la biographie ont été
composées. Mais la rédaction étant finie, à cause de la grande étendue
qu'avaient prise ces esquisses, il fut décidé que cette partie finale ne
devrait plus être publiée dans la Revue même ; en revanche, la biogra-
phie paraîtrait, comme faisant un ensemble, aux frais de l'association,
et serait distribuée ainsi aux abonnés. En conséquence, la biographie
paraîtra en volume dans l'année 1884.

C'est de cette biographie qu'il a été donné dans ce qui suit une
traduction. Le savant mathématicien français qui, avec tant de zèle et
de sacrifice de temps, s'est mis à l'œuvre pour cette entreprise, a pensé
qu'en dépit de ses défauts visibles, ces esquisses et ces explications
pouvaient trouver de bienveillants lecteurs parmi ses compatriotes et
même dans toute l'Europe savante. Et alors, bien que le temps m'ait
manqué pour refaire le travail en entier, j'ai consenti à ce que la
traduction fût publiée. Sur quelques points cependant j'ai corrigé le
texte primitif, et surtout dans les dernières parties, oii j'ai fait aussi
quelques additions.

Pour remplir quelques lacunes trop fortes dans la narration et pour
pouvoir expliquer aussi avec plus de détails d'autres choses de quelque
importance dans l'histoire de la science, j'ajouterai ici, d'après le désir
de mon collaborateur, quelques chapitres supplémentaires.

C.-A. BjERKNES.

NIEL8-HEN1IIK ABKL

L'entrée à l'école et les quatre premières années d'étudiant,
jusqu'au départ de Christiania en 1825.

Avant tout, je pense que, si l'on veut
faire des progrès en Matliéniatiqucs, il
faut étudier les maîtres et non les élèves.

Abel.

Niels-Henrik Abel est né au presbytère de Findo, diocèse de
Cbrisliansand, le 5 août 180-2. Son père avait nom Sôren-Georg
Abel ; sa mère, fille d'un marchand de Risor, s'appelait Ane-Marie,
née Simonsen. Dans Tannée 1803, le père fut nommé pasteur à
Gjerreslad, où il éleva son fils et lui donna la première éducation,
en même temps qu'à son frère aîné, jusqu'à son entrée, en
novembre 1815, comme élève à TÉcole cathédrale de Christiania.

Dans les premières années de son séjour à fécole, il n'attira
pas particulièrement l'attention; il semble que l'étude même des
mathématiques lui ait au premier abord présenté peu d'attraits.
Mais, dans l'été de 1818, B. Holmboe, nommé au commencement
de cette année lecteur à VÉcole cathédrale, eut fidée de consacrer
deux heures par semaine, dans la classe où se trouvait Abel, à
exercer les élèves à résoudre par eux-mêmes de petits problèmes
d'algèbre et de géométrie; à partir de ce moment, les aptitudes
mathématiques du jeune écolier commencèrent à se révéler, et
bientôt le maître fut obligé de choisir exprès pour Abel des ques-
tions spéciales. Dès lors, Abel se consacra aux mathématiques
a: avec la passion la plus ardente, et il fit dans cette science des

2 MKLS-IILMUK AI5KL. — ^^1.

progrès rapides, dont le génie seul est capable. » En peu de temps
il acquit la connaissance des mathématiques élémentaires, et,
suivant son désir, Holmboc lui donna régulièrement des leçons
particulières de hautes mathématiques. Après avoir, avec l'aide de
son maître, jeté un coup d'œil rapide sur les principes prélimi-
naires, il lut avec lui Ylnlroductio d'Euler, les InslUutiones
calcidi differenlialis, ainsi que les Inslitiitlones calciili inlegralis.
Après rétude de ces ouvrages d'Euler, il continua ses lectures
sans le secours de son guide. Il prit connaissance des écrits de
Lacroix, de Francœur, de Poisson, de Gauss, de Garnier, mais
surtout de ceux de Lagrange, et « il commença déjà à traiter par
lui-même différentes parties des mathématiques (/). »

Muni de ce fonds de connaissances, Abel quitta fécole pour
entrer, en juillet 1821, à TUniversilé.

Un savoir aussi étendu ne pouvait toutefois être acquis sans
porter tort à Tinstruction dans les autres branches, et sa prédilec-
tion exclusive pour une science spéciale devait parfois Tentraîner
à négliger ses autres devoirs.

Un jour on trouva sur le siège du mathématicien récalcitrant
un billet portant ces mots d'un style dégagé : « Riddervold s'ima-
gine que j'ai écrit ma composition de style latin; mais il se
trompe joliment! Abel. » Cette anecdote, recueillie de la bouche
même de l'éminent homme d'État qui avait été le maître du jeune
homme pour l'étude des classiques, est certainement un trait
caractéristique de la vie d'écolier d'Abel.

Néanmoins, il n'était en aucune façon un étudiant aussi mal
préparé qu'on a bien voulu le dire; il n'est pas plus exact de
prétendre, comme on Ta fait, qu'il débuta par un échec dans sa
science Hworite. En dépit de tout ce qui, à l'école, l'avait détourné
de ses autres devoirs, il ne lui manqua qu'un simple demi -point
pour obtenir la mention landahilis; c'est seulement l'histoire qui
le fit descendre jusqu'au chiffre 4. Il soutint brillamment ses

(•) Voir la Notice nécrologique publiée par Holmboe dans le Magazin for Naturci-
denskaberne, année 1829, et la préface des CKuvrcs complètes de N.-H. Abel,
Ire édition; Christiania, 1839.

KNTi;f:E A i/uNivEiLsiTf:. :i

examens pour la partie inatlicmatique, en arithmétique et en
géométrie, et le fait est mentionné dans les registres de TUniver-
silé, où la note est accentuée par Taddition d'un long serpent (^).

En considération de la situation gênée de son père, le jeune
homme avait à Técole obtenu une bourse, avec renseignement
gratuit. Le père mourut vers cette époque (1820), avant que
l'écolier fût devenu étudiant, et sa mère, qui survivait, n'était
nullement en état de faire la dépense nécessaire pour son entretien
à l'Université. Aussi n'est-il pas étonnant que les professeurs de
l'Université aient porté leur attention sur le pauvre et studieux
élève que Ilolmboe avait eu le grand mérite d'avoir découvert et
encouragé. Ajoutons que c'est par son excellente méthode d'ensei-
gnement, en conduisant graduellement et dans un ordre judicieux
son disciple à travers l'étude des auteurs les plus clairs et les plus
classiques, qu'il a préparé le brillant avenir de son élève.

En septembre, aussitôt après avoir soutenu Yexamen arlhim,
Abel obtint une des places vacantes à la fondation universitaire
(Regentsen), faveur dont il continua à jouir jusqu'à l'année 1825,
où il entreprit son grand voyage à l'étranger. Et comme ce secours,
ainsi qu'il résulte d'une lettre des membres du Sénat de l'Univer-
sité, insérée dans le Morgenblad du 16 décembre 1829, ne pouvait
être suffisant pour un jeune homme dépourvu de tout, plusieurs
des professeurs de l'Université se cotisèrent pour constituer de leurs
propres deniers une pension (c en vue de conserver ce rare talent
à la science, faveur dont son zèle soutenu et sa bonne conduite le
rendaient plus que digne, d

Pour juger de l'état de gêne contre lequel le futur mathématicien
avait eu à lutter jusque-là, au commencement de ses études à
l'Université, il suffira de lire le récit d'un de ses camarades à cette
époque, récit navrant, mais caractéristique. Abel était si pauvre,
raconte le professeur Rasch, — qui occupait en même temps que lui
un logement au Regentsen , — et si dénué de tout ce qui répond aux

(^) C'est-à-dire d'un trait de plume ondulé, au moyen duquel, en Norvège, on a
coutume de faire reâsortir la note la plus excellente. Ici ce signe était particulière-
ment bien marqué. (l>.)

4 KIELS-IIENHIK ABKL. — § I.

premières nécessités de la vie, que lui et son frère ne posséda lent
à eux deux qu'une paire de draps pour leur lit. Quand cette paire,
par hasard, était à la lessive, les deux frères couchaient sans draps.

Cependant, grâce au secours qui lui vint, il put dès lors
poursuivre ses études universitaires et terminer la préparation
de Yexamen philosophiciim, qu'il soutint Tannée suivante, en
juin 182-2.

Le jeune étudiant était toutefois trop rempli d'idées pour
pouvoir toujours consacrer son attention tout entière aux leçons
des professeurs de l'Université. C'est ainsi que pendant une leçon
de Sverdrup, à ce que dit la tradition, il se leva brusquement de
sa place, au grand ctonnement de l'auditoire, et se précipita vers
la porte, en répétant à haute voix : Jeg har detH}).

A l'examen de mathématiques subi devant Rasmussen, tout se
passa, cela va sans dire, comme d'habitude, c'est-à-dire d'une
manière excellente. ïlansteen a dû cependant être mécontent de
ce que son éminent élève en astronomie n'atteignait que le
chiffre 2 (2), tandis que la note de physique se partageait en
deux autres : remarquablement bien pour les démonstrations
mathématiques, bien seulement pour la partie expérimentale.
Abel obtint cependant cette fois, comme pour Yexamen artium,
la mention médiocre haud illaudabilis, bien que, d'après le mode
actuel de compter les points dans Yexamen philosophicum, il
eût dû obtenir la mention la plus favorable {^).

(<) J'y suis!

(*) A l'Université de Norvège, les notes obtenues aux examens s'expriment ordi-
nairement de la façon suivante ;

1 = remarquablement bien := laudalilis prœ ceteris;

2 = très bien = laudahilis ;

3 := bien =: haud illaudabilis ;

4 izz passable = non contemnendus , etc.

Ainsi Abel obtenait la note la plus excellente 1 pour les démonstrations, mais
seulement la note médiocre 3 pour la partie expérimentale. Ce qui était assez
extraordinaire, c'est qu'on dédoublât la note de pbysique. (B.)

(3) C'est-à-dire la mention laudabilis. En elTet, pour certains examens, il était si
rare qu'on obtînt comme moyenne générale des épreuves, la mention laudahilis prœ
ceteris qu'on s'est accoutumé à dire « la meilleure note » (bedsle Karakter) pour
désigner le simple laudabilis. (B.)

IMII'MIKIIKS ANMKS h'KTlJlUANT. 5

Ces détails, en apparence insignifiants, ont un certain intérôt,
en mettant d'abord à môme de juger de l'état des connaissances
d'Abel, et aussi, comme nous le verrons, en considération de ce
qui se passa dans la suite.

Dès son séjour à Técole, animé par la lecture des maîtres
classiques, il avait commencé à traiter par lui-môme différentes
parties de sa science d'adoption. Il conçut entre autres Fidée
hardie d'attaquer le problème de la résolution de l'équation
générale du cinquième degré. Comme son futur rival Jacobi,
Abel avait, ainsi que nous l'avons vu tout à l'heure, étudié
pendant son temps d'école Xlnlroduclio d'Euler. Comme Abel,
Jacobi avait aussi, à cet âge précoce, dirigé ses regards et sa
puissante intelligence vers l'étude de ce difficile problème, dont
la solution sous la forme proposée dépassait de si loin, connue
on l'a démontré depuis, les forces de l'Analyse à cette époque.

« C'est là un problème )), dit Lejeune-Dirichlet, « où plus d'un
géomètre, parmi ceux qui se sont fait un grand nom, a trouvé lo
premier exercice de ses forces, et l'on conçoit aisément, en effet,
l'attrait spécial que ce problème devait offrir à un talent naissant,
alors que l'impossibilité de la solution telle qu'on la cherchait » —
savoir, au moyen des radicaux seulement — (c n'était pas encore
démontrée. A la célébrité » , ajoute-t-il, «que tant d'efforts infruc-
tueux avaient donnée à cette question, se joignait celte circons-
tance particulière, que le problème, appartenant à une branche
qui confine aux éléments, semblait pouvoir être abordé sans une
grande somme de connaissances acquises ».

Étant encore à l'école, Abel crut avoir découvert la solution du
problème. Par l'intermédiaire du professeur Hansteen le résultat
trouvé fut envoyé au professeur Degen, à Copenhague, avec
prière, s'il était possible, de le présenter à la Société Royale des
Sciences de Danemark. Dans sa réponse à Hansteen, datée du
21 mai 1821, Degen écrit qu'il communiquera avec plaisir ce
iMémoire à la Société Royale. « Ce travail, lors môme que le but
proposé ne serait pas atteint, prouve une intelligence et une

6 NIELS-HENRIK ABEL. — | I.

perspicacité peu communes, surtout à cet âge. J'ajouterai cepen-
dant une condition, en priant M. Abel de m'envoyer une démons-
tration détaillée de son résultat, et en même temps un exemple
numérique j choisi parmi les équations telles que celle-ci....
Cette addition sera, j'en suis convaincu, un lapis lydius très
utile pour lui-même ; car on sait ce qui est advenu à Meier Hirsch

avec son eupr^xa. ))

Plus tard, dans sa correspondance, le mathématicien danois,
auquel les connaissances extraordinaires du « brave Abel » et sa
tentative hardie avaient inspiré une haute admiration, écrit ces
remarquables paroles, que Ton peut regarder comme ayant
exercé une influence décisive sur les études et les travaux futurs
du jeune géomètre : « Je ne puis m'empêcher, à cette occasion»,
dit-il, <c d'émettre le vœu que le temps et les forces intellectuelles,
consacrés par un esprit comme M. Abel à une question que je
regarde comme stérile, soient dirigés vers un sujet dont le
perfectionnement auTa les plus importantes conséquences pour
l'Analyse entière et son application à la dynamique; je veux dire
les transcendantes elliptiques. Avec des dispositions convenables
pour ce genre de recherches, le travailleur ne s'arrêtera pas aux
nombreuses et belles propriétés de ces fonctions, quelque remar-
quables qu'elles soient par elles-mêmes, mais», ajoute-t-il — et
cette prédiction, Abel et Jacobi en ont fait une réalité — « il
découvrira des détroits de Magellan, conduisant à de vastes
régions d'un seul et immense océan analytique. »

Le mathématicien danois termine sa lettre par l'exposition
d'un théorème, découvert par lui quelque temps auparavant, et
qui eût constitué une généralisation du théorème d'addition
des fonctions elliptiques, si par malheur il ne se fût pas trouvé
complètement faux en dehors du cas particulier.

Il va sans dire que l'éminent élève de l'École cathédrale de
Christiania reconnut bientôt que son raisonnement était insoute-
nable, et subit ainsi son premier échec.

piŒMiÈRFS anm':f:s d'i':tudiant. 7

Une année n'était pas encore écoulée depuis la soutenance de
son examm pJnlosophiciim,j lorsqu'il publia un travail mathéma-
tique, imprimé dans le Magazin for Nalxirvidenskaberne,
année 18^8, 1^^ semestre, 2° cahier. Cet article, qui parut
précédé d'un avertissement du professeur Ilanstccn, s'excusant
de ce qu'on avait admis un mémoire de mathématiques dans un
recueil consacré aux sciences naturelles, avait pour titre :
a Méthode générale de trouver des fonctions d'une seule quantité
variable, lorsqu'une propriété de ces fonctions est exprimée par
une équation entre deux variables indépendantes; parN.-H. Abel,
étudiant. » Il fut suivi, dans le cours de la môme année, d'un
autre mémoire, imprimé dans les deux cahiers suivants : cr Sur la
résolution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies)).

D'autre part, c'est probablement à cette période, peut-être dès
l'époque où il était élève de l'École latine, qu'il écrivit, mais
sans les publier, la plus grande partie des petits mémoires, que,
d'après les indications de Holmboe, il avait rédigés en langue
norvégienne, et qui figurent en tête du tome second de ses
Œuvres complètes. Un autre de ces mémoires, composé origi-
nairement dans la même langue, appartient au plus tôt à la fin
de l'année 1825, et a été publié par Abel lui-même dans le
Magazin, sans doute immédiatement avant son départ pour
l'étranger.

Bien que les travaux que nous venons de mentionner contiennent
déjà des choses remarquables, ils appartiennent toutefois, pour la
plupart, à la catégorie des moins importants, surtout lorsqu'on
les compare à ceux qui ont suivi; ils ne révèlent pas encore
l'auteur éminent, ni à plus forte raison le grand géomètre. Pendant
quelque temps encore, dans tous ses essais de débutant, on
continue à remarquer, à côté de l'influence des grands maîtres
classiques, quelques traces de méthodes mathématiques surannées
dans certaines directions et do^it il dut épurer les conceptions
avant de parvenir à dominer son sujet et à se mouvoir à l'aise
sur les hauteurs où il devait s'élever graduellement.

Peu à peu il commença, d'abord pour son usage personnel, à

8 NIELS-HENRIK AHEI.. — | I.

se servir de la langue française^ dans ses travaux, dont il sentait
rimporiance toujours croissante. A quelle époque remonte celte
habitude? c'est une question qui, à ce moment, n'est pas encore
pleinement élucidée, mais dont la solution ne serait pas sans
intérêt.

Nous ferons observer ici que son mémoire intitulé : « Propriétés
remarquables , ete. )), est désigné dans l'édition de Holmboe,
comme s'il eût été le premier de ses travaux posthumes dans
lequel il eût employé la langue française. On sait d'ailleurs avec
certitude que ce mémoire a été écrit, ainsi que plusieurs autres,
avant ses voyages, ce qui semblerait ne pouvoir s'entendre que
de son plus grand et dernier voyage en Allemagne et en France
dans l'année 18*25. Mais d'après ce qui a été éclairci plus tard, il
paraîtrait au contraire que ce mémoire — petit travail extrêmement
remarquable, bien qu'entaché des défauts mêmes que nous
signalions tout à l'heure — serait précisément celui dont parle
Abel dans une lettre écrite de Copenhague au lecteur Holmboe.
11 résulterait de là que ce travail était déjà terminé à l'époque
dont nous nous occupons maintenant, c'est-à-dire dans la première
moitié de l'année 1823.

Pour renforcer encore la probabilité de nos conjectures, qui
nous intéressent au point de vue historique, comme éclairant la
première manifestation indécise d'une idée féconde, nous pourrons
par anticipation faire remarquer que, dans les six mois qui ont
suivi l'époque où nous sommes, Abel a certainement employé le
français, puisque dans une lettre du Sénat de l'Université, en date
du 11 janvier 1824, il est question d'un mémoire écrit dans cette
langue et différent de celui que nous venons de citer.

Dans l'été de 1823, et par suite à l'époque où il recevait encore
les secours des professeurs de FUniversité, il entreprit, comme il
l'ésulte déjà de ce que nous venons de dire, son premier voyage,
pour visiter Copenhague. D'après le récitde Hansteen, a le généreux
professeur Rasmussen avait envoyé à Abel, dans une lettre

VOYAGIi A COPKNHAGUE. 9

amicale, cent specicdalcr ('), pour le mettre en (ii\i de visiter
cette ville, et, pendant son séjour, de faire la connaissance des
mathématiciens célèbres, les professeurs De^en et v. Schmidten. »
A son arrivée, Abel écrit sur-le-champ, suivant sa promesse, à
son maître, « son cher ami », le lecteur Ilolmboe. La lettre est
datée du 15 juin 18^3. En général, la cordiale intimité entre
Ilolmboe et l'éminent élève qui, à peine deux ans auparavant, se
trouvait encore sous sa direction à TEcole cathédrale, se montre
dans toutes les lettres où le disciple s'adresse à son maître ou
parle de lui. Quelques passages de cette correspondance, croyons-
nous, ont un certain intérêt, comme peinture du temps auquel
Abel appartenait, et aussi par la lumière qu'ils répandent sur sa
personne et sur ses différentes relations.

« Le premier jour », dit-il, «: nous n'avons pu avancer que de
trois milles. Le lendemain nous arrivions à Drobak, où nous
avons été retenus deux jours et où je me suis trouvé en compagnie
chez Z. . . , qui a trois filles très jolies. — Le jour d'après, nous avons
eu bon vent et nous sommes sortis de la baie de Christiania; les
deux jours suivants, tout a été à merveille. Je suis arrivé vendredi
à Copenliague, et je me suis précipité immédiatement chez la sœur
de M"'^ Hansteen, M""^ Fredriksen, où j'ai été extrêmement bien
reçu... y> Il parle ensuite des mathématiciens de Copenhague, de
l'état des bibliothèques, et de l'opinion des savants sur la Norvège.
Au sujet de Thune, il dit que c'est « un homme excessivement
bienveillant et affable, mais, à mon avis, un peu pédant. H m'a
reçu de la manière la plus courtoise. — Aujourd'hui, je suis allé
chez le professeur Degen, le plus drôle de corps que tu puisses
imaginer; il m'a fait beaucoup de compliments, entre autres en
me disant qu'il aurait beaucoup à apprendre de moi, ce qui m'a
mis dans un cruel embarras, comme tu peux croire. Il a une jolie
bibliothèque.... Je n'ai pas encore visité les bibliothèques de cette
ville; mais, d'après ce qu'on m'en a dit, elles ne doivent pas être
bien fournies d'ouvrages de mathématiques, ce qui est fâcheux. »

(^) Environ ooo francs,

10 NIELS-IIENRIK ADKL. — § I.

— « Les hommes de science ici, » ajonte-l-il plus loin, a sont
persuadés qu'il n'y a que des barbares en Norvège; je me débats
de toutes mes forces pour leur prouver le contraire. »

Pendant son séjour à Copenhague, il habita chez son oncle, le
capitaine Tuxen, où il se trouvait extrêmement bien. Cet oncle
lui avait offert l'hospitalité gratuite pour tout le temps de son
séjour. Sa famille était nombreuse et intéressante; il avait huit
enfants; aussi Abel se promettait-il beaucoup d'agrément de son
voyage. «Les dames de celte ville», écrit-il avec une étourderie
très peu galante, «sont affreusement laides )>. Mais, comme
d'habitude, cédant à son bon naturel, il s'efforce aussitôt de
réparer son impertinence en ajoutant: «elles sont pourtant
gracieuses ».

Dans sa lettre suivante à Holmboe, datée du 24 juin 1823, ou,
comme il s'exprime en tête de son épître, de l'année « k 606432 i2 19
(tiens compte des décimales) », — ce qui donne, suivant le calcul
écrit au-dessous par Holmboe, 1823,567 = 24 juin 1823 (i),— il
entre maintenant dans le détail de ses études et de ses travaux.
Il se plaint de ce que les mathématiques ne soient pas précisément
florissantes à Copenhague, et il n'est pas encore parvenu « à dépis-
ter parmi les étudiants quelque garçon un peu solide». Cependant
pour Degen il professe une haute estime : « Il est fort en diable;
il m'a montré plusieurs de ses petits travaux qui témoignent
d'une grande finesse. »

La lettre d'Abel contient un passage particulièrement remar-
quable, auquel nous faisions tout à l'heure allusion. «Le petit
Mémoire qui traitait des (oncUons inverses des transcendantes
elliptiques (2), et où j'avais prouvé une chose impossible, je l'ai
prié (Degen) de le lire d'un bout à l'autre; mais il n'a pu y
découvrir aucune fausse conclusion, ni comprendre où était
l'erreur. Dieu sait comment je m'en tirerai! ».

('; Le calcul de Holml)oe est doublement inexact. L'extraction de la racine cubique
donne 1823,591 = 3 août 1823. 11 est singulier que cette erreur ait été commise par
celui qui a reçu la lettre.

(2)^11 est à remarquer qu'Abel se sert ici des mots français. (B )

VOYAGK A COPKNIIAGUE. \i

On voit par là que, dès avant son départ pour Copenhague, il
avait rédigé un petit mémoire, auquel il avait donné en partie
un titre français, et dans lequel l'idée de Yinversion des intégrales
elliptiques s'était fait jour. Cette idée fondamentale, qui devait se
montrer si fructueuse, existait donc déjà dans son premier germe,
bien que sous une forme, à ce qu'il semble, défectueuse. C'est
grâce à cette idée que, peu de temps après, les découvertes
capitales fixités par Legendre quarante ans auparavant et peu ap-
préciées de ses compatriotes, trouvèrent enfin leur voie féconde.

Parmi les mémoires qu'Abel n'a jamais publiés lui-même, sans
doute à cause des fautes qu'il y avait reconnues, et que Holmboe
a désignés, d'après ce que nous avons dit plus haut, comme au
moins rédigés avant qu'il entreprît son grand voyage, celui dont
nous parlons est précisément le huitième du tome second (*). Ce
mémoire est aussi très court, écrit en français, et inséré comme
le premier de la série de ses mémoires composés dans cette
langue, C'est là que l'idée de l'inversion a été formulée; mais elle
y est appliquée à des fonctions d'un degré trop haut de généralité,
plus haut que celui des transcendantes elliptiques, ce qui rend le
résultat de l'inversion illégitime et inexact en dehors du cas
restreint de ces transcendantes. Il est vraisemblable, malgré
l'emploi d'une dénomination particulière ne concordant pas avec
le titre « Propriétés remarquables, etc. », que c'est bien ce
mémoire qui est en cause. Dans le cas contraire, il faudrait que
le travail désigné comme mémoire n'eût pas été plus tard admis
par Holmboe dans les Œuvres complètes, bien que le mémoire
cité avec son résultat défectueux, traitant essentiellement du
même objet, y ait été inséré. Il est bien naturel aussi d'admettre
que, dans une lettre à un ami un peu au courant de ces choses,
l'auteur se serve d'une dénomination abrégée et contenant l'essen-
tiel, transcendantes elliptiques, au lieu d'employer une expres-
sion complètement exacte, mais très longue et très incommode.
Il lui aurait fallu, en effet, pour cela se servir des formules mêmes,

(^) Jl a conservé ce numéro dans la nuuvelie édition

d2 MKLS-HENRIK ABKL. — | I.

et encore ajouter les conditions limitatives. Il ne possédait pas
le mot commode de transcendantes ahélienncs. Donc la non-
concordance des titres n'entraîne pas ici la non-identité des
ouvrages. Cette désignation abrégée a ss résumer en quelques mots l'histo-
rique de la question.

Le point de savoir si les équations générales de degré quelconque
peuvent toujours admettre une solution n'était nullement d'une
clarté aussi immédiate qu'on pouvait alors se le figurer. La ques-
tion fit donc un pas considérable en avant, lorsque Gauss, dans la
dernière année du siècle passé, démontra pour la première fois
en toute rigueur qu'une telle solution était toujours possible,
absolument parlant, c'est-à-dire, dans le même sens qu'on le dit
de l'équation générale du second degré, ou suivant le langage
adopté aujourd'hui, à l'aide des imaginaires. Plus tard, dans son
beau travail sur la division du cercle, il alla plus loin, en
établissant qu'il existe des classes entières d'équations de degré
supérieur, pour lesquelles celte résolution pouvait aussi s'effectuer
en réalité, et cela avec le seul secours des radicaux. Mais la
généralité des équations considérées était supposée restreinte par
certaines conditions. On était, au contraire, dans l'incertitude en
ce qui concernait les équations générales, et c'est là que gisait la
difficulté capitale. Dans ses Disquisitiones, l'illustre géomètre de
Gottingue avait cependant, chose remarquable, exprimé déjà ses

W NIELS-HENUIK ABEL. — | I.

doutes sur la possibilité de la résolution par cette voie, lorsque
les restrictions apportées au cas général n'existent plus.

Tandis que sur ce point, des difficultés et des complications
extraordinaires semblaient devoir arrêter tout progrès en avant
— ce que confirmaient encore les tentatives faites par Lagrange, —
c'est sur ce môme point que Ruffîni et surtout Abel apportèrent
la clarté, ce dernier, comme nous l'avons dit, ayant démontré
l'impossibilité relative, c'est-à-dire l'impossibilité avec les moyens
restreints que nous avons indiqués, d'effectuer la résolution de
l'équation tout à fait générale d'un degré supérieur au quatrième.

Mais de là résulte avec une clarté réelle, ce que la suite a fait
voir de plus en plus distinctement, l'existence jusque là ignorée
d'une construction barmonieuse de formes grandioses dans les
hautes régions de la théorie des équations. On peut alors plonger
tout d'un coup ses regards bien au-delà des limites qui jusque là
bornaient l'horizon mathématique.

A la découverte de cette loi cachée ont contribué depuis lors
les beaux travaux d'Abel lui-même, et en outre ceux de nouveaux
chercheurs, tels que Galois, Belti, Kronecker, Hermite et Jordan,
qui ont ïmt dans ce champ d'importantes trouvailles. A l'aide des
fonctions elliptiques, une nouvelle création du génie d'Abel et de
Jacobi, dont le premier germe, comme on l'a vu, s'était déjà
montré dans les travaux préparatoires d'Abel, deux géomètres
contemporains, Hermite et Kronecker, sont parvenus cinquante
ans plus tard à résoudre dans toute sa généralité le problème que
s'était posé à dix-neuf ans le disciple de l'École cathédrale de
Christiania : la résolution de l'équation générale du cinquième
degré. On peut maintenant s'attendre à ce que l'étude des
fonctions ahéliennes, transportée sur ce terrain, conduise plus
tard les géomètres à des résultats encore plus élevés.

Le mémoire d'Abel, de mince volume, mais important par ses
conséquences, parut sous une forme matérielle plus que modeste,
dans l'année 1824-, c'est-à-dire il y a plus de cinquante ans,
sortant des presses de l'imprimerie Grondahl. Il peut être regardé

PREMIÈRES ANNI^ES n'l^:TUDIANT. 21

comme le premier de ses travaux publiés par lui-mômc dans
lequel apparaisse le graiid inventeur. Pour épargner les frais
d'impression, le mémoire entier, d'après les renseignements
fournis par llansteen dans Y Illiistreret Nijhedsblad, 18G2, fut
réduit à une demi-feuille, et il s'ensuivit que certaines proposi-
tions intermédiaires restèrent inédites, et que Tensembie du
travail en devint assez dillicile à comprendre. 11 n'est pas impos-
sible qu'il se trouvât encore dans la démonstration une lacune
grave, celle-là même dont il a été parlé plus haut, lacune qui a
peut-être échappé à l'attention d'Abel, et qui a rendu impossible
au monde scientifique, autant qu'il pouvait en juger par cette
publication, de considérer Tantique et ardu problème comme
résolu.

Après tant d'essais avortés des plus éminents géomètres de
l'époque et des temps passés, on n'avait guère de raison de croire
que la solution fût enfin donnée par un jeune étudiant norvégien.
D'autre part on n'a pas le droit de s'étonner si de sérieux adeptes
de la science, dont le coup d'œil clair et droit leur révèle les
difficultés d'un sujet, ne se hâtent pas aussitôt de quitter leurs
importants travaux, et d'accorder toute leur attention aux idées^
trop ambitieuses en apparence, émises par le premier auteur venu,
et qui, sauf des cas heureux, mais bien rares, ne méritent pas
qu'on s'y arrête.

D'une lettre de Schumacher à Gauss du 23 juillet 1824, il
résulte que Schumacher a reçu le mémoire d'Abel. L'astronome
d'Altona le fit parvenir, par l'entremise d'Olbers, à Gauss, dans la
bibliothèque duquel on l'a retrouvé plus tard. Depuis cet envoi, on
ne retrouve dans la Correspondance rien qui indique que le grand
maître, le Princeps malhemalicorumy ait constaté la justesse ou
la fausseté de la démonstration d'Abel. Ce silence absolu semble
signifier que la démonstration a été accueillie avec défiance.

D'après une communication du professeur llansteen, dans le
Nyhedsblad du 2 mars i8G2, Gauss serait allé jusqu'à dire que
lui-même avait voulu démontrer la possibilité de la résolution,
mais que depuis il avait dû reconnaître qu'Abel avait raison.

22 NIELS-HENRIK ABEL. — | I.

Comme il ne se trouve aucune mention de ce propos dans la
correspondance de Hansteen soit avec Schumacher, soit avec
Gauss, et que d'autre part il concorde mal avec les autres
déclarations de ce dernier, ce récit pourrait bien s'appuyer sur
une communication verbale, directe ou non, et dans ces condi-
tions, rien n'est plus facile que de commettre un malentendu, le
véritable sens de l'idée n'étant pas toujours saisissable sous une
expression trop concise, comme on en emploie tous les jours. On
sait que Gauss ne s'exprimait jamais qu'avec une extrême
circonspection, et vraisemblablement la seule opinion qu'il ait pu
manifester, c'est que le raisonnement d'Abel, sous sa forme
actuelle, n'était pas complètement satisfaisant, tandis que celui
qui a paru à une époque plus récente est irréprochable.

Peut-être aussi prévit-il que, à l'aide des moyens qui étaient à
sa disposition, la résolution complète des équations en question
pourrait être réalisée par l'emploi de fonctions d'ordre plus élevé
que les radicaux. La nouvelle voie dans laquelle Abel s'était déjà
engagé et qui devait conduire à la découverte de puissants
procédés d'investigation, l'illustre géomètre de Gôttingue y était
entré lui-même longtemps auparavant, sans toutefois avoir rien
publié des résultats obtenus depuis un grand nombre d'années.
((Abel,» écrivait-il plus tard, a m'a devancé, et dès lors je me
trouve dispensé de rédiger mes propres recherches. »

En désignant ici Abel comme celui qui, dans l'analyse algé-
brique, a résolu une question d'une importante capitale pour la
science, bien que cette solution renferme encore une lacune, trop
considérable peut-être pour qu'on puisse immédiatement la combler,
et qu'ainsi elle ne se présente pas jusqu'alors sous une forme assez
parfaite pour être admise en toute sécurité, nous ne pouvons nous
dispenser de rappeler que, longtemps auparavant, le géomètre
italien Ruffini, déjà cité plus haut, avait exprimé la même idée
et cherché à démontrer le même théorème fondamental. Il est
certain que ces travaux étaient restés inconnus d'Abel, non
seulement à Tépoque qui nous occupe, mais encore quelque

PREMIÈRES ANNI'ES d'ÉTUDIANT. 2^

temps après, lorsqu'il travailla pour la première fois à perfec-
tionner sa démonstration.

Beaucoup plus tard môme, lorsqu'il reprend pour la troisième
fois la môme question, mais comme faisant partie d'un problème
beaucoup plus étendu, il s'exprime ainsi : « Le premier, et, si je
ne me trompe, le seul qui avant moi ait cherché à démontrer
l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales
est le géomètre Rufïîni; mais son Mémoire est tellement compliqué
qu'il est très difficile de juger de la justesse de son raisonnement.
11 me paraît que ce raisonnement n'est pas toujours satisfaisant.
Je crois que la démonstration que j'ai donnée du théorème ne
laisse rien à désirer du côté de la rigueur; mais elle n'a pas
encore toute la simplicité dont elle est susceptible. Je suis parvenu
à une autre démonstration, fondée sur les mêmes principes, mais
plus simple, en cherchant à résoudre un problème plus général. y>

Bien que la démonstration de Ruffîni puisse être entachée de
défauts plus ou moins graves, et même que l'on soit en droit
d'admettre qu'elle ait voulu trop prouver, il est toutefois absolu-
ment juste, à propos de cette question, de la citer en première
ligne, d'abord parce qu'elle est la première en date, ensuite
parce que dans tous les cas, elle est exacte dans sa marche
générale, bien qu'une lacune, d'une autre nature que celle de la
première démonstration d'Abel, rende la conclusion incertaine.
En un seul point la démonstration de Ruffîni a même la supério-
rité sur celle d'Abel, c'est par sa plus grande simplicité. On n'a
pas de motif, selon moi, d'enlever au géomètre italien l'honneur
d'avoir fait le premier pas important dans cette voie, à moins
qu'on ne veuille avec le même droit refuser à beaucoup d'autres
chercheurs leurs titres à la célébrité, toutes les fois que la
postérité, plus clairvoyante, a pu signaler dans leurs découvertes
quelques imperfections.

Le mérite d'Abel a été d'avoir, indépendamment de Ruffîni et
par une autre voie, bien qu'à une date postérieure, résolu dans
ses grands traits généraux la même question difficile, et cela par
une nouvelle démonstration plus complète, et d'une manière qui

24 NIELS-HENRIK ABEL. — | I.

écarte en dernier lieu et définitivement toute espèce de doute sur
la légitimité du raisonnement.

La difficulté du sujet et peut-être ce que le résultat offrait
d'inattendu pour beaucoup de personnes empêchèrent pendant
longtemps les travaux de Ruffîni, ainsi que ceux d'Abel, d'être
appréciés comme ils l'ont été plus tard.

Outre cet important Mémoire, non inséré dans le recueil de ses
Œuvres, il existe encore d'autres essais d'Abel appartenant à cette
période et particulièrement remarquables. Comme, à une seule ex-
ception près, ils n'ont pas été publiés par lui-même, mais qu'ils ont
vu le jour pour la première fois par les soins de Holmboe, après la
mort de l'auteur devenu depuis si illustre, il faut par conséquent,
en les appréciant, tenir compte de ces circonstances. Parmi ces
écrits, on doit surtout remarquer ceux qui portent les numéros
IX et X du tome II (*), et qui ont pour titres : a Sur une propriété
remarquable d'une classe très étendue de transcendantes » et
a Extension de la théorie précédente » ; puis les Mémoires XI et VIII
du même tome {^) : a: Sur la comparaison des fonctions transcen-
dantes», et celui dont il a été déjà question, « Propriétés, etc. ».
Tous ces Mémoires, d'après ce que nous apprend l'éditeur dans
la préface du tome II, ont été rédigés avant le départ d'Abel
pour son voyage à l'étranger, Il faut cependant remarquer, à
l'égard des numéros IX et X, que ces écrits ne représentent
guère autre chose que le contenu d'une rédaction plus abrégée
du même sujet, adressée à la Société des Sciences de Trondhjem,
et envoyée peut-être de Christiania, où Abel, pendant son absence,
avait laissé plusieurs de ses manuscrits. Ce travail fut imprimé
en 1827; les Mémoires développés appartiennent à une époque
postérieure.

Il résulte de là avec certitude un fait, en contradiction, il est
vrai, avec les idées qu'on se fait ordinairement, en n'accordant
pas assez d'attention aux modestes essais, précurseurs des travaux

(1) r»jos VIII et IX du tome II de la nouvelle édition.

(2) Noi» X et VII du même tome de la nouvelle édition.

PHEMIÈHES ANNÉES l/ÉTUDlANT. 25

plus parfaits, où les mêmes idées se sont plus lard reproduites.
Ce fait est qu'Abel, avant son voyage d'Allenaagne, en 18^5,
avait déjà fait ou du moins était sur le point de faire plusieurs de
ses plus éclatantes découvertes.

Ici, parmi ces essais des quatre premières années d'études
d'Abel, on rencontre par exemple une généralisation très étendue
du beau théorème de rechange du paramètre et de Targument
dans les transcendantes elliptiques de troisième espèce (IX et X).
Ici se présente, bien qu'énoncé sous une forme incomplète et
renfermé dans un résultat d'une trop grande généralité, le théo-
rème connu sous le nom d'inversion des intégrales elliptiques,
ainsi que la remarquable propriété de la double périodicité qui en
résulte pour les nouvelles fonctions, découverte qui, ainsi qu'il a
été prouvé plus haut, existait déjà dans son premier germe dès
Tété de 1823 (VIIÏ). Ici enfin le théorème d'Abel, le célèbre
théorème d'addition, le monumentum œre perennius, comme
rappelait le vieux maître, l'octogénaire Legendre, avec son
admiration et son enthousiasme juvéniles, ici ce théorème était
déjà trouvé, bien que le temps ne fût pas encore venu d'en
apprécier l'immense portée et de savoir en tirer un parti utile.

Ainsi, à une époque plus ancienne qu'on ne serait disposé à le
croire — bien que le développement de la pensée doive être calme
et lent, lorsqu'il s'agit de créations grandes et durables — • et dans
un pays écarté comme Christiania, la capitale naissante d'un
petit état, encore mal pourvue de toutes les ressources, ont été
posés pour la première fois les fondements, alors peu encouragés
et peu appréciés, de travaux d'une importance considérable et de
branches tout entières de la science mathématique. Aucune
réaction d'influence mutuelle de la part du public scientifique ne
s'était encore fait sentir, et aucun autre contact extérieur n'avait
eu lieu, si ce n'est par Tétude des traités classiques d'Euler et de
Lagrange. La direction d'un maître doué d'un talent ordinaire,
mais consciencieux, et étudiant lui-même avec son élève, avait
heureusement et en temps voulu conduit celui-ci dans cette voie
féconde. Les encouragements efficaces de Hansteen et de Ras-

26 NIELS-HENI'.IK ABEL. — | I.

mussen, le succès et de petits échecs, Tidée lancée par Degen
comme une prophétie, et aussi Tétude de Legendre et toujours
celle de Lagrange: tels sont les aiguillons qui, avec Tardeur des
recherches, inséparable du génie, ont poussé Abel en avant, —
vers un but lointain et élevé, mais aussi vers un avenir plein de
soucis.

C'est ainsi que, dans ces conditions et au milieu de ces
circonstances, peu remarquables en apparence, mais, en réalité,
exceptionnellement favorables, il conçut dans leur premier jet les
idées fondamentales qui, plus tard, ont définitivement renouvelé
Faspect des sciences mathématiques sur une si vaste étendue.

Mais plusieurs causes, à cette époque, rendaient impossible
l'introduction de ces idées dans la science. Aussi furent-elles en
partie reléguées à Tarrière-plan, pour être améliorées ou rema-
niées. Bien plus, comme nous l'avons déjà dit, Abel lui-même
tout en annonçant, un peu plus tard, la publication de travaux
incomparablement plus importants que ses Mémoires imprimés
jusqu'alors, ne se rendait pas clairement compte de l'immensité
du pays oii il venait d'aborder.

Enfin arriva pour Abel, — et cela au moment même le plus
propice — l'heure de la délivrance. Dès lors on n'eut plus à
craindre que son génie extraordinaire, encore à l'état de crois-
sance et de développement, restât étouffé dans l'étroit horizon de
son pays natal et prît une fausse voie. Un autre sujet de sérieuse
appréhension était l'incertitude où l'on pouvait être à l'égard des
résultats si importants, obtenus déjà en tout ou en partie, et qui
risquaient plus ou moins d'être perdus pour la science. Dans le
monde mathématique, qu'il ne connaissait encore que de loin, un
souffle réformateur commençait à s'élever; Abel devait trouver à
l'étranger des esprits capables de le comprendre, de nouveaux
amis, et un champ d'activité plus vaste et plus favorable pour
son génie créateur.

Peu de temps avant l'expiration de la pension qu'on lui avait

PnEMÎÈRES ANNÉES D'ÉTUDIANT. 27

accordée, il adressa au Roi une demande afin d'obtenir une
allocation pour les frais d'un voyage et d'un séjour de deux ans à
rélranger. Cette demande, dont on possède encore une copie,
ainsi que celle d'une recommandation du professeur Hansteen, est
un témoignage, entre beaucoup d'autres, de cette simplicité sans
prétention qui lui était propre, et dont même ses grandioses
travaux scientifiques montrent partout l'empreinte.

(( Dès mes premières années d'école», dit-il, «j'ai commencé
à cultiver avec grand plaisir les Mathématiques, et j'ai continué à
m'en occuper durant les deux premières années de mes études
académiques. Mes progrès assez satisfaisants ont engagé le Sénat de
l'Université à me recommander pour une subvention, que Votre
Majesté a bien voulu m'accorder, pour me permettre de continuer
pendant deux autres années mes études auprès de l'Université de
Norvège, et aussi pour me perfectionner dans les langues savantes.
Pendant ce temps, dans la mesure de mes forces, j'ai joint à
l'étude des mathématiques celle des langues anciennes et
modernes, et parmi ces dernières celle du français principalement.
Après avoir dans ma patrie fait mes efforts, en profitant des
secours que j'y ai rencontrés, pour me rapprocher du but que je
désire atteindre, il me serait très avantageux, par un séjour à
l'étranger auprès des différentes Universités, et particulièrement
à Paris, où se trouvent en ce moment tant d'éminents mathéma-
ticiens, de prendre connaissance des récents progrès de la science,
et de profiter de la direction des hommes qui à notre époque ont
porté les connaissances mathématiques à une si grande hauteur.
En m'appuyant sur les raisons que je viens d'exposer et sur les
attestations ci-jointes de mes supérieurs, j'ose supplier humble-
ment Votre Majesté qu'elle daigne m'accorder une indemnité de
voyage de 600 solvspecies (*) par an, pour continuer encore
pendant deux années à Paris et à GôttinguCj l'étude des sciences
mathématiques, d

Dans la recommandation mise en lôte de cette supplique par

(1) 3168 francs.

28 NIELS-IIENRIK ADEL. — | I.

le professeur Hansteen, se trouve un court paragraphe qui mérite
particulièrement l'attention. « A Tépoque où il était soutenu ainsi »
(c'est-à-dire par une cotisation de plusieurs professeurs de l'Uni-
versité), «et surtout par les secours que Votre Majesté daignait
lui accorder, Abel, dans plusieurs Mémoires, publiés ici dans le
Magazin for Naiurvidenskaberne, et surtout dans un travail
plus étendu, encore inédit « Sur une méthode perfectionnée de
» calcul intégral », a donné des preuves d'une activité et d'une
persévérance rares, ainsi que d'aptitudes extraordinaires. Il ne
mérite pas moins d'éloges par son caractère et ses qualités
morales, comme j'ai pu m'en convaincre en vivant constamment
avec lui. Les simples indications données par des hommes
illustres dans la science étant souvent plus profitables que de
longues heures employées à la lecture des livres, je crois qu'un
séjour de deux années auprès des géomètres les plus éminents de
notre époque serait extrêmement fructueux pour M. le candidat
Abel, et que notre patrie, dans ces circonstances, a les meilleures
raisons d'espérer qu'elle trouvera en lui un homme de science
qui lui apportera honneur et profit. ))

Par ordonnance du 27 août 1825, Abel, en considération de sa
pétition chaudement appuyée par le Sénat, obtint l'indemnité
demandée de 600 spd. par an, pour deux années, comptées à
partir du jour où cessait la pension dont il avait joui jusque là.

Abel part, et maintenant s'ouvre une nouvelle période de sa
carrière si digne d'intérêt.

Je vais essayer ici, malgré les graves difficultés que ce sujet pré-
sente, de tracer le portrait du candidatus pJùlosophiœ qui s'embar-
que en ce moment, et qui bientôt — mais toutefois après la fin
prématurée de sa courte vie — devait acquérir une si glorieuse
renommée; c'est une simple et légère esquisse de sa personne, de
ce qu'il était, et des circonstances extérieures au milieu desquelles
il a vécu.

Abel avait des traits réguliers, on peut même dire vraiment
agréables; son regard et ses yeux étaient d'une beauté peu com-

CAKACTKHK d'AHKL. i^i)

"rriiihe; mais un teint pâle, sans fraîclicur et sans éclat, ternissait
nn pou Tagréincnt de sa llgiire. On était frappé de la conformation
particulière de la tôte avec son ovale saillant; le crâne fortement
développé semblait témoigner d'une intelligence extraordinaire.
Sur son front haut et large, caché en partie par ses cheveux
tombants, régnait une expression méditative. Un sentiment de
bienveillance était empreint sur son visage.

L'aspect général de Niels Abel n'avait rien de remarquable.
D'une taille moyenne, d'une complexion délicate, simple et
négligé dans sa toilette, c'est seulement en pénétrant dans son
intimité qu'on pouvait l'apprécier à sa juste valeur. Mais, malgré
tel ou tel détail choquant, surtout dans ses jeunes années,
sa personne n'en était pas moins, en somme, très sympathique.

Dans la société de ses amis — quand il ne s'enfermait pas
toute la journée dans sa chambre pour travailler solitairement, —
surtout de ceux qui ne faisaient pas immédiatement partie du
cercle qu'il fréquentait d'habitude, il se montrait gai et enjoué,
bien que par tempérament il fût plutôt mélancolique. Souvent sa
gaieté n'était pas l'expression fidèle de l'état de son esprit; peu
de gens pouvaient pénétrer dans sa confidence. Il était très aimé
de ses camarades, ainsi que des personnes plus âgées qui
s'intéressaient à lui. Avec les premiers, il y avait certainement
de temps en temps des étourderies commises; mais son amabilité
était proclamée de toutes parts avec une rare unanimité. Il se
faisait des amis partout, et rien que des amis.

Pauvre comme il l'était — son père étant mort et sa mère res-
tant dans la gêne, — n'ayant pour parvenir que l'appui de ses
concitoyens, et dépendant de la générosité d'autrui, il lui était
impossible de se maintenir dans toutes les occasions au niveau
de ses camarades plus favorisés de la fortune. Ses vêtements
étaient vieux et négligés, et il ne prenait pas non plus beaucoup
de soin de ce qui tenait à l'extérieur. De tout ce qui se rapportait
au cérémonial il faisait généralement peu de cas, absorbé qu'il
était par ses méditations.

Une certaine négligence s'était emparée de lui, non seulement

30 NIELS-IIENRIK A BEL. — | I.

en ce qui concernait le soin de sa personne, mais aussi, surtout
à l'origine, dans ses communications écrites. Son style était facile
et animé; sa façon de s'exprimer, lorsqu'il se trouvait en dehors
des frontières des mathématiques, était [<arfois abondante et
folâtre, parfois brusque, souvent, au contraire, juste et frappante
à un haut degré.

La ponctuation n'était pas précisément son côté brillant; il
usait des virgules avec une grande parcimonie, « pas du tout »
même, a-t-on dit de lui en plaisantant; sans règle et non sans
effet, il introduit çà et là un gros point et virgule. Avec tous ces
défauts, il possédait cependant beaucoup des qualités qui font
l'écrivain distingué, et quelques-uns de ses derniers travaux, dont
il a aussi soigné convenablement la forme, pourraient, même au
point de vue du style, être considérés comme classiques.

Skrœdder-Niels (*) était le surnom qu'il portait parmi ses
joyeux camarades, et ce fut aux grands éclats de rire de l'auditoire
que fut accueillie la nouvelle, donnée comme sérieuse (à une
époque postérieure à celle qui nous occupe), qu'Abel à Paris s'était
promené en gants glacés.

Le soir on pouvait parfois le rencontrer à l'Asile^ où se
réunissaient plusieurs jeunes gens, campés autour d'une longue
table, économiquement éclairée par quelques chandelles. Là on
fumait, on buvait sa bouteille de bière, le tout frugalement, sans
aucune autre espèce de consommation. Chacun trouvait sa part
de tabac dans un cornet, sur une tasse à thé, et l'on passait le
temps à raconter ses prouesses et celles des autres. Abel était là
le joyeux narrateur autour duquel on aimait à se grouper; mais
bien souvent aussi il servait de cible à la gaieté des autres, surtout
lorsqu'il fut fiancé et seul revêtu de cette dignité parmi les hôtes
de l'Asile. On ne songeait plus à lui comme mathématicien, ou
même on le connaissait à peine en cette qualité.

Abel prenait souvent part aux divertissements de la jeunesse,
qui à cette époque pouvaient, sans faire scandale, aller beaucoup

(1) Nicolas-le-Tailleur,

CARACTÈUF. d'aBEL. 31

plus loin que de notre tcinps. Naturellement il n'oublie pas de
raconter, en décrivant à Copenhague le jubilé du Hegentsen, que
Ton y a bu vaillamment huit cents bouteilles de vin! A la table
des cartes, là haut dans les galetas d'étudiants, occupé avec ardeur
bien avant dans la nuit, — en costume léger, la chandelle à moitié
brûlée dans le cou de la bouteille, — on n'aimait pas à le charger
de faire les comptes; il se trompait dans ses opérations, et on le
destituait alors de ses fonctions. Néanmoins, dans ses carnets de
calculs, employés parfois à un autre usage, il y a des indications
montrant qu'il a lui-même aussi exercé la présidence, et
«Soliman 11», qui s'y trouve souvent désigné, d'une manière
à faire penser qu'Abel a dû en telle ou telle occasion interrompre
ses grands travaux, est sans doute le nom de guerre d'un de ses
compagnons de plaisir.

Mais s'il y avait des effervescences et des irrégularités de
jeunesse dans la vie d'Abel — la nuit qui précéda sa déconfiture
en astronomie, il l'avait passée, dit-on, dans un pique-nique, —
s'il s'était bravement tenu à la hauteur de ses compagnons, les
bruits qui ont couru d'autre part ont été fortement exagérés. « Il
se faisait toujours pire qu'il n'était réellement», et sa gaieté
n'était bien souvent qu'une apparence. Les témoignages fréquents
et la concordance de tant de récits venant d'hommes qui se rappro-
chaient de lui par la similitude du caractère et qui ne lui imposaient
qu'une légère contrainte, démontrent toutes les exagérations
des traditions orales, auxquelles on se laisse entraîner si facile-
ment, quand il s'agit de personnes qui ont acquis une célébrité et
dont tout le monde parle, sans que la multitude puisse comprendre
en quoi consiste leur grandeur. L'énorme travail de méditation
du futur inventeur, sans trêve ni repos, bien différent de l'action
assidue et tranquille de l'énergique, mais vulgaire ouvrier, exige
impérieusement une détente; et il n'y a pas sujet d'étonnement
ni de blâme sévère, si dans ces temps moins rigides il a pu se
produire quelques infractions à la régularité.

Gomme c'a été bien souvent le cas de ces hommes extraordi-
naires, qui poursuivent, en luttant contre des difficultés inouïes,

32 \IELS-HENKIK ABEL. — | I.

les profondes et puissantes idées que leur vocation, souvent aux
dépens de leur bonheur, les pousse à dévoiler et à produire
dans le monde, souvent il f\nsait du jour la nuit et de la nuit le
jour. Tantôt travaillant outre mesure pendant les heures de la
nuit, tantôt épuisé de fatigue et poursuivant sa pénible lâche,
étendu sur son lit bien avant dans la journée, enregistrant page
sur page les idées de ce cerveau incapable de repos et actif à Texcès !

S'il passait ainsi quelques ombres légères sur sa vie, s'il a
péché par des manques de forme extérieure, c'est qu'Abel au
milieu de ses camarades était au vrai Abel comme son vêtement
grossier et négligé était aux splendides qualités que cette enveloppe
recouvrait. Il était modeste et sans prétention dans ses actes;
exempt de toute jalousie, il reconnaissait avec joie ce qui se
faisait de grand autour de lui; il rendait justice au mérite des
autres. Ce n'est pas sans raison qu'on disait encore de lui «qu'il
était également distingué par les talents les plus extraordinaires
et par la pureté de son caractère. »

Nous verrons avant qu'il soit longtemps, la dure épreuve à
laquelle furent soumises ses amitiés, au milieu de sa grandeur,
bien qu'il fût peu connu et mal apprécié, alors que l'avenir
semblait pour toujours se fermer devant lui. Ce n'est pas sans
émotion qu'on le verra, vers la fin de sa vie, en face de la
perspective accablante d'être forcé peut-être à quitter le pays qui
l'avait mis à si bas prix, et qui pour conclusion le laissait partir
pour vivre honoré et sans souci de l'avenir au milieu des
étrangers.

nirricLi/n': des fiklations. 33

II.

Difficulté des relations. — Arrivée à Berlin, rencontre avec
Crelle et fondation d'un journal mathématique.

A l'époque qu'embrasse notre récit, dans le premier quart du
présent siècle, non seulement les relations entre les différentes
provinces de notre pays vaste et peu populeux étaient partout
dilîiciles et rares, comparées à ce qu'elles sont aujourd'hui ; mais
plus encore peut-être les relations avec les pays étrangers et
lointains, relations qui sont à un si haut degré la condition du
développement d'une petite société dans toutes les directions. Un
voyage en Danemark était alors pour un habitant de la capitale
tout une affaire, qui demandait de grands préparatifs, et qui
bien souvent, dans la saison la plus favorable, quand le vent se
maintenait longtemps contraire, causait autant de difficultés et
de perte de temps que ferait de nos jours un tour en Italie pour
un habitant de nos côtes septentrionales. En hiver, naturellement,
la captivité était encore plus dure. Nos navires restaient là empri-
sonnés par la gelée dans nos ports, et attendaient le printemps
pour repartir, chargés de bois, à destination de la Hollande ou de
la France, ou pour rapporter de Hambourg des ballots de
marchandises et des denrées coloniales, et la flotte danoise pour
le transport des grains^ disparaissait peu à peu au retour de
l'automne, et ne recommençait qu'en avril à se montrer dans nos
eaux délivrées des glaces. Il ne restait plus alors au voyageur qui
voulait aller vers le Sud ou revenir de l'étranger, d'autre route
que le long trajet par terre à travers la Suède. Quant à un
véritable transport de marchandises pendant l'hiver, si l'on
excepte la ressource, peu employée à cause de sa cherté, d'envoyer
les paquets par la poste ordinaire, ou le cas fortuit d'un voyageur
pouvant prendre les envois avec son propre bagage, il ne pouvait
en être question, vu Tétat des moyens de communication dans

34 NIELS-HENRIK ABEL. — | II.

celte saison. Les paquebots à vapeur, qui, vers la fin de la période
on question, étaient en marche dans tout le reste de l'Europe,
s'étaient bien approchés déjà jusqu'à notre contrée sœur le
Danemark; mais jusqu'alors aucun steamer n'avait longé nos côtes
si étendues, ni parcouru les fjords qui les pénétrent si profondé-
ment, ni entamé des relations avec les vastes pays étrangers.

Toutefois, — et cela datait déjà des anciens temps, où
notre pays était «sous le joug du Danemark d, — les échanges
d'envois avec Copenhague étaient un peu plus réguliers. Quelques
particuliers possédaient deux petits paquebots, deux grands yachts,
pour le transport des paquets et des passagers. Mais la rapidité du
voyage dépendait de toute espèce de circonstances. Souvent, le
vent soufflant du large, il fallait attendre patiemment plusieurs
jours dans le fjord que la bourrasque s'apaisât ou que le vent
tournât, avant de continuer sa navigation. Aussi arrivait-il fré-
quemment que toute la société descendait à terre pour se divertir
dans quelque village de la côte où le yacht avait jeté l'ancre.

Les paquets qui devaient être expédiés dans le pays, ou les
livres étrangers, que Ton préférait faire venir de Cophenhague,
— c'est plus tard seulement qu'on s'est adressé directement à
Leipzig et à Paris, — arrivaient dans ces conditions irrégulière-
ment et au bout d'un temps plus ou moins long. 11 n'existait pas,
pour ainsi dire, de véritable commerce de librairie, et pour se
procurer par l'intermédiaire des libraires tel ou tel ouvrage publié
à l'étranger, il fallait faire une dépense considérable; le prix des
livres à Christiania était juste le double du prix de Copenhague.
De temps en temps chaque année, et, naturellement, jamais dans
l'hiver, les paquebots qui correspondaient avec le Danemark
apportaient une provision de livres pour la bibliothèque de notre
Université, qui était très bien fournie, vu les circonstances, et
nous mettaient ainsi en rapport avec les productions scientifiques
et littéraires du temps présent et du temps passé. Un ou deux de
ces envois entraient aussi tous les ans dans la collection de
l'Observatoire, une petite échoppe octogonale, perchée sur le
rempart de la forteresse et pourvue d'une partie des instruments

nii'FicL'i/n': m:s kklations. 3f5

nécessaires. — Depuis la construction d'un imposant édinco
consacré à la môme destination, réclioppe a été transportée sur
le Uevieret, où elle a long'lem[)s sei'vi de morgue pour notre petite
ville.

Les conditions n'étaient guère meilleures pour les lettres à
destination lointaine. Elles coûtaient excessivement cher. Souvent,
pour économiser le port, on les confiait h des marchands en
voyage, connus ou inconnus, et ceux-ci pouvaient parfois en
avoir des ballots entiers à distribuer dans les diverses villes où ils
devaient passer, — à moins qu'ils ne préférassent s'épargner
cette peine, en envoyant tout le chargement à la poste et laissant
les frais aux destinataires. Chacun était, bon gré mal gré, le
commissionnaire de tout le monde, et des masses considérables
d'envois échappaient ainsi à la poste royale, pour être confiés
ce à l'occasion » ou « à la complaisance. » Il y avait en outre des
difficultés pour les affranchissements; ils s'arrêtaient à Hambourg,
et celui à qui la lettre était adressée devait payer le reste du port.
Souvent aussi les lettres pour le dehors étaient d'une écriture si
fine et si serrée, avec des lignes croisées dans tous les sens, qu'il
fallait beaucoup de sagacité et d'efforts pour en déchiffrer le
contenu. L'emploi du papier « ruine-poste » le plus léger et le
plus mince, pour condenser encore plus de choses dans les limites
les plus restreintes d'espace et de poids, n'était cependant pas
encore inventé à cette époque, si ingénieux que l'on fût alors
à se défendre contre la cherté des ports de lettre.

Dans un pareil état de choses, où naturellement tout échange
d'idées fréquent et général était impossible, où le commerce
personnel avec la science et les impulsions qu'il fait naître
étaient généralement restreints aux rapports avec les compatriotes
les plus rappprochés et les plus intimes; n'ayant, de plus, à cause
de l'éloignement, que peu de relations avec les grands centres de
culture, notre Université étant encore à sa période d'épreuve, —
les conditions extérieures n'étaient guère propices, à tous les
points de vue, pour une existence complètement scientifique.
Tout au plus était-il possible à quelques favorisés du sort, par une

96 NIELS-HENRIK ABEL. — % U.

heureuse exception, de prendre une part plus active à cet échange
de pensées avec le monde extérieur, et de pouvoir suivre, depuis
notre lointaine contrée, les derniers progrès de Tépoque, et se
mêler activement aux discussions scientifiques; et encore les
mieux placés n'étaient-ils compétents que jusqu'à un certain point
et avec de nombreuses restrictions. On eût été injuste, pour
notre pays et notre Université à leurs débuts, de régler les exi-
gences sur le niveau des pays riches et peuplés de l'autre côté des
mers. Lorsque, malgré tout, ces exigences se trouvaient remplies
— mieux peut-être qu'on aurait dû s'y attendre — c'était non
seulement parce qu'une série d'hommes de valeur avait été
amenée à notre Université nouvellement fondée, mais aussi parce
qu'une position économique favorable leur avait permis de
consacrer toutes leurs forces à leurs études. L'esprit de liberté,
qui nous avait valu notre Université et notre indépendance, avait
été aussi à cet égard l'appui le plus sûr de notre petite nation
aspirant au progrès.

Les services que pouvaient rendre notre bibliothèque universi-
taire et nos établissements d'enseignement se réduisaient évidem-
ment à créer un solide fondement scientifique, reposant sur les
recherches des temps anciens et des temps plus voisins, mais
en même temps sans prétendre introduire le futur investigateur
dans les directions de recherches de l'époque moderne, qui sont
aussi, pour la plupart, les plus fructueuses.

Dans les sciences abstraites, en particulier, pour lesquelles
notre contrée et ses relations locales ne pouvaient être d'aucun
secours — le travailleur confiné dans son pays devait nécessaire-
ment rester en arrière. Il ne lui était guère possible de produire
autre chose que ce qui était déjà trouvé et connu par ceux qui
travaillaient dans des conditions plus favorables et plus libres, qui
avaient été initiés en temps convenable à ces directions d'idées et
à ces nouveaux fondements, d'où l'on pouvait attendre un réel
profit dans une suite d'études prolongées, — et qui jouissaient des
avantages de la proximité des discussions savantes et de l'héritage
scientifique des professeurs et des maîtres de l'époque.

nilPAin D'AnKL. 37

Plus qu'hcuroux celui qui, dans un cercle aussi étroit, grâce h
un meilleur concours de circonstances, comme il s'en produit bien
rarement, a pu parvenir, par l'irrésistible puissance de son génie,
à se frayer son chemin! Mais le besoin du contact avec la science
contemporaine n'est pas moins impérieux pour Thomme qui a
plus à communiquer de son propre fonds qu'à recevoir des autres.
Seulement les dilllcultés se trouvent ainsi déplacées. Ce n'était
pas chose facile alors, dans notre petit coin de terre peu remarqué,
pour un penseur jeune et inconnu, suivant des voies à lui propres,
de répandre ses idées dans le monde, d'en soumettre les résultats
à la critique du dehors et au besoin à une épuration peut-être
nécessaire, surtout lorsqu'il s'agit d'une étude plus approfondie et
d'un développement plus vaste.

Telles étaient les circonstances dans lesquelles Abel grandit et
se développa. Il allait maintenant parcourir le monde, et nous le
suivrons dans sa route.

Dans les premiers jours de septembre il entreprit son voyage,
en compagnie du candidat des mines Môller, depuis directeur des
mines d'argent de Kongsberg, et du candidat en médecine
Chr. Boeck, mort récemment, doyen de notre Université. Keilhau
et Tank, avec qui il se rencontra depuis en Allemagne, étaient
déjà partis, le premier pour continuer ses études à l'Académie des
Mines de Freiberg, le second dans l'intérêt de son instruction
philosophique, pour visiter notre compatriote Henrik Steffens,
alors attaché à l'Université de Breslau.

«Nos jeunes savants voyageurs», comme les appelait le
professeur Hansteen dans ses communications au Magazin,
allaient maintenant chercher les moyens de se perfectionner
chacun dans la carrière de son choix.

Avant son départ, Abel fit une échappée à Soon, une des
petites villes de la côte orientale du fjord de Christiania, où
demeurait sa fiancée. C'était une jeune danoise, M'*^ Christine
Kemp, mariée plus tard, après la mort prématurée d'Abel, avec

38 NIELS-HENRIK ABEL. — | II.

le professeur Keilhau. Là, à une heure avancée de la nuit, il fut
pris au passage par le yacht surchargé de voyageurs, et bientôt
un bon vent les amena en pleine mer.

Le voyage ne fut que relativement agréable. Nous en reprodui-
rons quelques incidents d'après la description de Boeck; ils
caractérisent Tétat des choses à cette époque, et rappelleront de
nouveaux souvenirs.

D'abord, est-il dit, on dériva vers l'ouest, puis on resta quelque
temps en place. Mais le troisième jour, vers le soir, à la hauteur
de Marstrand, on retrouva une forte brise. Abel était agité;
Moller allait s'étendre à fond de cale. Un des voyageurs, un
vieux garçon misanthrope, qui allait se fixer à Copenhague,
s'imagina dans ses angoisses qu'il allait mourir. 11 se voyait déjà
perdant tout ce qu'il possédait et jeté lui-même à la mer. Boeck,
lui deuxième parmi tous les voyageurs, tenait bon; mais il eut
besoin de tout son art médical auprès du contrôleur effaré, qui
écrivit deux fois son testament, et qui suppliait le patron de
faire rebrousser chemin au bateau.

Le cinquième jour, avant le lever du soleil, on était en vue du
feu de Helsingôr. Le temps s'était calmé; Abel et Boeck étaient
déjà en haut depuis trois heures du matin, pour jouir de la traversée
du Sund. Un grand nombre de navires étaient en rade. Les
maisons blanches, les propriétés de plaisance isolées et les petits
villages le long de la côte glissaient les uns après les autres devant
eux et leur offraient un spectacle varié qui, malgré la fraîcheur,
les attachait sur le pont. Mais de cette campagne fertile et des
coteaux boisés qui dominent ces pays de plaine, leurs pensées se
reportaient souvent vers les écueils et les rochers qu'il avaient
quittés et vus disparaître dans la mer.

Copenhague montra bientôt ses hautes tours; l'Ermitage et
Fredriksberg brillaient au soleil levant, « au milieu des verts
bosquets», et après avoir été pendant cinq jours ballotés sur les
vagues, on était arrivé.

Abel cette fois ne s'arrêta pas longtemps à Copenhague.

SEJOUR A COPENHAGUE. 39

Copcndant son séjour n'en ont pas moins d'importantes conso-
quencos, en contribuant à lui faire modifier son plan de voyage
primitif, et lui donnant pour la première fois l'occasion de faire
la connaissance, si étroite et si profitable pour lui, du conseiller
intime Crelle. D'après la description que lui en avait faite von
Scbmidten, comme d'un bomme excellent sous tous les rapports,
Abel se décida à Taller voir aussitôt que possible, dès son arrivée
à Berlin.

Degen était mort dans le courant de cette même année; sa
bibliotbèque était en vente. Juste au moment où Abel quittait
Christiania, le professeur Thune avait envoyé quelques paquets et
des catalogues des livres de Degen, avec prière de les distribuer
au public norvégien. Ce fut une occasion pour Abel d'écrire à son
ami et maître, le lecteur Holmboe, une lettre, peu importante
sans doute à plusieurs égards, mais ne manquant pas d'intérêt,
en tant qu'elle éclaire la situation immédiatement avant les
événements qui devaient maintenant assombrir à un si haut
degré les perspectives d'avenir d'Abel. Elle semblait déjà annoncer
d'avance que tout se dénouerait tranquillement.

« Je suis maintenant ici », écrit-il, ce et je dois te prier en

conséquence Tu auras peut-être

aussi la complaisance de remplir les désirs du professeur Thune
au sujet de ces paquets, en t'adressant au professeur Sverdrup
pour les distribuer. i> — (Sverdrup était alors membre du Sénat
universitaire, où devait bientôt se décider en première instance
la question de la nomination à la chaire de mathématiques à
l'Université, laissée vacante par la retraite prochaine de Rasmus-
sen). « Tu ne te fâcheras pas », ajoute-t-il, ce de ce que je te
charge de ces commissions. La chose est pour moi d'une impor-
tance énorme, par égard pour Thune. Fais-le aussi promptement
que possible, car la vente aura lieu le 5 octobre.

» Le 13 » (septembre), dit- il plus loin, « j'irai à Sorôe faire
visite à la mère et à la sœur de M"^^ Hansteen, et j'y resterai deux
ou trois jours. De vendredi en huit jours, je pars avec le bateau à
vapeur pour Lùbeck et de là pour Hambourg. — Salue pour moi

40 NIELS-HENRIK AREL. — ^ II.

M*"" Ilansteen et sa sœur, si tu les rencontres. J'enverrai le
mémoire par Petersen. — Une autre fois tu recevras de moi, une
lettre plus ordonnée. Ton ami, Abel. ï>

Avant cette lettre, qui annonçait ainsi, en attendant, sa visite
à la famille de Hansteen à Soroe, Boeck et Moller étaient partis
avec le bateau à vapeur pour Lùbeck, d'où ils continuèrent par
terre leur voyage jusqu'à Hambourg, à travers des chemins
détestablcset remplis d'eau. Ils descendirent au Grand Sauvage {^),
où ils attendirent leur compagnon de voyage, attardé par la
prolongation de son séjour à Copenhague.

Après l'arrivée d'Abel, ils allèrent de compagnie à Altona,
pour faire visite à Schumacher, l'éditeur des Aslronomische
Nachrichten, avec qui d'ailleurs le professeur Hansteen était en
relations suivies. Schumacher, comme on s'en souvient, avait,
quelque temps auparavant, refusé d'insérer le Mémoire d'Abel sur
la Lune; il s'était aussi chargé de transmettre à Gauss, par
l'intermédiaire d'Olbers, le Mémoire français sur l'impossibilité de
résoudre algébriquement les équations du cinquième degré,
travail avec lequel Abel allait se présenter pour la première fois
devant le grand public, et dont on ignorait encore quel serait le
succès auprès des savants.

Schumacher, bien que souffrant, accueillit les voyageurs et le
jeune mathématicien inconnu avec beaucoup de prévenance. II
est probable que, pendant son séjour à Hambourg, Abel renouvela
ses visites à l'astronome danois. En tous cas, il laissa la meilleure
impression chez le savant étranger. Car, à diverses reprises,
Schumacher le dépeint non seulement comme un mathématicien
distingué, mais aussi comme le jeune homme le plus aimable.

Abel raconte — ce qui semble pareillement indiquer un séjou
de quelque durée — qu'il avait fait à Hambourg la connaissance

(^) Zum grossen wilden Mann. Ajoutons que nous sommes portés à croire qu'il
s'est glissé ici une erreur dans la tradition telle que la présente le récit de Boeck,
et que celui-ci a fait confusion avec ce qui s'est passé plus tard ù l'arrivée des
voyageurs à Vienne. De pareilles inexactitudes, relatives aux échanges de lieu et de
temps, sont à craindre dans tous les cas où le récit n'est pas appuyé sur des
documents écrits. (Noie ajoutée par l'auteur. J

ahrivi':k a deulin. 41

d'un jeune et habile malhoniaticion, Thomas Clauscn, attaché
alors i^ rOhscrvaioire d'Altona. (( Encke i>, dit-il, <( qui est
maintenant membre de rAcadémio de Tlcrlin, était aussi à
Hambourg; mais je ne Tai pas vu. Il est singulier qu'à Berlin on
n'ait pas nommé un professeur d'Astronomie. Encke, dit-on, ne
fait pas de leçons. »

Cette rencontre avec Schumacher, Tami de Gauss et son
correspondant assidu, a dû être la première source de la tradition,
suivant laquelle — ainsi que nous l'avons rapporté d'après
Hansteen — le grand géomètre de Gôttingue aurait dit, à propos
du Mémoire d'Abel, que lui-même se faisait fort de démontrer
la possibilité de la résolution des équations du cinquième degré.

Nous nous sommes déjà permis d'émettre des doutes sur la
parfaite exactitude de ce récit, parce qu'il est très possible,
pour les raisons que nous avons développées plus haut, qu'il se
soit produit un malentendu sur le sens de l'assertion, et cela
d'autant mieux que le propos était parvenu après avoir passé par
plusieurs bouches.

Es istja ein Grduel sowas zusammen zu schreiben (*)! C'est
en ces mots ou quelque chose d'approchant que, d'après la tradi-
tion, fut formulée la dure condamnation du jeune mathématicien
de brillant avenir.

Une certaine antipathie contre Gauss, née spontanément dans
l'esprit d'Abel ou inspirée par les entourages au milieu desquels
il devait bientôt se trouver, semble s'être emparée de lui de
bonne heure ou du moins pendant cette période de sa vie. Il n'est
pas déraisonnable de supposer qu'il se soit senti blessé de ce que
Gauss, ne soupçonnant pas tout ce qui était caché sous une forme
peut-être imparfaite et dans des essais qu'il prenait pour des
aspirations ambitieuses et insensées, eût plus ou moins directe-
ment repoussé son travail digne d'admiration, et qu'il l'eût passé
sous silence comme une production de jeunesse, manquant de
maturité.

(1) C'est vraiment une abomination d'écrire des choses pareilles

42 NIELS-HRNRIK ARFX. — | H.

Tout semblait ainsi conspirer pour bouleverser d'une manière
heureuse le plan de voyai^e primitif: la recommandation donnée
par von Schmidtcn d'aller visiter à Berlin roxcellent Crelle;
Tinacccssibilité, réelle ou supposée, de Gauss, peut-être aussi —
surtout pour Abel, qui n'aimait pas la solitude — une agréable
société pour le reste du voyage et le plaisir de vivre avec des
camarades. Gottingue était le but désigné, vers lequel il devait
tendre, Gottingue où Gauss, dans presque toutes les branches des
mathématiques, répandait abondamment la lumière de son ensei-
gnement, et où Abel eût eu une magnifique bibliothèque à sa
portée. Pourtant, dès le commencement de son voyage, il prit
un autre chemin.

A plusieurs reprises, comme nous le verrons, Abel formera le
dessein de s'y rendre. Mais chaque fois il reculera, et il décrira
un cercle autour de la vieille ville universitaire.

A son arrivée à Berlin, il s'empressa de faire une visite aux
deux mathématiciens Crelle et Dirksen. L'entrevue entre le
premier, le conseiller intime étranger, et le boursier de l'état
encore novice et embarrassé ne parut pas d'abord promettre un
grand succès (*). Il fallut beaucoup de temps pour qu'Abel pût
faire comprendre à son interlocuteur quel était au juste le but de
sa visite, et il semblait que le tout aboutirait à une « conclusion
fâcheuse ï) {^).

A la fin il prit courage lorsque Crelle lui demanda ce qu'il avait
déjà lu en mathématiques. Quand il eut cité quelques-uns des
plus célèbres ouvrages dans cette science, Crelle devint très
affable avec lui, ((et, comme il me le dit lui-même ï>, raconte
Abel, (c réellement satisfait ». Il entama alors une longue conver-
sation avec le jeune Norvégien sur o: une grande variété de sujets
difficiles, qui n'étaient pas encore traités à fond d. Quand on en

(') D'après une tradition, Crelle croyait d'abord qu'il venait pour mendier. Cela
m'a été raconté par un vieil ami d'Abel. (B.)

{') LeUre d'Abel à Holmboe du 16 janvier 1826.

RENCONTRE AVEC CRELLE. 43

vint ^ parler de la lliôoric des (""quations de degrés supérieurs,
Aboi annonça qu'il avait démontré Timpossibilité de résoudre
générahMueut Téquation du cinquième degré. Là-dessus Crelle
répond que cela ne peut pas être vrai, et s'apprête aussitôt à
combattre cette assertion. Abel lui présente alors un exemplaire
de son Mémoire écrit en français sur ce sujet et dont nous avons
parlé plus baut; mais Crelle dit qu'il ne peut pas apercevoir la
raison de plusieurs conclusions contenues dans ce travail, (t Plu-
sieurs personnes m'ont dit aussi la même chose», écrit Abel,
(L et pour ce motif, je vais me mettre à le remanier ».

A partir de ce moment, Crelle lui donna une fois pour toutes
ses entrées régulières pour chaque lundi soir. Aux réunions
musicales qui avaient lieu dans le cercle de la famille du conseiller
intime, il s'amusait beaucoup, bien que malheureusement, en dépit
de la réputation de chanteur d'airs joyeux dont il jouissait parmi
ses camarades, il ne fût pas grand connaisseur en musique. Mais il
trouvait toujours, pour se dédommager, quelques jeunes mathé-
maticiens avec lesquels il s'entretenait pendant ces réunions «de
sujets monstrueusement intéressants». De cette manière il acquit
promptement l'usage de la langue allemande, dont le défaut lui
avait été si gênant dans les premiers temps.

Avec les dames de la famille, il était, dit-on, toujours dans les
meilleurs rapports; on avait pour lui des ménagements, et il était
très goûté. Mais il arrivait parfois qu'elles le prenaient à part
dans un cabinet pour l'attifer un peu, avant l'arrivée des invités,
quand tel ou tel détail de sa toilette lui allait mal ou était mis de
travers.

Tous les vendredis à midi il allait faire une promenade de
quelques heures avec Crelle. Alors il s'en donnait à cœur joie
en parlant de mathématiques, <?: comme tu peux croire (*), et
aussi rapidement que le permet ma langue mal façonnée à
Tallemand. — Cependant je me tire d'affaire assez passablement.
Il ne peut pas se mettre dans la tête que je puisse comprendre tout

(1) Lettre à Holmboe du 16 janvier 1826.

44 NIELS-HENKIK AFJKL. — | II.

ce qu'il me dit, sans savoir moi-même parler correctement. »
Steiner, un des fondateurs de la nouvelle géométrie synthétique,
les accompagnait souvent dans ces promenades. Quand les
passants les voyaient tous les trois, — raconte Geiser dans la
biographie de Steiner, — ils se disaient : « Voilà Adam avec ses
deux fils, Caïn et Abel. 3> Crelle avait, en effet, pour prénom Adam.
Du reste, chacun des deux fils de son côté déplorait le peu
d'aptitude de l'autre pour la vie mondaine.

Abel se félicite à maintes reprises d'avoir fait connaissance
avec Crelle, «cet excellent homme 5). «Tu ne pourrais croire»,
écrit-il à Holmboe, « quel homme remarquable c'est : juste
l'homme tel que je le désirais pour moi, affable, sans être atteint
de cette politesse rebutante avec laquelle tant d'hommes, d'ailleurs
honorables, accueillent les gens. Je vis avec lui sans plus de gêne
qu'avec toi et mes autres connaissances intimes. Il s'occupe
beaucoup de mathématiques, ce qui est d'autant plus honorable
pour lui que ses fonctions lui donnent beaucoup de travail. Dans
ces dernières années il a publié plusieurs ouvrages mathématiques,
qui me semblent très bons. y> Abel indique les titres de plusieurs
de ces livres qu'il a reçus en cadeau, et ceux d'autres ouvrages
du même auteur qu'il s'est procurés lui-même, et qu'il enverra
en Norvège au printemps pour les confier à la garde de Holmboe,
ne pouvant naturellement les emporter avec lui dans son voyage.
C'était à cause des qualités de la forme, sans doute, qu'il trouvait
du plaisir à la lecture des travaux publiés par Crelle.

Dans la première entrevue — et dans celles qui se succédèrent
fréquemment, et qui, au dire de Crelle, étaient devenues quoti-
diennes — Crelle parla beaucoup du triste état des mathématiques
en Allemagne. Abel signala aussi de son côté les bibliothèques
de Berlin comme laissant beaucoup à désirer; il ne semble pas
non plus s'être soucié d'assister aux cours de mathématiques des
professeurs de cette ville. La précédente tentative faite par Crelle
d'introduire quelque vie dans la science par l'organisation de
réunions scientifiques dans sa propre maison, avait complètement
échoué, et cela, disait-on, par l'arrogance insupportable d'un seul

FONDATION UU JOURNAL. 48

(les sociétaires, le physicien Ohm. Toutefois il semblait que dans
un prochain avenir une période plus favorable allait commencer.
Lorsqu Abel exprima son étonncment de ce qu'il n'existât en
Allemagne aucun journal mathématique, comme il en existait en
France depuis plusieurs années, Crelle répondit que depuis
longlenq)s il avait le dessein d'entreprendre la rédaction d'un
semblable recueil; il songeait à mettre aussitôt que possible ce
projet à exécution.

L'arrivée d'Abel, ainsi que celle de Steiner, et les nombreux
travaux qu'Abel désirait voir publier étaient naturellement un
secours très opportun pour la fondation d'un journal scientifique,
et cette fondation fut décidée. L'existence de riches matériaux,
que l'on devait s'empresser sans doute de mettre à la disposition
des rédacteurs, fut un motif déterminant de la résolution qui fut
prise de se lancer le plus tôt possible, et même immédiatement
(au commencement de 1826) dans cette affaire. En tous cas, cela
contribua à un haut degré à assurer la publication du journal
dans les premiers temps. D'autre part, c'était pour Abel lui-même
un événement d'une haute importance; il avait maintenant une
position qui lui permettait en toute occasion de faire imprimer
tel ou tel de ses travaux de moindre étendue, et pour les mémoires
plus considérables, à mesure que son nom deviendrait de plus en
plus connu, il pouvait espérer de leur trouver un éditeur.

Abel se mit aussitôt à l'œuvre pour la rédaction de ses
matériaux. Dès le commencement de décembre 1825, il avait
déjà mis au net quatre mémoires; au milieu de janvier de
l'année suivante 1826, six mémoires étaient prêts, tous écrits
en français. Mais Crelle eut « la galanterie y> de les traduire pour
lui. a: Ainsi mes bribes de français m'ont rendu bon service. y>

Crelle exprima d'ailleurs son opinion sur la forme de ces
mémoires en disant qu'il les trouvait très clairs et très bien écrits,
ce qui réjouit vivement le jeune auteur, qui appréhendait toujours
de ne pouvoir sans difficulté exprimer ses pensées d'une manière
convenable. Cependant Crelle lui conseilla de donner un peu plus
de développemments, ce surtout ici, en Allemagne.... Il m'a

46 NIELS-HFINRIK ABEL. — | II.

aussi offert, pour mes mémoires, des honoraires sur lesquels je
n'avais naturellement pas compté, mais que je n'ai pas voulu
recevoir; j'ai cru cependant remarquer qu'il eût mieux aimé que
j'eusse accepté (^). »

Abel ayant maintenant ses entrées dans un journal scientifique,
parmi les travaux dont il s'occupa avec ardeur, il commença par
revenir sur la question de l'impossibilité de la résolution (à l'aide
des radicaux) des équations algébriques générales, d'un degré
supérieur au quatrième.

Il reprit son ancien mémoire de Christiania, encore peu connu,
pour le soumettre à un nouveau travail. Après les revers qu'il avait
éprouvés et les jugements inadmissibles que ces revers avaient
provoqués, il chercha maintenant à développer sa démonstration
avec plus de détails qu'il n'avait dû se contenter de faire aux jours
difficiles d'autrefois, quand il publia son travail dans son pays
natal. La position de gêne économique où il se trouvait avait aussi
contribué, d'après le récit de Hansteen, d'une manière très sensible
à la forme malheureusement écourtée de cette note, Abel ayant
dû supporter seul avec ses ressources si limitées, tous les frais
qu'entraînait l'impression. Peut-être aussi dans le dessein que
formait Abel de perfectionner ce travail, entrait pour une part le
désir de combler une véritable lacune, qui pouvait très bien,
comme nous l'avons dit plus haut, avoir autrefois échappé à son
attention. Grelle avait dit de ce Mémoire qu'il faisait honneur à
l'auteur; cependant il ne pouvait pas entièrement le comprendre.
«Il m'est si difficile», écrit Abel, « de m'exprimer tout-à-fait
intelligiblement dans cette matière, sur laquelle on a encore si
peu travaillé à ma façon ! y>

Depuis son arrivée à Berlin, il s'était déjà proposé encore un
nouveau problème dans le même ordre d'idées, celui de déter-
miner toutes les équations, qui sont résolubles algébriquement.

(1) Lettre à Holmboe du 16 janvier 1826.

TUAVAUX DE BERLIN. 47

La manière heureuse dont il avait surmonté les difficultés dans
la démonstration de Timpossibilité de résoudre algébriquement
les équations de degrés supérieurs tout à fait générales — difïi-
cuUés que les plus grands géomètres des temps passés s'étaient en
vain clTorcés d'écarter — Tavait ainsi amené de bonne heure à se
poser un problème d'une nature plus positive, mais constituant
d'ailleurs l'entreprise la plus audacieuse; et cela, il faut bien le
remarquer, dans les circonstances où la possibilité, au moins
partielle, de l'exécution n'était plus déjà une vaine imagination,
où le travail dépensé à cette œuvre n'était plus un vain gaspillage
de forces, mais où le terrain était soigneusement préparé, et les
moyens d'action les plus puissants étaient mis en usage. La
solution progressive de ce vaste problème, qui naturellement se
rattache au précédent et le complète, est sans aucun doute de
la plus haute importance pour les progrès ultérieurs de l'analyse
mathématique.

d Je ne suis pas encore tout à fait prêt », écrit Abel à Holmboe;
« mais, autant que je puis comprendre, cela ira bien. Tant que le
degré de l'équation est un nombre premier, cela n'offre pas une
bien grande difficulté; mais quand c'est un nombre composé,
alors le diable s'en mêle. J'ai fait des applications à des équations
du cinquième degré, et j'ai résolu heureusement le problème
pour ce cas. J'ai trouvé un grand nombre d'équations, outre
celles que l'on connaissait déjà, qui peuvent se résoudre. Quand
j'aurai terminé le mémoire comme je le désire, je me flatte qu'il
sera bon. Ce travail en tous cas est quelque chose de général;
on y trouvera de la méthode, et c'est ce qui me paraît le plus
important. »

En dehors des divers 'problèmes qu'Abel, à cette époque,
s'était proposé de résoudre ou avait effectivement résolus, mais
que nous nous dispensons de mentionner comme relativement
moins essentiels, il est un autre travail d'une importance hors
ligne, qui maintenant l'occupera longtemps. Et certainement,
bien qu'il semble à première vue tenir une petite place dans ses
écrits, ce travail spécial a exercé l'influence la plus considérable

48 NIELS-UKNKIK AHEL. — %U.

sur son œuvre scientifique. Un coup d'oeil rétrospectif, auquel
peu à peu il avait été forcément conduit par tant d'essais hardis,
et pas toujours heureux, pour reculer les limites de la science,
lui fit voir de plus en plus les points faibles du système tout
entier des mathématiques de Tépoquc, surtout quand il s'agissait
de pénétrer dans des régions plus élevées, jusque-là inaccessibles
aux efforts des chercheurs et où les anciennes idées n'étaient pas
toujours suffisantes. En maint endroit il fallait consolider les
fondements et épurer les conceptions, si Ton voulait avec sûreté
continuer l'édifice.

Il faut voir avec quelle rudesse il s'attaque aux extravagances
de la science. «Les séries divergentes jd, dit-il avec sa manière
originale et parfois un peu brutale, ce sont en bloc une invention
diabolique, et c'est une honte que Ton ose fonder là-dessus une
démonstration quelconque. On peut, avec leur secours, établir
tout ce qu'on voudra, et ce sont elles qui ont donné naissance à
tant de déceptions et à tant de paradoxes. Peut-on imaginer quelque
chose de plus affreux que de dire que.... Tout cela m'a fait lever
les yeux avec une vraie consternation ; car, si l'on excepte les cas
les plus simples, tels que les séries géométriques, il n'existe, dans
toutes les mathématiques, presque aucune série infinie dont la
somme soit déterminée rigoureusement; en d'autres termes, ce
qu'il y a de plus important en mathématiques ne repose sur
aucun fondement. La plupart des résultats sont justes, il est vrai,
et c'est un fait extrêmement étonnant. Je fais mes efforts pour
en découvrir la raison. C'est un problème excessivement intéres-
sant. — Je ne crois pas que l'on pût me proposer beaucoup
d'énoncés où il entrerait des séries infinies, et dont la démons-
tration ne me fournît pas matière à des objections fondées.
Fais-le, et je te répondrai. — La formule de binôme elle-même
n'est pas encore démontrée rigoureusement. J'ai trouvé que, etc..
Le théorème de Taylor, fondement de toutes les hautes mathé-
matiques est tout aussi mal établi. Je n'en ai rencontré qu'une
seule démonstration rigoureuse; c'est celle de Gauchy dans son
Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal. »

TIUVAUX DE RRRMN. /jO

Vers le môme Icmps, A bel préparait aussi un mémoire très
remarquable concernant la série du biruime. Il avait cboisi
comme objet d'une étude approfondie un des fondements les plus
essentiels des liautes mathématiques. Ce mémoire est en oulre un
témoignage spécial de la sagacité et de la pénétration de rauleur
et de sa finesse critique. Là aussi il ouvre une campagne contre
le manque de rigueur avec lequel on opère en toute sécurité
au moyen des séries infinies, comme s'il s'agissait d'expressions
finies, en même temps qu'on se sert des séries divergentes pour
calculer des valeurs numériques, procédé, dit-il, « avec lequel on
peut démontrer tout ce que l'on veut, l'impossible aussi bien que
le possible. y> Le principal mérite de ce travail réformateur sur le
problème du binôme n'appartient pas cependant exclusivement à
Abel; il n'y a même pas pris la part prédominante. Son mémoire
s'appuie en réalité sur l'important ouvrage déjà cité de Cauchy, le
Cours d'Analyse, publié à Paris quelques années auparavant, en
\%'iL\. Cauchy avait lui-même travaillé sur le même terrain, en
devançant ainsi Abel, qui évidemment avait pris cette direction
sous l'influence du grand géomètre français; il s'y était montré
comme un réformateur de la science, établissant des règles pour
la convergence des séries infinies, et proscrivant tout emploi des
séries divergentes. Cauchy, bien qu'avec moins de détails et avec
moins de profondeur et de pénétration que son successeur, ne se
contente pas d'étudier encore généralement cette série fonda-
mentale pour les valeurs réelles et imaginaires de la variable,
mais il la considère encore pour les valeurs critiques, où sa
détermination cesse définitivement d'exister.

Un autre objet non moins digne d'attention est une remarque,
faite dans le même travail, et d'après laquelle Cauchy, dans son
excellent ouvrage, énonce un théorème dont il semble que
l'évidence soit ires facile à saisir, mais qui n'en est pas moins
douteux; ce théorème concerne la détermination de la continuité
d'une fonction, lorsqu'elle se présente comme la somme d'une
série, composée uniquement de fonctions partielles continues.
Quand on sort du domaine algébrique, pour entrer dans un

50 NIELS-IIENRIK ADia. — ^ U.

terrain complètement étranger, alors, comme on le constate par
un exemple emprunté aux séries trigonométriques, on voit cesser
en réalité cette généralité supposée. Et ce fait, qui, si invraisem-
blable qujil pût alors paraître au premier abord, n'avait pourtant
pas échappé à Toeil pénétrant du jeune mathématicien, devait
aussi jouer un grand rôle dans les progrès de la science. Avant
toutes choses, un résultat important, c'était que les recherches,
qui jusqu'à cette époque ne s'étaient guère attachées à de
pareilles propriétés des fonctions, transportassent leur action
sur un terrain plus élevé. Cette transformation nest pas due
seulement aux travaux d'Abel et de ses successeurs, mais aussi
aux études auxquelles a conduit le développement de la physique
mathématique, et particulièrement la théorie de Fourier sur la
propagation de la chaleur dans les corps solides conducteurs.

Dans une lettre postérieure, au professeur Hansteen, il revient
sur ce sujet, en continuant ainsi son important travail de révision
dont il s'était manifestement occupé depuis quelque temps, non
seulement avec beaucoup d'ardeur, mais aussi avec un succès
marqué; car déjà en janvier il écrit à Holmhoe que cela va bien
et (( que cela l'intéresse énormément. » Dans la lettre de Dresde
déjà citée, en date du ^9 mars, il s'explique sur ce sujet pour la
seconde fois, et il exprime ses idées en termes remarquables.

«Je me réjouis infiniment)), dit-il, a: de rentrer dans ma
patrie et d'y trouver les moyens de travailler tranquillement.
J'espère que cela finira par bien marcher. Les matériaux ne me
feront pas défiiut d'ici à plusieurs années; j'en récolterai bien
quelques-uns en voyage; car juste en ce moment il y a beaucoup
d'idées qui me trottent dans la tête. Les mathématiques dans
leur plus pure acception devront faire à favenir mon seul sujet
d'études. Toutes mes forces seront employées à porter la lumière
dans la monstrueuse obscurité qui incontestablement règne
aujourd'hui sur X Analyse. Elle manque si complètement de plan
et de système, qu'il est en vérité grandement surprenant que
tant de gens puissent se livrer à son étude, et ce qu'il y a de
pire ici, c'est qu'elle n'est nullement traitée avec rigueur. On

TRAVAUX DE BEULIN. f ) !

trouve excessivement peu de propositions dans la haute Analyse
qui soient déuiontrées d'une manière incontestablement rigou-
reuse. Partout on rencontre la déplorable coutume de conclure
du particulier au général, et il est extrêmement remarquable que,
d'après cette manière de procéder, on n'aboutit que rarement à
ce qu'on appelle des paradoxes. Il est vraiment très intéressant
de chercher la cause de ce résultat. — D'après mes idées, cela
tient à ce que les fonctions dont l'Analyse s'est occupée jusqu'ici
peuvent le plus souvent s'exprimer par des puissances. — Dès
qu'il s'en présente parfois d'autres, cas, il est vrai, qui ne se
rencontre pas souvent, les choses ordinairement ne vont plus bien,
et les fausses conclusions font naître alors un enchaînement d'une
multitude de propositions inexactes. — J'ai examiné à fond
plusieurs de ces résultats, et j'ai été assez heureux pour tirer la
chose au clair. Pour peu que l'on procède d'une manière générale,
cela marche assez bien; mais j'ai dû être particulièrement
circonspect; car les propositions une fois admises sans démons-
tration rigoureuse (c'est-à-dire sans démonstration) ont poussé
dans mon cerveau de si profondes racines qu'à chaque instant
je suis exposé à m'en servir sans examen suffisant. Ces pelits
travaux paraîtront dans le journal publié par Crelle.»

S2 MKLS-IŒMUK WWU,. — ij; III.

III.

Nomination de Holmboe. — La colonie norvégienne.
Sombres dispositions.

Tout au commencement du séjour d'Abel à Tétranger, une
chaire de Mathématiques devint vacante à TUniversité, par suite
de la retraite de Rasmussen. Le vendredi 6 décembre 1825, la
Faculté de philosophie fut convoquée à ce sujet, et le doyen
donna connaissance d'une lettre du Sénat en date de la veille,
(( invitant la Faculté à présenter une personne capable, pour
occuper la chaire de Mathématiques vacante à TUniversilé ». On
convint de proposer pour ce poste le lecteur de l'École cathédrale
de Christiania, Bernt Holmboe; (( mais en même temps de
signaler Fétudiant N. Abel couime un homme qui par son talent
pour les mathématiques et ses grandes connaissances scientifiques,
pourrait être un candidat sérieux à cette chaire; que toutefois
on ne pourrait, sans porter préjudice à ses études, le rappeler du
voyage qu'il venait d'entreprendre à l'étranger, et qu'il ne
semblait pas non plus aussi convenable de s'adresser à l'intelli-
gence d'un jeune étudiant qu'à celle d'un maître plus exercé».

Dans la lettre du Sénat au vice-chancelier de l'Université, datée
du 10 décembre 1825, on lit, à propos de la même question, ce
qui suit : « Conformément à l'avis émanant du département des
alîaires ecclésiastiques, en date du 28 du mois dernier, et invitant
le Sénat à faire une proposition pour la nomination à la chaire de
Mathématiques vacante dans l'Université, le Sénat, d'accord avec
ro[)inion émise par la Faculté de philosopliie, a Thonneur
d'appeler l'attention sur deux hommes que leurs connaissances
rendent tout-à-fait dignes d'occuper ce poste, savoir, le lecteur
de l'École supérieure de Christiania, Bernt-Michael Holmboe, et
l'étudiant Niels Abel.

i\()Mr\.\Tr(»\ nr, ifor.MnfiF:. iy.\

» Lo promiiT, (]nns les huit nnnécs qu'il n passées comme
Iccleur (l(î niatliématiques à ri*]colc supérieure, a fait preuve
chaque jour d'une remnrqualîle capacité, et en même temps il a
montré, [)ar les écrits qu'il a publiés, qu'il possède une connais-
sance étendue et profonde des mathématiques. De plus, ayant
depuis dix ans servi d'aide (*) au professeur Ilansteen, il est
avantageusement connu dans fUniversité par la solidité de ses
connaissances et son habileté.

» Le Sénat a eu également l'occasion de connaître le rare talent
de rétudiant Abel pour les mathématiques et ses grands progrès
dans cette science, tant par les cinq années d'études qu'il a faites
ici que par les mémoires qu'il a publiés. On devra seulement
remarquer qu'il est actuellement absent pour un voyage à
l'étranger, qu'il a entrepris Tété dernier, et que l'on ne pourrait
maintenant lui faire interrompre sans porter préjudice à l'avance-
ment de ses études; et en même temps le Sénat croit pouvoir
conclure de la nature d'esprit d'Abel qu'il lui serait difficile de
savoir accommoder son enseignement à l'intelligence des jeunes
étudiants, et par suite qu'il ne pourrait pas enseigner les éléments
des mathématiques, qui font l'objet principal de cette chaire, avec
le même fruit qu'un maître plus exercé, tandis qu'il serait, au
contraire, préférable pour lui d'occuper une chaire de hautes
mathématiques, que l'on peut espérer avec le temps voir fonder
dans notre Université.

» Par ces raisons, le Sénat estime devoir recommander de
préférence, pour la chaire vacante, la nomination du lecteur
llolmboe; mais il considère aussi comme un devoir de faire
observer combien, au point de vue de la science en général et
de notre Université en particulier, il importerait que l'on ne
perdît pas de vue l'étudiant Abel. »

Gomment furent jugés plus tard, à un autre point de vue, les
motifs allégués par le Sénat, lorsqu'ils furent connus du public,
à la suite d'une explication du Sénat insérée dans le Morgcnblad

(') Anmnuemh.

54 NIELS-HENRIK ABEL. — | III.

du 1G décembre 1829 et provoquée par une assertion de Boeck
dans sa Note sur le nécrologe d'Abel rédigé par Ilolrnhoc, — on
en pourra juger par les lignes suivantes envoyées par leur auteur
au même journal le 15 février suivant.

Cet article, Tœuvre probablement d'un jeune étudiant, nous
semble devoir être reproduit ici dans son entier, comme une
image caractéristique de Tépoque, servant à expliquer les relations
qui régnaient dans notre Université. Cette pièce, seul témoignage,
à côté de l'assertion de Boeck, qui constate que cette affaire ait
alors ému Topinion publique, mérite bien qu'on lui accorde une
place dans un tableau de la vied'Abel tracé pour ses compatriotes
et pour le public Scandinave.

L'article contient une attaque contre Holmboe, si toutefois
elle ne s'adresse pas plutôt à Rasmussen ; mais nous pourrons le
transcrire ici, sans que l'honneur de Holmboe en soit atteint. Car
une leçon bien réussie dans la chaire ne constitue pas tout le
mérite de celui qui enseigne, et quand même nous n'aurions pas
d'autres témoignages sur les services rendus comme professeur
par cet homme consciencieux et honorable, il nous suffirait
surabondamment d'invoquer le témoignage d'Abel lui-même, dont
il avait dirigé l'éducation scientifique dans la bonne voie et avec
un tact réel.

(( Autant j'ai reconnu vraie )>, dit l'auteur anonyme, (( la
remarque du lecteur Boeck sur le nécrologe d'Abel par Holmboe,
autant ma manière de voir sur ce sujet est peu d'accord avec
l'article publié dernièrement par le Sénat dans le Morgcnblad et
la Patrouille.

y> C'a été sans doute l'intention du Sénat de démontrer la
fausseté de l'assertion de Boeck, qu' « Abel, après avoir complété
» ses études, n'a pas rencontré dans l'Université de Norvège les
» encouragements auxquels son talent extraordinaire lui donnait
adroit de s'attendre»; mais cette démonstration, à mon avis,
n'est pas réussie.

» Que depuis l'époque où Abel était étudiant, il ait été fait
beaucoup pour lui, tant par la générosité de quelques particuliers

NOMINATION I)K MOLMIlOi:. jfjj

que par les secours de TEtat, c'est ce quon ne peut contcsler.
Mais quel pouvait cire le but de ces encouragements, si Ton ne
voulait pas arriver à une conclusion, en lui assurant à rUnivcrsiti;
un traitement convenable, suivant le plan dressé autrefois? C'est
certainement on grande partie à cause de ces encouragemenls
qu'il s'était exclusivement consacré aux mathématiques, au lien
de se choisir un gagne-pain quelconque, et il s'est ainsi trouvé
dans une très désagréable position, en se voyant déçu dans ses
espérances légitimes.

y> On n'a pourtant pu concevoir l'idée d'encourager Abel à
perfectionner son instruction en vue d'occuper une chaire dans
une Université étrangère! Il me semble d'ailleurs vraisemblable
que notre Université est trop jeune et trop pauvre en génies aussi
élevés qu'était Abel. C'est pousser trop loin la libéralité que de
dépenser en cadeaux ce dont on devra bientôt manquer soi-même.

» Pourquoi Abel n'a-t-il pas été nommé professeur de mathéma-
tiques pures aussitôt après la retraite du professeur Rasmussen?

» 1° Parce qu'il était à l'étranger, et que Ton ne pouvait pas
attendre son retour;

» 2^^ Parce qu'il n'aurait pas su se mettre à la portée de l'intelli-
gence des jeunes étudiants. — Telles sont les raisons que l'on donne.

3) Quand la chaire en question devint vacante, Abel était déjà
depuis six mois à l'étranger, et la durée totale de son voyage à
été environ d'une année et demie. On n'avait par conséquent
qu'une année à attendre. N'aurait-on pas pu s'arranger de
quelqu'autre manière jusqu'à son retour? Le seul professeur
titulaire de Chimie de l'Université était bien resté déjà plus
longtemps à l'étranger; depuis, il a été envoyé en Danemark
pour régler des comptes touchant les caisses de veuves; et pour-
tant les deux fois on s'est tiré très bien d'atTaire en son absence.

» 11 en est encore de même aujourd'hui, pour ne pas parler des
absences qui se sont produites dans l'intervalle. Le seul professeur
titulaire de MathématiK:{ues de l'Université est depuis plus d'un
an en Sibérie, et l'on s'aide comme on peut pendant ce temps là.

» Le premier motif ne paraît donc pas sufiisaiit pour avoir

56 NIELS-HENHIK ABEL. — | III.

nommé un autre à la place d'Abel et avoir ainsi enlevé à celui-ci
toute occasion d'occuper une chaire dans rUnivcrsité de son pays.

» L'autre motif était qu'il ne se serait pas mis à la portée de
rintelligcnce des jeunes étudiants.

» Et d'où savait-on cela, et quelle preuve avait-on à l'appui de
ce jugement?

y) Sans parler de plusieurs élèves qu'Abel a préparés à V examen
ariium et à V examen pJdlosophiciim et qui ont déclaré que son
enseignement était très clair, j'en ai moi-même fait l'épreuve.
Après avoir passé inutilement deux années à suivre sans profit
les leçons ex cathedra d'un maître, qui, lui, était médiocrement
doué, je m'adressai à Abel, en le priant de m'ôler, s'il se pouvait,
l'aversion pour les mathématiques qui bien mal à propos s'était
emparée de moi à la suite de mes longs et infructueux efforts.
Abel s'y prit avec moi de telle manière que je parvins en trois
mois à me mettre à un certain point dans la tête l'algèbre, la
théorie des fonctions, les principes de la théorie des équations de
degré supérieur, ainsi que le calcul différentiel et intégral; je
prenais même beaucoup de plaisir en appliquant le calcul différen-
tiel et intégral à la démonstration des théorèmes de stéréométrie
et de trigonométrie.

» Dès lors je n'ai pas besoin de dire que je trouvais son
enseignement très clair et sa méthode très pratique.

» Tu n'es plus parmi nous, mon pauvre ami, et tu n'as pas
besoin de l'appui de mes faibles paroles. J'aurais volontiers
consacré encore quelques lignes à ta mémoire; mais des voix
plus puissantes que la mienne ont déjà depuis longtemps rendu
hommage à ton souvenir, et je dois me contenter d'ajouter que
je n'oublierai jamais la bonne humeur et la cordialité que tu as
toujours montrées dans les nombreuses et diverses situations où
nous nous sommes rencontrés. »

Les propositions de la Faculté de philosophie et du Sénat, de
même que les raisons à fappui, peuvent nous paraître singulières,

NOMINATION DE IIOLMIIOK. 57

et po\U-(.Hrc incompréhensibles. Pour ne pas nous laisser
entraîner à un jugement injuste, il faut nous reporter un instant
en arrière, à Tépoquc où la chose était en délibération.

Peut-être le choix de la bonne solution nous paraîtra bien
autrement embarrassant alors qu'on ne serait disposé à le croire
maintenant, avec notre nouvelle manière d'envisager les faits.

Bien des raisons, en eiïet, portaient à supposer qu'Abel, comme
le plus jeune, devait céder le pas à son maître habile et érudit.
11 n'était pas encore parvenu à fixer sur lui l'attention du public,
et bien moins surtout à la célébrité. Ses travaux scientifiques,
comme nous l'avons vu, n'étaient pas exempts de taches, bien
que d'autre part de nombreux indices parussent* indiquer que
son œuvre promettait pour l'avenir, qu'elle serait même
lumineuse. Chez le mathématicien juvénile on ne pouvait pas
encore compter en toute sûreté que l'on rencontrerait cette
prévoyante circonspection qui, quelque difiîcilemeut qu'elle se
trouve unie avec l'audace et la fermeté inébranlable de concep-
tion, n'en est pas moins exigée des hommes de science comme
une qualité essentielle. Car le génie sans frein n'aboutit souvent
qu'à de longs et déplorables bouleversements.

11 avait, à cette époque, obtenu certainement un grand résultat,
un au moins, ou il était sur le point d'y mettre la dernière main;
mais nous avons vu que de tous côtés on l'accueillait avec
méfiance. Hansteen même, le puissant protecteur d'Abel, chez
qui l'échec du jeune débutant n'avait pas altéré l'opinion favo-
rable qu'il avait conçue sur sa capacité mathématique, Hansteen,
dans la lettre de recommandation qu'il avait écrite à l'occasion
de la demande de la subvention de voyage, n'avait pas dit un
seul mot de son remarquable mémoire sur l'équation du
cinquième degré, qui aurait dû, au contraire, être cité comme le
plus puissant titre en sa faveur, si Hansteen avait cru pouvoir
garantir qu'Abel ne s'était pas trompé une fois de plus.

Parmi les objections qu'on avait faites à sa nomination, il en
est une cependant qui mérite particulièrement d'être examinée
de près : a On croyait avoir reconnu dans un côté de ses aptitudes,

58 NIKLS-IIKNRIK ABEL. — | IH.

une répugnance à se mettre à la portée de rintolligence des
jeunes étudiants, d'oui! s'ensuivait qu'il ne pourrait pas enseigner
les éléments des mathématiques, qui font Tobjet principal de
cette chaire, avec le môme fruit qu'un maître plus exercé. » Il
est possible que pendant quelque temps il n'eût pas su s'accom-
moder à letat des connaissances de ses élèves, auxquels il aurait
supposé plus de science qu'ils n'en avaient. Une telle illusion est
souvent une pierre d'achoppement pour les esprits précisément
les mieux doués, tant qu'ils n'ont pas acquis une pratique et
une expérience suffisantes dans l'exercice même de leur ensei-
gnement. Une chose, en attendant, est absolument hors de doute,
quoiqu'il allègue modestement sa timidité : c'est précisément la
clarté limpide et « naïve )> d'Abel, qui nous garantit que lui
aussi, quand le temps serait venu, aurait rempli avec distinction
ses fonctions de professeur. Toujours il avait soin de revenir sur
les éléments quand les notions mathématiques étaient confuses,
et de consulter les auteurs classiques quand il fallait éclaircir et
creuser plus avant le sujet. Avec cette manière de voir relative-
ment aux causes principales, qui font gaspiller tant de forces, et
aux conditions du véritable progrès, il aurait rapidement appris
l'art d'adapter son talent hors ligne au niveau intellectuel des
étudiants. Plus tard, chargé de l'enseignement de l'Astronomie
pendant le séjour de Hansteen en Sibérie, il ne faisait pas comme
ceux qui accablent les étudiants de développements mathémati-
ques; il en donnait le moins qu'il lui était possible.

Quant à Holmboe, il se trouvait dans la position fausse qu'avait
causée la non-élection d'Abel, et aussi longtemps qu'il ne se voyait
pas délié par la création d'une chaire en faveur de celui-ci, il y
restait engagé malgré lui. Avec les liens d'amitié qui l'attachaient,
après comme avant, à son illustre élève, il lui avait été certaine-
ment pénible d'obstruer pour l'avenir la carrière d'Abel. Mais
Holmboe, il faut s'en souvenir, fut appelé par l'Université; c'est
lui qui fut désigné, et non son disciple. Sans doute Hansteen, le
bienveillant protecteur des deux concurrents, a fait valoir en
faveur de son aide préféré l'idée avec laquelle plus tard il voulut

NOMINATION DE IIOI.MIIOK. TiO

encourager Abcl — pour lui procun^r un instant de consolation
et crospoir, — celle do la création, dans un avenir pas trop lointain,
d'une nouvelle chaire de mathématiques. Cette idée avait été
aussi indiquée expressément dans la proposition du Sénat pour
la nomination à la chaire vacante.

La tradition raconte d'ailleurs, que cela soit vrai ou non — et
cela confirmerait une fois de plus, s'il en était besoin, les
relations si exceptionnellement amicales ({ui ne cessèrent jamais
de subsister entre l'ancien élève et le professeur, — elle raconte,
dis-je, que Holmboe aurait voulu renoncer à sa candidature au
profit de celle d'Abel. Personne, sans aucun doute, à cette époque
n'était mieux à même d'apprécier l'éminent talent scientifique de
son disciple, bien que certainement il ne pût encore deviner
quelle hauteur il avait atteinte déjà et devait encore dépasser plus
lard. Homlboe n'aurait cédé que devant la menace qu'on aurait
faite de s'adresser à un étranger. Ce dernier détail est peu
croyable, et ce n'est probablement qu'un embellissement ajouté
au récit. Car si l'on donnait la préférence à Holmboe, ce n'était
pas certainement que, malgré la tournure malheureuse donnée
par la Faculté et le Sénat aux motifs à l'appui de leur présentation,
ces deux corps fussent inflexiblement opposés au choix du
second candidat; on le trouvait seulement trop jeune et trop
inexpérimenté.

C'était le 16 janvier 1826. Abel était précisément occupé à
sa correspondance avec Holmboe. Il rédigeait pour celui-ci ses
remarques critiques et d'une grande portée concernant les imper-
fections que présentait alors l'état des mathématiques, et les
réformes fondamentales qui restaient à faire. Il était à l'instant
même en train de choisir un exemple pour faire clairement voir
quelle circonspection il faut apporter dans les raisonnements.

A ce moment entre un compatriote, qui lui apporte la nouvelle
définitive, mais non imprévue, de la nomination faite à la chaire
vacante du candidat proposé par fUniversité, le lecteur Holmboe.

Les lignes suivantes, simples et naturelles, nous montrent

GO NIELS-HENRIK AHEL. — | III.

comment Abcl accueillit la nouvelle, si peu propre à le réjouir,
d'un événement qui semblait pour toujours lui fermer la carrière
au profit de son ancien maître.

((J'en étais à ces mots», écrit-il en continuant sa lettre,
(( quand Maschmann est entré chez moi; et comme je n'avais pas
reçu depuis longtemps des lettres du pays, je me suis arrêté pour
lui demander s'il n'avait pas quelque chose pour moi; car c'est
lui qui m'apporte toujours ma correspondance; mais il n'y avait
rien. C'était lui au contraire qui avait reçu une lettre, et entre
autres nouvelles il m'a raconté que toi, mon ami, tu es nommé
lecteur à la place de Rasmussen. Reçois mes plus sincères
félicitations, et sois très certain qu'aucun de tes amis ne s'en
réjouit plus que moi. Tu peux bien croire que j'ai souvent
souhaité un changement dans ta situation ; car rester maître
dans une école, c'eût été horrible pour quelqu'un qui s'intéresse
si vivement à sa science.

» Et maintenant tu vas t'occuper sérieusement de te choisir une
bien-aimée, n'est-ce pas?»

Abel — après avoir envoyé des salutations à ses amis —
reprend son exemple commencé. Cet exemple est d'ailleurs
remarquable en ce qu'il a été particulièrement signalé (par
Dirichlet) comme un témoignage de la finesse d'esprit de son
auteur.

La lettre se termine par ces mots : d Je désirerais bien être à
la maison; car je m'ennuie terriblement. Ecris-moi enfin une
longue lettre sur toute espèce de choses. Dépeche-toi vite, aussitôt
ma lettre reçue. — Demain j'irai au théâtre voir la Belle Meunière.
Adieu, salue mes connaissances. Ton ami

» N.-II. Abel. »

La lettre suivante à M'"® Hansteen est écrite du même jour
qu'il envoya sa lettre de felicitation à Holmboe. C'est un petit
billet, évidemment inséré dans une autre lettre, occupant la
moitié d'une page in-octavo, et écrit en long et en travers.

(( Je vous suis tellement attaché, chère M"'^ Ilansleen, que je
ne puis me dispenser de vous envoyer au moins quelques courtes

LK l'HILOSOlMIK UK(iKL. 61

lignes. iMais aussi soyez bonne pour moi. Je crains tellement que
vous ayez cessé de Tùtrc, car je n'ai encore reçu aucune nouvelle
de vous, et je serais si heureux d'en recevoir! Cependant j'ai bon
espoir; car ma bien-aimce m'a écrit que vous aviez Tintention
de m'honorer d'une petite lettre. J'ai aussi une autre raison
d'espérer : j'ai rêvé cette nuit que j'avais reçu une lettre de vous,
et il m'est impossible de ne pas croire que mon rêve ne se réalise
pas; il me semble que j'étais si content !

y> Hier j'ai vu la favorite de votre mari, M'"*^ Seidler, dans la
Belle Meunière, et elle était vraiment charmante. — Quand vous
écrirez à votre sœur, M'"® Frederichsen, n'oubliez pas de la
saluer de ma part. J'ai longtemps eu l'intention de lui écrire,
car elle me l'avait permis; mais je ne sais trop si j'oserai le
faire. — Elle est un peu difficile, et je me considère en vérité
comme un grand lourdaud (^). N'oubliez pas non plus de saluer
votre mère ainsi que ]\P Rosenstand. — Il me tarde beaucoup
d'avoir des nouvelles de Norvège. Imaginez-vous que je n'ai pas
reçu de réponse de ma bien-aimée à mes deux dernières lettres;
aujourd'hui j'en écris une troisième. Je suis vraiment un peu
inquiet, mais je rejette encore la faute sur la poste. — Aux fêtes
de Noël je suis allé au bal chez le conseiller intime Grelle; mais
je n'ai pas osé danser, bien que je fusse élégamment mis comme
je ne l'avais jamais été. Me voyez-vous tout neuf de la tête aux
pieds, avec un double gilet, un col empesé et des lunettes? Vous
devez trouver que je commence à suivre les avis de votre sœur;
j'espère être complet quand j'arriverai à Paris. Je voudrais bien
y être allé et être de retour au pays ! C'est pourtant si singulier
de se trouver au milieu d'étrangers! Dieu sait comment je pourrai
y tenir, lorsque je me trouverai séparé de mes compatriotes!
Cela aura lieu au commencement du printemps. — Saluez enfin
Charité bien cordialement, ainsi que ma sœur et mon frère. J'ai
écrit à celui-ci il y a trois semaines par l'intermédiaire de ma
bien-aimée. Il doit avoir reçu ma lettre. Je lui ai fait mes

(') En stor Trompeter.

62 NIELS-HENUIK ABEL. — | 111.

meilleures exhortations. Je veux espérer que tout ira pour le
mieux. Il y a en lui un fond de bon naturel; mais il a honte. —
En cela je lui ai bien ressemblé, mais je ne suis pas si roide.

» Adieu, chère madame, et deux petits mots de réponse, ou je
n'oserai plus vous écrire.

» Votre

» N. Abel. »

Le post-scriptum suivant est écrit en travers sur la première
page :

« Dans ma lettre au professeur, Dieu sait que c'est bien invo-
lontairement, j'ai peut-être employé des expressions qui peuvent
lui avoir déplu. Soyez mon avocat dans cette affaire, et excusez-moi
le mieux que vous pourrez. Portez-vous bien et saluez Charité. y>

Par un singulier effet du hasard, Abel, avec ses deux compa-
gnons de voyage, était venu se loger dans la maison même
habitée par Hegel. Son adresse était Kupfergraben, n*" 4, dans le
voisinage de la Sprée. Au-dessous d'eux, d'après les récits, était
un débit de bière; à l'étage supérieur résidait le philosophe
allemand. Cependant Abel lui-même ne dit rien de cette coïnci-
dence dans ses lettres à Hansteen ou à Holmboe.

Les deux philosophes menaient là côte à côte, chacun dans sa
direction spéciale, leur existence laborieuse : Abel tantôt lisant
sans interruption et en masse les gros in-quarto qu'il était allé
chercher dans les bibliothèques, et y découvrant des vices de
déduction; d'autres fois, plongé dans ses méditations ou occupé
sans relâche à les rédiger. Au-dessus de lui, un autre monde
de pensées, construisant de vastes et obscurs systèmes, mais
probablement n'ayant aucun soupçon que dans la même maison
habitait un génie de la force du sien.

C'était à ce moment, d'après le récit de Boeck, qu'Abel se
voyait arrêté tout à coup dans ses recherches — pendant ou peu de
temps avant l'impression d'un de ses Mémoires pour le Journal.
Une difficulté insoluble s'était rencontrée sur son chemin et le

I.i: l'IllLOSOI'llK UKC.El. 63

inottait au désespoir. Il est assez probable que c'était la lacune
existant dans la démonstration de son mémoire sur Téquation
du 5" degré, et dont il venait de sapercevoir tardivement. Peut-
être sétait-il encore trompé, et il ne restait plus de son édiiiec
qu'un château en Tair !

Une nuit où il s'était mis au lit agité et incapable de dormir,
toujours, toujours pensant, il lui vient tout à coup une idée :
c'était le mot de l'énigme. Dans le transport de sa joie, il alla
réveiller Boeck, qui dormait tranquillement, pour lui raconter son
heureuse découverte nocturne. Toutefois il ne voulut pas suivre
l'avis judicieux de son camarade, d'allumer une bougie pour
coucher sur le papier la découverte qui venait le tirer de peine.

Ce qui confirme encore davantage notre conjecture au sujet de
la difficulté, cause de l'effroi d'Abel, ce n'est pas seulement
rindication de Boeck, désignant cette direction, mais surtout la
circonstance que le mémoire en question est le second dans
l'ordre des travaux publiés à cette époque, tandis que ceux qui le
précèdent et qui le suivent immédiatement ne semblent pas
contenir de passages assez scabreux pour avoir arrêté si longtemps
un Abel.

11 n'était pourtant pas absorbé exclusivement par ses médita-
tions mathématiques et ses profondes études. Dans la colonie
on s'égayait aussi par des causeries et des discussions. Tank
étant venu pour manger, à la mode de Norvège, les crêpes de
Noël (*) avec ses compatriotes présents à Berlin, les discussions
prirent bientôt une tournure plus élevée et plus philosophique.
Tank, assis sur un tabouret au milieu de l'appartement, dévelop-
pait des idées sur la philosophie naturelle qui lui avaient été sans
doute inspirées par Steffens, auprès duquel il avait été les chercher
à Breslau, et chez qui il était logé dans ce moment. Abel se
promène autour de lui, souriant, mais silencieux. Bientôt il
entreprend l'orateur, en le serrant de près par son inexorable
logique, et le forçant à se retirer dans ses retranchements de plus

(^) Bouillie de gruau.

64 NIELS-HIÎNRIK ABEL. — % Ul.

en plus étroits. — A Totage au-dessus, le grand philosophe est
assis, méditant.

Parfois cependant Tentretien devenait assez vif et assez bruyant
pour gêner un peu le voisin d'en haut, qui envoya prendre des
informations par sa femme de service. ïl s'imaginait que les
joyeux sauvages qui habitaient juste au-dessous de lui se prenaient
aux cheveux. Un jour que le tapage était trop violent, il demanda
à l'hôtesse quelle espèce de gens c'étaient qui logeaient au-dessous
de lui. (( Des étudiants danois », lui répondit-on. «Des Danois,
non! des ours de Russie (')! » répliqua le sage hors de ses
gonds.

Souvent Abel était d'humeur triste, bien qu'il cherchât à le
dissimuler, nous dit Boeck, par une gaieté affectée et par un
extérieur indifférent. Peu de personnes étaient pleinement
admises à sa confidence, et dans la manifestation de son
véritable caractère, il se montrait extrêmement réservé; ceux
qui l'approchaient de plus près le connaissaient ou le jugeaient
mal. Bien que son voyage à l'étranger fût pour lui une grande
distraction, et qu'il se trouvât, à Berlin, très satisfait de l'accueil
aussi agréable que profitable qu'il recevait chez Crelle, il n'en
éprouvait pas moins de fréquents et violents accès d'une sombre
mélancolie.

Il restait parfois des journées entières immobile et silencieux,
triste et inactif. Quand on lui demandait ce qui lui manquait et
s'il était malade, il répondait seulement : « Je suis sombre » .

Déjà, peu de temps après son arrivée à Berlin, on avait été
informé dans la colonie que Rasmussen serait nommé caissier
public, et qu'il en résulterait une vacance des fonctions qu'il
allait quitter. Naturellement, on s'intéressait pour Abel. Cepen-
dant Abel lui-même trouvait convenable et naturel que Holmboe
passât avant lui. D'après une phrase d'une lettre d'Abel à Hansteen,

{}) Nicht D^nen; es sind russische Bâren'

TIWSTKS l'RNSKKS. (\Vt

sur liuiuelk' nous revicudrous [dus laid, on peut du reste conclure
que, dans la correspondance entre Boeck et ce dernier, il y a eu
aussi sur ce sujet quelques mots échangés, dont le contenu,
après un intervalle de tant d'années n'a pu laisser aucun
souvenir précis.

Rarement, esl-il dit dans les réflexions de Boeck dont nous
avons déjà parlé ('), rarement Abel paraissait avoir une lueur
d'espoir qu'on lui assurerait une position suflisante ; le plus
souvent toutes les représentations qu'on lui faisait ne parvenaient
pas à le ramener à la gaieté. A sa table de travail il cherchait
l'oubli de ses pensées sur l'avenir; ensuite il se levait de bonne
humeur et l'esprit content. La satisfaction d'avoir mis au net
telle ou telle proposition sur laquelle il avait travaillé, lui faisait
oublier pendant quelques instants le monde extérieur : il était
parfaitement heureux.

Nous avons vu dans quelles conditions de gêne, il avait grandi
et accompli ses études universitaires; au commencement de sa
vie d'étudiant, il n'avait subsisté que par la bonté et la compassion
d'autrui. Après la mort de son père, sa famille s'était dispersée;
sa sœur Elisabeth avait été recueillie dans la maison du conseiller
d'état Treschow, et auprès de cette excellente famille elle se
trouvait bien sous tous les rapports.

Mais quant à sa mère et à ses frères, aussitôt qu'il fut en
état de se suffire à lui-même, il eut, avec ses minces ressources,
sinon à les entretenir, du moins à leur venir en aide dans leur
malheureuse position. Il n'y a donc pas lieu de s'étonner qu'il ait
contracté avec plusieurs amis des obligations et des dettes,
surtout avec l'infatigable générosité de Holmboe et l'affection
maternelle de M^"« Hansteen.

L'époque où nous sommes a été certainement un de ces courts
instants de bonheur relatif, et l'on n'entend plus pour le moment
de plaintes directes; on saisit seulement un reste d'impressions
du temps passé, qui se font jour dans ses lettres à ses plus

(^) Note lil Holniboes Nckrolog.

6G NIELS-HENRIK ABEL. — § III.

intimes amis. Mais dans la position dilTicile où il pouvait se
retrouver encore, à son retour dans son pays, ce petit pays
pauvre et nouvellement ouvert à la culture intellectuelle, où il
n'y avait pas de place pour ses plans à haute portée et pour ses
mathématiques transcendantales, ce soulagement, d'un instant
peut-être, ne pouvait lui permettre d'écarter de son esprit les
préoccupations do l'avenir.

Un motif qui ne contribuait pas peu à provoquer ces accès de
tristesse, c'est qu'il était fiancé depuis 1824, année de son départ
de Christiania. C'était nous l'avons dit, à une demoiselle danoise,
Christine Kemp, qu'il avait lié son avenir incertain, et il lui était
attaché, d'après ce que nous apprend Boeck, par une tendresse
plus vive qu'il ne voulait le faire paraître devant la plupart de
ses connaissances.

Pour se préparer un avenir plus tranquille, — en admettant
toutefois que cela fût réellement compatible avec la tendance
abstraite de son esprit et son puissant amour de l'étude, avec les
promesses de son passé, avec son ensemble d'idées profondes et
de plans pour l'avenir, — on ne devait pas non plus s'attendre à
voir Abel se résoudre sans de violents combats à devenir infidèle
à sa vocation. Jamais maintenant, malgré la misère et le besoin,
il n'aurait pu abandonner entièrement la science pour laquelle
il était créé et mis au monde, et renoncer à la passion qui avait
pénétré dans toutes les profondeurs de son être.

Après une jeunesse passée dans l'extrême misère, il avait
maintenant en perspective une vie de privations, pour lui et pour
celle à qui, dans les illusions trompeuses de la jeunesse, il avait
enchaîné sa destinée. Personne n'avait une juste idée de ce qu'il
était et de ce qu'il pouvait créer. Peu de gens s'intéressaient à lui.
Tout ce qu'il avait conçu et exécuté de grand trouvait à peine
une petite place.

Comment alors pourrait-il produire son œuvre dans le monde,
si pas une main ne se tend pour l'aider?

ni'FLEXioNS ivr SOUCIS. ()7

Réflexions et soucis. Les matériaux amassés. — L'esprit
et la méthode des recherches d'Abel.

a Glière madame Hansteen,

}) Par ma lettre au professeur, vous pourrez voir où en sont
mes affaires. J'ai de plus une prière à vous adresser. Vous avez
été toujours et à Texcès si bonne pour moi! Dieu vous bénisse!
n'oubliez pas non plus mon frère. J'ai grand'peur qu il ne tourne
mal. S'il avait besoin que je lui donnasse davantage, j'oserais vous
prier de lui remettre quelqu'argent de plus. (Juand les cinquante
spd. (*) seront finis, je ferai en sorte de vous en ïa'we parvenir
d'autres, si à l'avenir vous êtes assez bonne pour vous charger
de lui administrer cette somme et de la lui distribuer comme
vous le trouverez convenable.... Quand vous le verrez, faites-lui,
je vous prie, mes amitiés et recommandez-lui de m'écrire; il
pourra envoyer sa lettre par ma bien-aimée, qui en prendra soin;
ou, ce qui vaut encore mieux, qu'il me l'envoie non affranchie. —
... Je vis d'ailleurs très tranquille et passablement occupé; mais
je sens de temps à autre de terribles accès de mal du pays, qui
sont encore empires par la désolante rareté des nouvelles de chez
nous. Ma chère sœur se trou ve-t- elle bien? Je la salue de toute
mon âme. Et la charmante, l'excellente Charité, je lui souhaite
de tout cœur une bonne santé. Adieu, chère madame Hansteen.
Je ne puis plus en écrire davantage; je suis tout à fait mélan-
colique.

:s> Adieu, et ne soyez pas fâchée contre moi; je dois vous
sembler un peu singulier. »

C'est ainsi que s'exprimait le géomètre attristé, au mois de

(i) 277 francs.

68 MKLS-HEMUK M\FA.. — ^ IV.

décembre 1(825, et le contenu de celte lettre nous donne un
aperçu des embarras et de la position pénible, que nous ne
pouvons pénétrer (ju'imparfailement, et qui Tenveloppait, lui et sa
fiiinille dispersée de tous cotés, et que, endetté lui-même, il
s'efforçait de secourir avec ses minces ressources. La situation
maintenant n'était rien moins que brillante, et il ne pouvait se
distraire de ses tristes pensées que par les obligatioiis de la vie
en commun avec ses joyeux camarades, par un travail de spécu-
lation opiniâtre, et avant tout par la fréquentation pleine de
gaieté et d'instruction du cercle de la tlimille Crelle. Il éprouvait
des alternatives de prostration complète et d'incapacité de tout
acte intellectuel, auxquelles succédait une tension d'esprit
soutenue et appliquée aux grands problèmes qui Foccupaient
jour et nuit.

Nous allons aussi changer de sujet, et laisser là les soucis
d'Abcl pour entrer dans sa chambre de labeur.

Abel, tout triste et découragé qu'il soit, continue à travailler
pour le Journal nouvellement fondé. Les matériaux qu'il a mainte-
nant amassés, il les indique en quelques lignes, incluses dans une
lettre de Keilhau au professeur Hansteen. Dans ce billet, daté du
30 janvier 1826, on lit ces mots : « Le Journal va bien. En avril
vous recevrez le premier cahier. Vous verrez que je travaille de
toutes mes forces; il y aura chaque fois trois ou quatre mémoires
de moi. »

Il revient encore sur le même sujet, quelques jours plus tard,
dans une lettre à Holmboe. Après avoir fait remarquer que ce
premier cahier paraîtrait dans un mois (^), il ajoute qu'il a six
méuioires tout prêts, parmi lesquels le mémoire précédemment
remanié et rédigé à nouveau, sur l'impossibilité de résoudre
algébriquement les équations générales d'un degré supérieur au
quatrième.

Mais il ne s'agissait pas seulement de mémoires plus ou moins

(*) C'est-à-dire vers la fin de février, car en avril, à cause de l'interruption des
communications avec notre pays, causées alors par le mauvais temps, aucune
livraison de journal ne pouvait arriver jus(iuà Christiania.

l'HO.IFTS d'aVI'MH. 69

étendus, pnMs pour riiiiprcssioii, ou n'attendant plus que la
rédaction définitive. D'autres travaux considérables, auxquels il
n'avait pas encore trouvé Toccasion de mettre la dernière niain,
étaient conçus déjà dans leurs principales parties, et il éprouvait
un vif désir de les voir publiés; il ne s'agissait pas le moins du
monde des recherches sur le calcul intégral, qui avaient été si
hautement appréciées à Christiania et que Ilansteen, entre autres,
avait mentionnées honorablement dans la recommandation écrite
par lui à propos de la demande pour Abel d'une subvention de
voyage. Ces travaux perdus, sur lesquels, vers la fin de sa courte
carrière — après avoir doté la science de tant de richesses d'une
impérissable valeur — il se plaisait lui-même à revenir, il en
parle déjà dans le même sens à l'époque où nous sommes, dans
le billet de la lettre de Keilhau.

« Si je pouvais trouver un éditeur», dit-il, «je voudrais aussi
faire imprimer mes recherches sur le calcul intégral ; mais ce
sera probablement assez difficile; car ces choses-là, surtout ici
en Allemagne, sont peu recherchées. Cependant je vais voir ce
que je pourrai obtenir avec l'aide de Grelle. Il m'a fait espérer
que cela ira tout seul, aussitôt que j'aurai écrit divers articles
dans le Journal. Je commence, à cause de cela, par mes meilleurs
mémoires. Cela me permettra de ne pas craindre le manque de
matière pour le moment. S'il m'était seulement possible de voir
tout cela imprimé! Mais ce n'est pas, dit-on, chose facile. Si le
Journal n'avait pas été fondé, c'aurait été encore pis. ))

Les recherches en question, trop volumineuses pour être
admises dans le Journal de Mathématiques, concernaient, d'après
Hansleen, «une exposition méthodique perfectionnée du calcul
intégral», et coïncidaient entièrement, avec ce qu'Abel, long-
temps après, indiquait lui-même (dans une Note (^) sur son grand
mémoire posthume et inachevé. « Précis, etc. y>) comme un
des buts principaux de ses travaux. Il s'exprimait en ces termes :
(( J'ai fondé sur ce théorème une nouvelle théorie de l'intégration

(') l'âge 355 du 1^' volume de ses Œuvres (p. 550, l. I de la 2« édition).

70 NMKLS-HENniK AIUÎL. — | IV.

des formules différentielles algébriques, mais que les circonstances
ne m'ont pas permis de publier jusqu'à présent. Cette théorie
dépasse de beaucoup les résultats connus ; elle a pour but d'opérer
loiitcs les réductions possibles des intégrales des formules algé-
briques, à Taide des fonctions algébriques et logarithmiques. On
parviendra ainsi à réduire au plus pelit nombre possible les
intégrales nécessaires pour représenter sous forme finie toutes
les intégrales qui appartiennent à une même classe. »

A côté de ce travail de l'avenir s'en plaçait encore un autre,
qui devait être déjà bien avancé pour la partie essentielle, bien
que, à ce moment,, il n'en fût plus question dans ses lettres. Au
milieu de ce labeur de rédaction sans relâche, il avait dû sans
doute renvoyer aussi cette tâche à des temps meilleurs. C'était la
Théorie des transcendantes elliptiques.

L'idée fondamentale d'Abel, Tinversion des transcendantes, a
pu, comme nous l'avons montré, être suivie en remontant jusqu'à
l'été de 1823, où elle se présente d'abord sous une forme
imparfaite. Et c'est probablement vers l'époque qui nous occupe,
mais en tous cas peu de temps après, que de nouveaux et
importants progrès se sont accomplis. En effet, tandis qu il est
encore occupé, avec ardeur et patience dans d'autres régions de
la science, et qu'il ne peut guère trouver de temps pour des
recherches profondes, et par suite pour explorer ce domaine
nouveau, on apprend tout à coup de Vienne, le 16 avril,
— pendant qu'Abel se repose^ — que lorsqu'il sera rendu à
Paris, il « achèvera ses affaires d'intégrales, ses fonctions
elliptiques y etc. »

Abel se disposait maintenant à quitter Berlin. C'était en partie
pour ses travaux, afin de trouver plus de tranquillité qu'il n'en
pouvait avoir au milieu d'un groupe si nombreux de compatriotes
habitant ensemble; en partie aussi, certainement pour se
distraire par le voyage et le changement de résidence des tristes
pensées qui l'accablaient.

m'iPAHi POUR rHKinEuc, 71

Vers la fin do févrior, Koilhau,qui était encore une fois revenu
à Berlin, devait retourner à Freiberg, où il continuait, ii
rAcadéiuie des Mines, ses études géologiques. Dans sa visite de
Noël, il engagea Abel ù venir avec lui, et ainsi le départ fut
décidé. Après un petit détour en passant par Leipzig, les deux
amis continuèrent leur route vers la ville des mines. Abel resta
là un mois pour rendre à Keilhau sa visite, et principalement,
d'après ce qu^il nous apprend, pour revoir un mémoire considé-
rable, destiné à être imprimé dans le Journal. Il récrivit lui mémo
en allemand, ajoute-t-il, — passablement fier de ce premier
essai, — il avait fait usage auparavant de la langue fran(;aisc, et
Grelle lui servait de traducteur — (c et cela fut imprimé comme
il Pavait écrit. »

Probablement il s'agit ici du volumineux Mémoire n'^ VI du
tome l^^ (*) des Œuvres complètes. Il est, en ce qui touche la
publication et aussi la rédaction définitive, d'une date antérieure
au problème dît binôme, dont nous avons déjà parlé à propos
d'une circonstance précédente, parce que ses études avaient été
dirigées de ce côté. Il n'est pas possible, du reste, de déterminer
l'époque de la composition de ces mémoires avec plus de précision;
peut-être appartiennent-ils tous les deux à la période de Freiberg;
car le voyage de vacances qui suivit cette période ne permit pas
le repos nécessaire pour un travail scientifique si important.

Dans ption du problème lui-même, plus
idéale et se rattachant à la question. On n'avait pu résoudre
jusque-là qu'un petit nombre de cas particuliers; le point de
vue était étroit, et les efforts tendaient plutôt, suivant les idées
d'autrefois, à faciliter le calcul numérique à l'aide d'échelles mo-
dulaires et de tables, qu'à instituer une étude des propriétés
caractéristiques, avec ou sans égard à toutes les conséquences
pratiques.

Pour opérer en pleine conformité avec l'esprit abélien, il
fidiait s'élever au-dessus de ces considérations étroites et poser
le problème de la transformation dans sa plus vaste géncrnlité.
Naturellement cette intégrale était traitée sous une des formes

80 NIELS-HKNHIK AbEL. — | V.

normales, au moyen desquelles toutes les transcendantes d'ordre
inférieur — les logarithmes et les arcs de cercle — peuvent
déjà être regardées comme exclues. Car, pour obtenir cette
irréductibilité, qui dans toutes les recherches d'Abel joue un rôle
d'une si évidente importance, et que Fauteur emploie d'une façon
si magistrale comme moyen de démonstration, il suffisait dès lors
de mettre de côté certaines valeurs-limites des constantes conte-
nues dans l'intégrale; en poussant ensuite plus loin le développe-
ment, ces restrictions, si on l'exige, pourront être levées. — Le
but d'Abel n'était donc pas, comme le but primitif de Jacobi, de
trouver la substitution isolée d'ordre supérieur à l'aide de laquelle
pouvait s'effectuer la transformation de l'intégrale, ou d'obtenir
cette transformation en même temps que sa complémentaire (^).
En profitant des moyens dont il disposait, Abel s'attaqua immé-
diatement à la solution complète du problème, en cherchant
toutes les substitutions, les imaginaires aussi bien que les réelles.
11 ne s'en tint pas non plus, dans le cours de son travail, à la
considération des substitutions rationnelles; il admit aussi les
irrationnelles, et plus tard il supposa même un nombre quelconque
de fonctions elliptiques (^). Ainsi, du problème de la transforma-
tion pour les intégrales les plus simples, il parvint finalement
à la solution de tous les cas restants, et, par suite, à ceux de la
seconde et de la troisième espèce (^).

Le mode de procéder d'Abel, lorsqu'il attaque son problème de
Freiberg (^), rappelle déjà les moyens que Jacobi devait employer
plus tard pour arriver à son principe de transformation. On y
opère sur des expressions de même nature; on différentie et l'on
éli'mine d'une manière entièrement pareille; pareillement aussi
on détermine ce qui se rapporte à la divisibilité et au degré. Mais
avant tout, dans les deux cas, l'attention est appelée sur les

(') C'était là, en effet, à l'origine, le but de Jacobi.
(2) Voir Recherches, etc., n" 49 (1"^ édit.).

{^) Voir le Mémoire XVIII (même édil.) : Th-nrème général sur la transformation
des fonctions elliptiques de la seconde et de la troiaiè.uc espère.
(*) T. 1, n^" XI, les deux ou trois premiers paragraphes.

Auiii. r.i JACoiM. 81

racinos vl sur lu ropivsonlaliuii dos polynômes sous Inrino do
produits. l\)ui' un ^oouiotro aussi oniiiiont que Jacobi, ridée do
généraliser la lli(''ori(^de la translbrination de Legendre ne pouvait
manquer de lui venir à Tesprit, quand un problème comme
celui de Freiberg venait d'être traité avec succès.

De cet excellent mémoire, rédigé, comme plusieurs des précé-
dents travaux d'Abel, avec quelques longueurs, Jacobi a dû plus
tard tirer profit, de môme qu Abel, tout récemment, s'était servi (*)
du Cours ŒAnahjsc de Cauchy. Car, pendant que le géomètre de
Kônigsberg, suivant le récit de Diriclilet, cherchait vainement à
puiser des idées nouvelles dans la lecture du grand ouvrage de
Legendre, et qu'il s'apprêtait déjà à quitter ce travail ingrat, il
lui vint, dans un champ de recherches voisin du sien, des idées
grandes et fécondes. En môme temps, les moyens d'exécuter ce
plan se présentèrent avec toute la clarté désirable.

Dans le cours de mars 1827, c'est-à-dire une année juste après
f époque en question, alors qu'un certain nombre de mémoires
d'Abel, parmi lesquels son travail de Freiberg, avaient depuis
longtemps été livrés à la publicité, le jeune privatclocent de
Kônigsberg découvrit son principe de transformation, et, comme
il résulte d'une communication faite plus tard à Legendre, c'est
par là que lui fut ouverte la voie qui le conduisit ensuite à la
théorie de la transformation.

Mais bien que cette découverte préliminaire ne fût pas sans
relations avec les idées initiatrices du géomètre pour lequel, peu
de temps après, il exprimait une si haute admiration (et dont il
avait su mieux et plus tôt que personne apprécier les travaux), il
se produisit cependant dans l'ensemble de la méthode pour traiter
le problème, des divergences graves; car, ce n'est que dans
les préliminaires, et si Ton veut, dans les premières opéra-
tions servant de point de départ, que Ton peut distinguer un
lien clairement perceptible qui rattache les deux auteurs. Et des
fondements donnés — parmi lesquels ces travaux d'Abel devaient

(»)N«XIV, j;2.

82 NIELS-HEMUK ARF.L. — ^ V.

occuper une place jusque-là inaperçue — dclachcr les idées, les
transformer pour les nouveaux besoins, concevoir non seulement
Vidée d'une si haute généralisation de la théorie de la transfor-
mation de Legendre, mais encore, avec les moyens à sa portée,
pousser aussi loin ses recherciies, — cotait là bien réellement
foire un pas considérable. Ce pas n'eût pu être fait, si Jacobi,
dans ses longues recherches sur les sources, n'eût pas approché
de très près du même objet.

De même, les idées ahéliennes, si inattendues et si isolées
qu'elles se présentassent, on pourrait, moyennant une connais-
sance approfondie de l'histoire et des auteurs (peut-être aussi des
écrivains les plus modestes), les suivre dans leur filiation avec
d'autres cercles d'idées, en apparence entièrement étrangers.
Car sans ces contacts, une influence intellectuelle ne peut être
provoquée. Chez cet esprit richement doué, ces contacts sont
devenus prodigieusement féconds; ils se sont transformés en
problèmes pratiquement résolubles, et ont appelé à la vie mille
idées nouvelles qui existaient en germe dans les profondeurs de
son cerveau.

Certainement les prophéties de Degen ont eu leur influence
excitatrice sur tout l'ensemble de la direction scientifique d'Abel;
l'art déployé par Lagrange pour traiter et pour exposer ses sujets,
ainsi que les travaux réformateurs de Cauchy ont eu une part
considérable dans sa méthode de recherches rigoureuse et correcte;
le mystère impénétrable qui régnait sur la division du cercle de
Gauss, et peut-être le doute exprimé par ce géomètre au sujet de
la résolubilité des équations algébriques de degré supérieur
l'ont excité à continuer ses efforts, et ont enrichi ses décou-
vertes des plus beaux résultats. Mais ce sont avant tout les
recherches de Lagrange et de Legendre et les germes d'idées
nouvelles que son regard indépendant et scrutateur y voyait
poindre, c'étaient aussi l'imperfection et l'infécondité sur tant de
points des travaux de ces géomètres, c'étaient là les causes qui,
plus que tout le reste, lui avaient donné l'impulsion pour les plans
de campagne qu'il dressa et qui le guidèrent dans le droit chemin.

AltKF. KT .lACOni. H'.\

Mais les clh)S('s se pass'TOiit ccrlaiiionionl tic la niêiiic manière
pour Jacobi, en parliculier, dans ses rapports avec Abcl.

Hien cpTil n'existe aucun document sur ce sujet, on ne peut
douter (pie les découvertes d'Abel et particulièrement le mémoire
de Freibcrg, n'aient vivement piqué l'émulation de Jacobi. Là
était caclié un trésor d'idées, d'idées venant de contrées nouvel-
lement découvertes, pour remplacer les vieilles idées tradition-
nelles, usées depuis longtemps jusqu'à leurs dernières limites. De
là devaient maintenant en jaillir de nouvelles.

C'est là maintenant qu'il fallait chercher les modèles les plus
précieux, non seulement pour leur choix, mais pour la manière
de traiter, du moins dans les premiers pas, les problèmes impor-
tants qu'il fut d'abord conduit à se poser, et dont la difficulté
initiale finit par céder à la découverte de son principe de
transformation.

Pour Abel, cela va sans dire, c'était une idée toute naturelle et
toute préparée d'exposer ce môme principe, si toutefois il ne
l'avait pas déjà fait depuis longtemps, et des raisons que nous
donnerons plus tard rendront cette supposition plus que probable.
Il en serait de môme en général pour les problèmes de la môme
nature que le problème en question, qui sans aucun doute
étaient toujours à sa portée et tout préparés d'avance.

Par ces voies, Jacobi fut maintenant amené à une généralisation
de ces problèmes de transformation dont la publication dans le
journal de Schumacher — qui parut en septembre, mais qui
portait les dates de juin et d'août, — enrichit d'une de ses plus
belles théories l'édifice scientifique élevé par Legendre.

Mais en dépit de l'importance de ce travail pour les fonctions
elliptiques, qui allaient bientôt faire leur apparition, la brèche
n'était pas encore ouverte pour l'entrée des idées nouvelles.
L'esprit et le but étaient ceux de Legendre; le sujet traité, un
théorème d'intégration se rapportant aux anciennes Iranscen-
danics, et ayant pour objet essentiel une évaluation à l'aide d'une
formation d'échelles.

84 XirLS-HRNRIK AIJF.L. — ??; V.

Pour ce qui est des relations entre la seconde de ses publica-
tions dans le môme journal et les Becherches d'Abel qui Tout
précédée, nous éclaircirons plus tard cette question.

Les mémoires d'Abel à cette époque furent publiés dans le
même Journal, récemment fondé, dans lequel Jacobi — abstraction
faite des articles qu'il faisait paraître dans les Astronomische
Nachrichlcnj — avait donné les premières preuves de ses hauts
talents pour les investigations scientifiques. Sans doute la lecture
des travaux du géomètre norvégien a dû exercer sur son émule
une influence féconde, et c'est ce qui devient probable aussi en
raison de plusieurs circonstances extérieures. Jacobi avait pareille-
ment, dans sa première jeunesse, lutté avec Féquation du cinquième
degré. Dans le nouveau Journal, il est le collaborateur d'Abel,
presque depuis la fondation; tout récemment, il y avait inséré un
article, avant môme qu'il eût publié dans un autre recueil sa décou-
verte relative aux transformations; et dans le Journal, au moyen
des recherches d'Abel (Sur l'équation du cinquième dcgrp), la
question s'éclaîrcissait pour lui. Dans les œuvres de Legendre il
prit connaissance de la théorie des intégrales elliptiques (qui ne
lui suggéra aucune inspiration) ; puis, dans le Mémoire de Freiberg
(œuvre d'Abel), il trouve traitées des intégrales appartenant à
des classes plus élevées, quoique soumises à Thypothèse d'une
réductibilité à des fonctions logarithmiques; et justement dans les
premières pages (§ 2), ces opérations fondamentales se dévelop-
pent de manière que, avec une modification correspondante du
but, elles donneraient le principe de transformation. Ce mémoire,
inséré dans le troisième cahier du Journal ^ était déjà, suivant une
lettre de Crelle, antérieurement au 12 avril 182G, entre les mains
des mathématiciens de Berlin, et le jeune docent deKônigsberg, qui
se livrait avec ardeur, mais sans fruits à l'étude de Legendre, n'a
guère pu manquer l'occasion de lire ce mémoire, ou du moins de
prendre connaissance des fondements posés dans les premières
pages. Un grand problème, d'une haute généralité, était ainsi
résolu, et pouvait certainement éveiller l'idée d'essais pareils sur

y\itr,i, i;t .iacoi'.i. 85

un tiM'i'aiii aiial(){;iie, qui ruussiraicut par des moyens semblables.
Dans le (luatrirmc cabier du Journal, — qui, d'après une lettre
écrite plus lard par Crelle (24 novembre 1820), était sous presse
à cette date, et ne pouvait manquer d'être à la disposition du
public dans les premiers mois de 1827, — il se trouve encore un
autre mémoire d'Abel, mémoire que Jacobi doit sans doute avoir
regardé avec intérêt. C'était le beau travail sur la formule
binomiale. Dans ce travail, où Abel avait pris Gaucby pour
modèle, on présente maintenant au cercle des lecteurs du Journal
les imaginaires de Gauss et de Gaucby, celles qui autrefois étaient
accueillies avec tant de frayeur par les matbématiciens, et
que ceux-ci (y compris aussi Legendre) avaient tant de soin
d'éviter. Gauss, Gaucby et ensuite le nouveau pionnier, Abel,
quelque circonspects qu'ils fussent dans leurs raisonnements, en
avaient fait bardiment usage, et en tiraient un grand profit. Chez
un esprit sans préjugés et accessible aux grandes idées, tel
qu'était Jacobi, cette semence ne pouvait que tomber dans un
sol fertile.

Ainsi sans aucun doute, Abel, par ses travaux, par le pouvoir
inspirateur de ses propres idées, et indirectement aussi par celles
qu'il reçoit, qu'il perfectionne, généralise et répand, a déjà
exercé une influence sur son futur rival. Dans une certaine
mesure assurément, il a donc eu lui-même sa part dans
l'apparition de Jacobi l'année suivante, apparition signalée par
le théorème de transformation publié dans le journal de Scbuma-
cbcr, avec les conséquences qui en découlaient. Bien que le
grand facteur fût ailleurs et à une plus grande profondeur, les
idées stimulantes d'Abel ont pourtant commencé de bonne beure
à faire sentir leur action.

86 Mias-iiKM;iK auel. — | vi.

VI.

Abel et Gauss.

Cependant le temps était venu de se remettre en voyage. Le
séjour à Freiberg ne pouvait être considéré que comme une
escapade aux environs de Berlin, et Tintention primitive avait
été aussi de retourner dans cette ville; mais ce plan ne fut
pas exécuté. Gottingue, le but spécial du séjour d'études d'Abel en
Allemagne, il avait maintenant Tintention de le visiter; mais ce
lieu lui inspirait aussi peu qu'autrefois le désir de s'y rendre.

Nous avons parlé de la répulsion, de la rancune même à l'égard
de Gauss, qui à cette période s'était emparée du jeune mathéma-
ticien. C'est là un trait qui ne doit pas être passé sous silence
comme un insignifiant détail. Cette aversion, jointe à son
abattement d'esprit et au besoin qu'il éprouvait de la vie en
commun avec ses camarades, était un puissant motif pour que ce
qui s'était déjà passé se renouvelât encore. Et certainement, sans
cela, beaucoup de choses auraient eu lieu tout autrement.

Il y a lieu de croire aussi que les événements se sont déve-
loppés en réalité de la manière la plus heureuse pour Abel. Ce qui
lui avait fait défaut autrefois dans le cours de ses études, et qu'il
venait de rencontrer maintenant dans les conditions les plus
favorables, ce fut d'abord une place pour l'insertion de ses
travaux, et ensuite des amis s'intéressant comme lui à la science
et avec qui il pouvait échanger librement ses pensées. D'idées et
d'impulsion, il n'en avait nul besoin. — On aurait peut-être, au
cas où le plan primitif eût prévalu, soulevé des doutes sur la
nature des rapports de ses travaux avec ceux de Gauss.

Depuis longtemps déjà le grand géomètre avait fait d'impor-
tantes découvertes sur ces fonctions transcendantes, qui furent,

AIM'I. KT CAUSS. 87

depuis, étudiées à fond par Aboi et Jacobi. L'intervention de ces
derniers renipécba toutefois de rédiger ses rechercbes et de
[îublier ses résultats, comme il avait la pensée de le faire, dans
un ouvrage étendu : Abel surtout avait pris les devants sur
lui(').

Il est particulièrement remarquable que déjà, dans une lettre
écrite à Schumacber, presque au commencement du siècle, le
17 septembre 1808, on trouve ces mots : (c Peut-être je serais en
possession de vérités qui pourraient servir à décider cette
question (2). Dans le calcul intégral j'ai toujours trouvé un
moindre intérêt, — lorsqu'il ne s'agit que de substituer, transfor-
mer, etc., bref de pratiquer un certain mécanisme, exigeant de
rbabileté, pour réduire des intégrales à des fonctions algébriques,
logaritbmiques ou circulaires, — que celui que m'inspire la
considération la plus exacte et la plus profonde des fonctions
transcendantes qui ne peuvent pas se réduire à celles-là. Nous
savons traiter les fonctions circulaires et logaritbmiques comme
notre table de multiplication ; mais la splendide mine d'or où se
cacbe l'essence des fonctions supérieures est encore, pour ainsi
dire, une terra incognita. J'ai autrefois travaillé beaucoup sur ce
sujet, et quelque jour je ferai paraître un grand ouvrage spécial,
auquel j'ai Mt allusion dans mes Disqiiisitiones arithmcticœ,
p. 593 (^). On est frappé d'étonnement par la luxuriante richesse
de vérités et de relations nouvelles et du plus haut intérêt, que
présentent ces fonctions, auxquelles entre autres appartiennent
aussi celles dont dépend la rectification de l'hyperbole et de
l'ellipse. ))

Si l'on réfléchit à tout ce que renferment ces mots, écrits à une
époque si ancienne par un savant si réservé dans ses assertions,

(^) A la vérité, G.iuss certainement n'a pas pensé à Jacobi. Les pelites notes de
celui-ci, incomplètes et ne répondant pas <à la généralité avec laquelle il possédait
les choses, n'imposaient [las au grand géomètre. Aussi Gauss ne parle que d'Abel.

(B.)

(2) L'intégration d'une équation dilTérentielle proposée par Pedrayes et traitée
par Pfatîdans les Archives («le Hindenburg, pour un cas particulier.

(3) Opcra, t. I, p. 412,

88 MKI.S-HKMîlK Al;i:i,. — I YI.

et que Ton en rapproche les importantes déclarations formulées
plus tard, ainsi que tout ce que Ton pourra conclure d'autre part
des matériaux rassemblés dans ses Œuvres, il ne serait certaine-
ment pas injuste de dire que, si Abel depuis le commencement
de son voyage d'études se fût fixé à Gottingue (où il n'est jamais
allé), alors, au détriment de sa gloire scientifique, et non sans
des motifs graves en apparence, on aurait pu parler de l'influence
immédiatement féconde du contact de Gauss. Dès lors lui, le
disciple de talent, achevant et complétant ce que le maître avait
commencé, aurait puisé à cette source ses meilleures idées.

S'il n'a existé aucun contact personnel entre Jacobi et Abel, il
n'y en eut non plus aucun entre Abel et Gauss. Des idées
circulaient à ce moment; chez Gauss, elles arrivèrent le plus
tôt à la maturité; mais elles furent mises au jour pour la première
fois et utilisées plus complètement par Abel. A un degré éminent,
bien qu'inférieur, Jacobi prit aussi part à ce travail; il sut
néanmoins rattraper promptement son devancier, et bientôt après,
à la mort d'Abel, se trouva par survivance placé à la tête du
progrès de l'avenir. Mais entre les deux géomètres il ne fut
jamais question de rapports personnels de maître à disciple.

Même pour des hommes de science de rang inférieur, comme
Degen, les idées qui circulaient dans l'air leur apparaissaient, et
comme nous l'avons vu, Degen a été un guide qui a indiqué le
but, sous une forme obscure et mal définie, au jeune élève de
l'École cathédrale. Ces idées se sont-elles répandues en partant
d'un centre unique et lumineux, ou se sont-elles indépendamment
foit jour en maints endroits, parce que leur époque était prête à
les recevoir? c'est une question qui ne paraît pas facile à décider.

Cette aversion pour Gauss (comme celle qu'Abel conçut plus
tard pour Cauchy) n'avait aucun rapport avec la haute position
que ce savant illustre occupait dans la science. Abel reconnaissait
ses mérites hors ligne, sans enthousiasme exagéré, mais en lui
rendant toutefois pleine justice; et malgré une répulsion intime
pour la personne de celui qu'il considérait comme tout à fait
inabordable et possédé par l'orgueil, il n'en convenait pas moins

ARKL i:t c.mss. 89

qno a c'était cortainomcnt un i^raïul ^^rnic » . Kn œ qui touche
Caucliy, pour (jui il nourrissait une senihlable aniuiosité, il lui
adresse au Ibncl le couiplinient \c plus (latteur, dans cette phrase
caractéristique: «C'est lui ({ui entend comment on doit traiter
les mathématiques. »

A regard de ceux pour lesquels il était personnellement mal
disposé, jamais — à quehiucs criti^jucs près, lancées en passant
contre le fanatisme dont Gauss était Tobjet — il n'a prononcé
aucune parole tendant à rabaisser leurs mérites. Au contraire,
toutes les fois qu'il exprime son opinion d'une manière précise,
c'est toujours en termes élogieux, quelque naturel qu'il puisse
être, dans de telles circonstances, de tendre à déprécier leurs
lalents comme mathématiciens. Il n'est pas un penseur, consa-
crant sa vie à la recherche de la vérité, et que le pouvoir de
celle-ci trouve insensible, de quelque source qu'elle vienne; et il
n'échappera pas à l'obligation de payer un certain tribut d'admira-
tion à la vérité aussi bien qu'à celui qui consacre une vie de labeur
à la mettre en lumière. .Malgré ce qui s'est passé entre eux, il est
certain qu'Abel n'a jamais refus;';, — à contre-cœur, si l'on veut,
mais, comme nous l'avons dit, avec sincérité, — de rendre à
Gauss l'honneur qui lui était dû. Mais il n'en est résulté aucune
liaison personnelle.

Bien moins encore, cela va sans dire, se laissa-t-il entraîner
avec ces troupes d'admirateurs par mode, pour lesquels la puissance
d'attraction n'est pas tant la jouissance intellectuelle que fait
éprouver un progrès nouvellement conquis, que l'éloignement,
l'obscurité mystique avec le bruit croissant de la renommée.
Cette adoration facile de l'imagination était certainement odieuse
aux yeux d'Abel et le devenait d'autant plus qu'il s'agissait de
Gauss ; il ne pouvait pas non plus considérer la chose au point
de vue patriotique, comme un étudiant allemand, {.'idolâtrie (')
dont le grand géomètre de Gôttingue était devenu l'objet parmi
a les jeunes mathématiciens de Berlin » et en général dans

(*) Vergôtterung.

90 NIKLS-IIIÎMUK ADEL. — § M.

((toute rAllomagnc », devait donc trouver dans Abcl un témoin
rien moins que sympathique.

Malgré la modestie qui se montre à un degré si remarquable dans
les paroles d'Abel, il n'y avait cependant aucune raison de croire,
à la hauteur qu'il avait déjà atteinte (avant que ses contemporains
lui eussent rendu justice), qu'il se fût senti écrasé dans une mesure
quelconque môme par les hommes qui tenaient le premier rang
dans la science. Sur son terrain spécial, il marchait certainement
en tête des chercheurs de son époque, et personne ne le devan-
çait; comme penseur, il était leur égal. Etant lui aussi du petit
nombre des élus, et comprenant par lui-même en quoi consistait
la grandeur du génie chez un Lagrange, un Laplace, un Gauchy
et leurs pareils, et non moins chez un Gauss — ce prince des
mathématiciens, comme on Ta surnommé, peut-être sans injus-
tice, — il estimait nécessairement très haut, comme nous le
savons aussi, leur œuvre glorieuse. Mais on ne le voit jamais, par
des éloges exagérés, inconvenants et compromettant sa dignité,
se prosterner, comme un esprit subalterne, devant ceux que la
science reconnaissait depuis longtemps pour ses chefs.

Il n'admet pas non plus que qui que ce soit, pas môme Gauss,
puisse se considérer comme étant lui seul « un abrégé de toute
excellence mathématique. ï) La somme de talent comme savant et
inventeur, comme vulgarisateur et professeur, qui peut donner à
un seul homme un rang plus élevé quant à l'ensemble, n'entraîne
en aucune manière sa supériorité dans chacune des branches en
particulier.

D'un autre côté cependant Abel, dans ses relations avec ces
sommités scientifiques, se trouvait oppressé. Il venait dun pays
où les conditions de la vie et du travail étaient plus simples et
plus modestes. Avec son inexpérience et ses espérances légitimes,
il ressentit d'autant plus le contact glacé de findifférence avec
laquelle ces hommes regardaient son existence et fœuvre qu'il
poursuivait malgré leur inattention. Le point d'attache personnelle,
si important étant donné son caractère, manquait entre lui et la
généralité des esprits voisins du sien à tant de titres; et il ne

.Mu;r. F/r r.AUSS. 91

possédait [las, non plus que. la faculté de les acquérir à un
degré suflisant, ces qualités insinuantes qui lui auraient frayé
la voie. Triste et chagrin, il se renfermait en lui-même, dans
le commerce de quelques compagnons d'étude plus abordables,
et dans la joyeuse vie avec ses camarades et ses amis peu
exigeants.

Quand il n'était qu'un jeune étudiant, aux premiers débuts
de sa carrière, n'ayant pas encore acquis le sentiment complet de
sa force, il se laissait entraîner, plus vite que maintenant, à l'en-
thousiasme s'adressant directement à la personnalité môme. 11
s'attachait de toute son âme à Degen, « le plus drôle de corps que
tu puisses imaginer,..., un diable ». Bien que ce professeur n'eût
pas une grande valeur comme mathématicien, c'était cependant
un homme d'idées, peu claires sans doute, et par là il ne fut pas
certainement sans influence sur Abel et sur son avenir. Avec cela
il était toujours, ce qui l'emportait sur tout le reste aux yeux de
son jeune ami, le cordial et hospitalier Degen.

Plus tard, il parle également avec bienveillance du vieux
Legendre, qui cependant l'oublia vite et pendant quelque temps
cessa de le connaître; et de môme pour d'autres notabilités du
temps. Mais pour les géomètres qu'il regardait comme entourés
d'un double rempart d'orgueil, tels qu'un Gauss ou un Gauchy, —
dont on ne pouvait approcher sans un ((blocus en règle», — pour
ceux-là, avec sa nature chaude et un peu susceptible, il éprouvait
de la répulsion. Avec la conscience de ce qu'il était, bien qu'on
ne l'ait jamais vu, même en passant, chercher à se faire valoir,
il y avait sans aucun doute en lui quelque chose qui l'excitait à
l'opposition. Et ce qu'il renfermait en lui-même devant tous, se
faisait jour quelquefois par une parole amère.

La société des personnes âgées, qu'il fréquentait, ne partageait
pas, cela va sans dire, le gaussianisme enthousiaste de la
jeunesse berlinoise. Il est rare, en effet, que la renommée
croissante d'un nom vanté, lorsqu'elle dépasse les bornes, n'attire
pas la contradiction. Dans la société de Grelle, il était tout
naturel qu'une fois ou l'autre on soutînt la seconde opinion; et

92 NiKLS-iiENiiiK .\r.i:i.. — ^ VI.

Ton disait que «sa manière d'exposer était mauvaise», ou encore
qu' ^( il faisait comme le renard, qui eirace avec sa queue les
traces de ses pas sur le sable (•). » — « Crelle dit», selon Abel,
(( que tout ce qu écrit Gauss n'est qu'abomination (Gràxiel), car
c'est si obscur qu'il est presque impossible d'y rien comprendre, s;

En réalité, l'enseignement académique n'était pas le côté fort
de l'éminent géomètre; ce qui dominait en lui, c'était le grand
homme de science et le grand penseur. Mais pour ce qui est du
reproche d'obscurité, on peut très bien le mettre sur le compte
de la nouveauté des idées. Toute découverte avec laquelle on
n'est pas familiarisé est obscure, avec quelque clarté qu'elle ait
été inventée ou exposée. Un inventeur n'a pas non plus le temps
de tout dire. Ce n'est pas d'ailleurs son affaire de divulguer de
tous côtés, à l'aide des images les plus triviales, ce qu'il a créé
et mis au monde; son devoir est surtout d'ouvrir la voie à de
dignes successeurs qui pourront pousser plus loin ses idées et en
faire une propriété plus à la portée d'une nouvelle génération.

L'accusation d'obscurité et à' abomination était donc lancée
contre Gauss, — le géomètre qui a toujours poursuivi avec le plus
d'ardeur et de puissance la vraie clarté. — Elle atteignait aussi,
comme nous l'avons déjà vu, Abel — le représentant de la clarté
naïve et translucide, — et c'est Gauss qui a porté sur lui un tel
jugement. En tous cas, la tradition l'affirme.

Peut être cependant y a-t-il ici méprise; il est possible aussi
que cette accusation ait été portée nmtuellement des deux côtés.
Quoi qu'il en soit, il est difficile, môme pour l'esprit le plus clair-
voyant, do pénétrer complètement dans de nouvelles conceptions
d'une plus grande profondeur, provenant d'un cercle d'idées
étranger, et de les apprécier tout d'abord avec justice; car il arrive
bien rarement que, sur tel ou tel point, le lecteur insuffisamment
préparé ne rencontre pas dans la démonstration une lacune infran-
chissable, qui le force à suspendre son jugement, ou à refuser

(*) Er macht es wie der Fuchs, der ivischt mit dem Schwanze seine Spuren im
Sande aus. — Citation de Hanstecii à propos de la remarque rapportée dans la lettre
(l'A bel.

AIJl'L ET r.AlISS. 93

ù Foiivrago iiiooniplMcnuMit expliqué, son onrournf^oanto appro-
Lation.

C/ost ainsi cortaincincnt que les choses ont eu lieu à l'occasion
du nuMuoire d'Abcl, f|ui avait passé par les mains de Gauss. Il
n'est nulliMuent besoin de supposer que le silence de ce dernier
ail eu pour motif rindilTcrencc; celte indifférence, ou son
mécontentement supposé^ dont nous avons si souvent parlé,
a été plutôt une conséquence de ce que le grand géomètre
n'avait à sa portée qu'une partie des fils conducteurs qui étaient
restés entre les mains d'Abcl, et qui pouvaient relier les raisonne-
ments plus solidement entre eux. Sans le comprendre, Gauss a
mis de coté le travail trop peu développé.

Gauss et Abel étaient des natures opposées, et, sans parler de
la différence d'âge, il n'aurait guère pu s'établir entre eux de
rapports bien intimes. iVbel était d'un caractère chaud, vif, franc
dans ses propos, un bon et un gai camarade, qui ne pouvait pas
se souffrir dans la solitude, mais qui souvent aussi était triste et
chagrin ; franc et simple, il ne faisait aucun mystère de ses plans
et de ses idées, bien qu'il cachât à autrui ce qui se passait dans
les replis plus profonds de son âme. Gauss, autant que nous
croyons avoir pu le comprendre, était une grandeur aristocratique,
luimain au plus haut degré et réservé dans ses propos, calme
dans ses démarches. Recherché de tous à cause de sa célébrité et
contraint de lutter pour conserver son temps et ses idées (qu'il
s'était vu en partie ravir sous ses yeux, sans que personne l'entendît
exprimer aucune plainte ni aucune réclamation), il était assujetti,
dans sa conduite et dans la communication de ses pensées, à
d'autres conditions que n'était Abel, élevé dans des circonstances
moins compliquées. Celui-ci, personne ne le remarquait, à
tel point que c'est seulement vers la fin de sa vie qu'il fut conduit
par les circonstances à prendre la précaution, tout à fait inusitée
jusque-là, de dater des travaux — qui auraient bien pu lui être
encore enlevés. Sans aucun doute c était la rigueur de ces règles
de conduite qui valut à Gauss l'accusation imméritée d'être
orgueilleux et inabordable. Pour accomplir l'œuvre de sa vie, il lui

94 NIELS-HENRIK AP.rL. — | VI.

fallait otre continucllen^ent sur la dolcnsive, et cela ne pouvait
manquer de lui coûter un peu de sa popularité, d'ailleurs si
grande. Car sans celte résolution d'éconduire les intrus de toute
sorte, aux importunités desquels un homme devenu si illustre est
continuellement exposé, les occupations auxquelles la vie du
savant est attachée ne manqueraient pas d'en souffrir.

Gauss, appréciant si haut, dans la suite, Tœuvre scientifique
d'Abel, et renonçant si noblement à sa part des découvertes de
son jeune émule ne peut être atteint dans son honneur par cette
boutade de mauvaise humeur du mathématicien abandonné par
la bonne fortune. D'autant moins que, sur les points principaux,
tout reposait sur des malentendus, sur des propos insignifiants et
mal justifiés dans les oppositions qui presque toujours se forment
autour d'une éminente personnalité. S'il a pu d'ailleurs se montrer
injuste envers Abel, en se refusant à admettre de prime-abord
comme démontrées ses assertions d'une longue portée, il a
depuis fait réparation par la haute estime qu'il a montrée pour la
mémoire du mathématicien de Christiania. Bien qu il ne se soit
pas laissé entraîner, comme Jacobi et l'octogénaire Legendre, à
des manifestations de l'admiration la plus enthousiaste, qui choisit
pour s'exprimer le mot le plus fort que la langue pût employer
— ce qui n'eût pas été bien digne du rang de Gauss, ni bien
conforme avec son caractère personnel, — la tranquille simplicité
de ses paroles n'en témoigne pas moins sincèrement de la haute
opinion qu'il avait du jeune géomètre.

Bien des choses excusent aussi Abel, quand il lui arrivait à
cette époque de donner cours à sa mauvaise humeur dans ces
attaques contre Gauss. — Voici du reste quelques spécimens de sa
disposition chagrine.

« Je me déciderai probablement d , dit-il dans une lettre à
Holmboe, « à rester à Berlin jusqu'à la fin de février ou de mars,
et je me rendrai, par Leipzig ou par Halle, à Gottingue; non pas
à cause de Gauss, car il doit être d'un orgueil insupportable,
mais à cause de la bibliothèque, qui doit être excellente. A la fin
de l'été j'irai à Paris. ))

AHKL F/r CAllSS. 95

« Gùlliiij^^ue ï), L'Ci'it-il dans une IclLrc antérieure, a Goltinj^ue
a certaineuient une belle bibliothèque, mais aussi c'est tout ce
qu'il y a; car Gauss, le seul dans celle ville qui sache quelque
chose, est tout à fait inabordable. Il faut pourtant que j'aille à
Giittiiigue, cela va de soi. »

Plus tard aussi, dans son postscriptum à la lettre de Keilhau,
il varie le même thème : « A Gottingue je ne ferai qu'un court
séjour, car il n'y a rien à y récolter. Gauss est inabordable, et la
bibliothèque ne peut être meilleure qu'à Paris. Il est probable que
Grelle aussi.... »

% MKLS-HENKIk AI5RI,. — ^ Ml,

VII.

Départ; réunion à Dresde.

En outre de cette aversion contre Gauss, il y avait encore
d'autres circonstances qui combattaient le dessein primitif d'Abel
d'aller le voir à Gôttingue, et auxquelles n'était pas étranger
l'échec de ses plans d'avenir. MoUer était venu à Freiberg;
Keilhau, Boeck, Tank, bref toute la colonie, étaient sur le point
d'abandonner Berlin et Freiberg pour entreprendre un voyage
plus au sud, et d'abord à Dresde. Les amis d'Abel, à contre-
cœur, allaient l'abandonner à lui-même; il tomba alors dans
une profonde tristesse, et il fallut relever son moral. On décida
en conséquence qu'il accompagnerait les autres, au moins jusqu'à
Vienne. L'opinion fut qu'au mois de juillet ou d'août il continue-
rait son voyage vers Paris, tandis que les autres se dirigeraient
vers le midi. Le temps ainsi dépensé par de longues vacances,
Abel le regagnerait par un travail d'autant plus énergique, quand
il serait à Paris.

Nous allons nous transporter maintenant à Dresde, — la ville
des arts — ,où les membres dispersés de la colonie se rassemblent
de nouveau, et nous terminerons ce lourd chapitre de labeur en
mettant sous les yeux du lecteur la belle lettre qu'Abel adresse de
cette ville au professeur Hansteen. Nous en avons déjà cité plus
haut un passage détaché; nous le reproduirons ici néanmoins,
parce que nous croyons qu'il ne faut pas pour cela interrompre
la liaison du reste de la lettre.

« Dresde, le 29 mars 1826.

» iMonsieur et très honoré Professeur,

» Mille remerciements du souvenir amical que vous m'avez
envoyé dans la lettre de Boeck. J'étais vraiment inquiet, dans la

LliiTlU-: A UANSTEEN. 1)7

dernière lettre que je vous ai écrite, de m'etrc exprimé d'une
façon un peu singulière, et peut-être cela m'est-il arrivé en effet.
En sonnne, je vous supplie de me regarder entre les doigts sous
bien des rapports, surtout quand il s'agit de formalités. Vous
m'avez pleinement trnnquillisé en ce qui touche mon avenir, et ce
que vous avez fait là a été pour moi un véritable bienfait; car
j'étais très inquiet, trop peut-être.

y> Je me réjouis infiniment de rentrer dans ma patrie, et d'y
trouver les moyens de travailler tranquillement. J'espère que cela
finira par bien marcher. Les matériaux ne me feront pas défaut
d'ici à plusieurs années; j'en récolterai aussi en voyageant; car,
juste en ce moment, il y a une foule d'idées qui me trottent dans
la tête. Les mathématiques pures, dans la plus pure acception,
devront faire à l'avenir l'objet unique de mon étude. Toutes mes
forces seront employées à porter la lumière dans la monstrueuse
obscurité qui règne maintenant sans conteste dans l'analyse.
Celle-ci manque si complètement de plan et de système, qu'en
vérité il est on ne peut plus surprenant que tant de gens puissent
se livrer à cette étude, et ce qu'il y a de pire, c'est qu'elle est
traitée sans la moindre rigueur. On ne trouve que bien peu de
propositions dans la haute analyse qui soient démontrées d'une
manière incontestablement rigoureuse. Partout on rencontre la
déplorable habitude de conclure du particulier au général, et il
est extrêmement remarquable qu'avec cette manière de procéder
on n'aboutisse que rarement à ce qu'on appelle des paradoxes.

» Il est vraiment très intéressant de chercher la cause de ce
résultat. D'après mes idées, cela tient à ce que les fonctions dont
l'analyse s'est occupée jusqu'ici peuvent le plus souvent s'exprimer
par des puissances. Dès qu'il s'en présente parfois d'autres — cas,
il est vrai, qui ne se rencontre pas souvent, — les choses ordinaire-
ment ne vont plus bien, et les fausses conclusions font naître
alors un enchaînement d'une multitude de propositions inexactes.
J'ai examiné à fond plusieurs de ces résultats, et j'ai été assez
heureux pour tirer la chose au clair. Pour peu que l'on procède
d'une manière générale, cela marche assez bien; mais j'ai dû

98 NIKLS-HKNRIK ABKL. — ^ VII.

être extrcMnement circonspect; car les propositions une fuis
admises sans démonstration rigoureuse (c'est-à-dire sans démons-
tration) ont poussé dans mon cerveau de si profondes racines
qu'à chaque instant je suis exposé à m'en servir sans examen
suflîsant. Ces petits travaux paraîtront dans le journal publié par
Grelle.

))J'ai vraiment fait en cet homme la connaissance la plus
excellente, et je ne puis assez remercier mon heureuse étoile
qui m'a conduit à Berlin. Je suis, en vérité, un heureux
mortel. Il y a cerlaineinent peu de gens qui s'intéressent à moi;
mais ce petit nombre m'est infiniment cher, parce qu'ils m'ont
témoigne une extrême bonté. Pourvu seulement que je puisse en
quelque manière répondre aux espérances qu'ils ont fondées sur
moi! car il doit être bien dur de voir ses bienveillants efforts
dépensés en pure perte.

» Il faut que je vous raconte une offre que Grelle m'a faite avant
mon départ de Berlin. Il voulait décidément m'engagcr à rester
à Berlin, et me dépeignait les avantages dont je pourrais jouir. Si
je consentais, il m'offrait la rédaction du Journal, qui vraisem-
blablement arrivera à se suffire à lui-môme au point de vue
économique. Il me parlait de cela vraiment comme d'une chose
qui lui tenait fort au cœur; mais, naturellement, j'ai refusé.
Cependant j'ai dû envelopper ma réponse de certaines formes, en
disant que j'accepterais s'il m'était impossible de trouver à vivre
dans mon pays, comme je désirais le pouvoir faire. Pour conclure,
il ajouta qu'il réitérerait son offre aussitôt que j'en exprimerais le
désir. Je ne saurais nier que cela m'ait vivement flatté. Mais aussi
n'était-ce pas une très belle offre? Une chose qu'il me fallut
cependant lui promettre, c'est de repasser par Berlin avant de
terminer mon voyage à l'étranger, et cela peut aussi avoir pour
moi les plus grands avantages. Il m'a, en effet, promis très
positivement de me procurer un éditeur pour mes mémoires de
grande étendue, et cela, remarquez bien, avec des honoraires
considérables. D'abord il avait été décidé entre nous que de temps
en temps nous publierions en commun un recueil de travaux de

LKTTRi: A IIANSTKKN. Oi)

longue haleine, et que cette publication comnienccrait immédia-
tement; mais, on y réfléchissant mûrement, et après avoir pi'is
l'avis d'un libraire (jui avait offert de se charger de la vente, il
nous a paru plus convenable d'attendre que le Journal fût com-
plètement en train. Quand je reviendrai à Berlin, j'espère que
notre plan pourra se réaliser. Est-ce que ce n'est pas magnifique,
et n'ai-je pas raison de me féliciter de mon voyage à Berlin? Il est
bien vrai que dans cette visite je n'ai rien appris d'autrui; mais
ce n'était pas non plus ce que je considérais comme le but essentiel
de ma pérégrination. Lier des connaissances, c'est là le but, en
vue de l'avenir. N'êtes-vous pas de mon avis?

» A Freiberg, où je me suis arrêté un mois chez Keilhau, j'ai
fait la connaissance d'un jeune mathématicien plein d'ardeur, un
frère de Neumann qui a été en Norvège. C'est un homme très
aimable, et nous nous harmonisons bien ensemble.

» Vous demandez, dans votre lettre à Boeck, ce que je veux
aller faire à Leipzig et dans les Provinces Rhénanes; mais je
voudrais bien savoir ce que vous allez dire quand je vous aurai
appris que je vais voyager à Yienne et en Suisse. J'avais d'abord
projeté de me rendre en droite ligne de Berlin à Paris, espérant
faire ce trajet en compagnie de Crelle; mais il a eu des empêche-
ments, et j'en suis réduit ainsi à voyager seul. Or j'ai été créé
jadis de telle façon qu'il m'est impossible ou du moins extrême-
ment difficile de rester seul. Je deviens alors tout à fait mélanco-
lique, et ce n'est pas précisément la meilleure disposition pour
pouvoir produire quelque chose. Je me suis dit alors : Ce qu'il y
a de mieux pour toi, c'est défaire avec Boeck, etc., un tour à
Yienne, et je puis aussi prendre cela sur moi, à ce qu'il me semble;
car à Yienne il y a Littrow, Bùrget autres. Ce sont réellement des
mathématiciens distingués; joignez à cela que je n'aurai pas l'occa-
sion de voyager plus d'une fois dans ma vie. Peut-on me blâmer
de ce que je désire aussi connaître un peu la vie et les habitudes du
Midi? Pendant mon voyage je puis bien travailler avec passablement
de courage. Une fois à Yienne, d'où je dois partir pour Paris, mon
chemin direct est de traverser la Suisse. Pourquoi n'en verra i-je

100 NIELS-HENRIK ABEL. — | VU.

pas aussi un petit coin? Seigneur Dieu! Je ne suis certes pas
dépourvu de tout sentiment des beautés de la nature. De tout ce
voyage il résultera que j'arriverai deux mois plus tard à Paris, et
cela n'a pas d'inconvénient. Je rattrapperai bien le temps perdu.
Ne pensez-vous pas qu'un pareil voyage me fera du bien?

)) De Vienne à Paris, je ferai probablement route avec Moller,
et je passerai Thiver en compagnie de Keilbau. Nous nous
mettrons alors au travail d'une façon formidable. Je pense que
cela ira bien.

y> Pour Vienne, j'ai des letti'cs de recommandation de Crelle
auprès de Littrow et de Bùrg. Ma vanité m'entraîne à transcrire
un passage de la lettre à Littrow. Après avoir parlé du Journal,
Crelle ajoute : « M. Abel, de Christiania en Norvège, qui doit vous
» présenter cette lettre, est également un zélé collaborateur du
y> Journal, et ce n'est pas celui qui nous fait le moins d'honneur.
y> Ce tout jeune savant possède toute mon estime, et je voudrais
)) le recommander aussi à votre bonté et à votre bienveillance.
y> La haute distinction comme mathématicien à laquelle il est
» déjà parvenu, donne à la science les espérances les plus flat-
y> teuses. »

» Nous resterons à Vienne un mois environ, et ensuite nous
nous diviserons probablement en deux groupes. Les uns (Boeck
et Keilhau) passeront par Trieste, Venise, en traversant le Tyrol
et la Suisse; les autres, Moller et moi, nous irons à Paris. Pour
cette dernière ville, j'ai des lettres de recommandation du profes-
seur Dirksen, de Berlin, auprès de Humboldt et de plusieurs
autres. Je souhaiterais d'y être la moitié aussi heureux qu'à
Berlin ; ce serait très joli. Keilhau et Boeck sont sortis aujourd'hui
de grand matin pour observer avec l'appareil oscillatoire (^),
tandis que nous autres (Moller, Tank et moi) étions au lit. Ils
commencent à posséder une série respectable d'observations.
Ils se rappellent à votre souvenir.

(^) Pour déterminer, suivant le désir de Uansteen, l'intensité hurizont.ilc du
magnétisme.

II
I

LETTRE A HANSTEEN. 101

» Nous sommes tous allés rendre visite à M. Irgeiis-Bergh (*).
Hier au soir il a été assez aimable pour nous procurer des billets
du Casino noble, « où Ton ne danse qu'en escarpins », et durant
la soirée nous avons passé poui' des nobles : M. de Keilbau,
M. dWbel, etc. Nous avons vu tout ce que Dresde contient d'in-
croyable en élégance. Aujourd'hui, à midi, nous étions invités à
la réception de midi chez Bergh. Nous y avons vu Baggesen (-).
Il est très faible; on dit que cest la faute de la bouteille. Nous
avons fait aussi la connaissance du peintre Dabi (^), de Bergen.
Il partira incessamment pour la Norvège, qu'il ne quittera plus
qu'en 18^27.

)) Vous avez eu la bonté, monsieur le professeur, de me promettre
de m'écrire bientôt. Je n\ai encore rien reçu; mais la faute en est
sans doute aux divers détours que doit faire la lettre. J'ai pris des
mesures pour que Mascbmann me l'envoie à Vienne. Je me réjouis
extrêmement d'avoir des nouvelles de vous et de votre famille.

y> De temps en temps je prendrai la liberté de vous écrire, non
que j'ose m'imaginer que vous y puissiez prendre quelque intérêt,
mais parce que j'y trouve moi-même un grand plaisir. Vous ne
pouvez, naturellement, attendre de moi des récits de voyage inté-
ressants, accompagnés de descriptions esthétiques. Je dois laisser
ce soin à mes compagnons de voyage mieux doués, en particulier
ta Keilbau.

y> Je vous prie de saluer Holmboe cordialement pour moi, mais
en même temps de lui dire que ce n'est pas bien h lui de ne
pas m'avoir écrit. Peut-être cependant suis-je injuste envers lui;
sa lettre est peut-être en route.

» Adieu, monsieur le professeur; portez-vous aussi bien que le

souhaite

y> Votre dévoué

» N.-H. Abel. »

(*) Bergli était fils d'un pasteur de Norvège; après avoir été précepteur chez le
ministre Rosenkranlz à Copenhague, il avait été nommé par celui-ci secrétaire de
légation à Dresde.

{-) Poète danois,

(3) Peintre norvégien qui vivait à Dresde.

10^ mels-iii:muk acel. — § viii.

VIII.

Travaux de Paris. — Retour par Berlin. — Situation
d'Abel à sa rentrée dans son pays.

Nous ferons maintenant un saut dans notre récit. — Afin de
trouver place pour le compte rendu circonstancié d'événements
qui sont d'une haute importance, et qui exigent qu'on entre dans
des détails puisés à des sources étrangères et à des documents
non encore utilisés chez nous, nous serons forcés de passer mainte
et mainte chose qui serait d'un intérêt plus général et qui jetterait
une nouvelle lumière sur la personne de celui dont nous esquissons
la vie et l'œuvre. Nous renonçons donc en particulier, au risque
de troubler l'unité et la continuité du récit, à reproduire ces vives
peintures de la vie de voyage, que nous possédons, tracées de la
main même d'Abel, et qui auraient pu nous faire entièrement
perdre de vue le mathématicien. En abrégeant en général notre
narration sur beaucoup de points, où l'intérêt du récit l'emporte-
rait sur l'importance des faits, nous continuerons à partir de
l'arrivée à Paris, en juillet 182G.

Avec une rapidité que l'on ne pourrait comprendre si l'on igno-
rait que, sur le terrain qu'il cultivait, il était depuis longtemps le
maître, il acheva la rédaction de son volumineux ce Mémoire sur
une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions
transcendantes. » 11 le présenta à l'Académie le 30 octobre suivant.

Il l'avait montré auparavant à Gauchy, « mais», raconte Abel,
(( il voulut à peine y jeter les yeux, et je puis dire sans vantere
qu'il est bon.» Legendre s'était exprimé plus favorablement. « Ça
prendra », telles furent les paroles bienveillantes que lui adressa
le vieux géomètre pour l'encourager.

Gauchy et Legendre furent désignés pour juger ce travail. I
était fondé, comme nous l'avons indiqué dès le commencement

MKMOIRR DK l'.VRIS. 103

de cctlo notice, sur son théorème (Vaddition, encore inédit, et qui
remontait à répoque qui a précédé son départ. C'est cette propo-
sition Ibndamentale, dont Jacohi a dit ailleurs, — avant même
qu'elle fût connue dans toute son étendue, — qu(i c'était la plus
grande découverte de notre siècle dans le cliamp du calcul inté-
gral. Pour I.egendre — qui, malgré les affirmations contraires, n'a
pu jamais faire entrer en détail dans sa mémoire les résultats
dWbcl — , il nomma plus tard cette proposition un wonumcntiim
œrc pcrennhis^ et les recherches de l'époque, comme celles de
l'avenir, sur les fonctions qui portent le nom d'Abel, continueront
i^j s'appuyer en réalité sur cette base.

Néanmoins la destinée de ce mémoire devait rester en suspens
pendant un temps indéfini. Le mémoire demeurait dans les papiers
de Cauchy.

Le bruit courut, d'après le dire de Legendre, — lorsque quel-
ques années plus tard Jacobi, surexcité par cette négligence de
l'Académie, lui eut, dans des termes énergiques, demandé une
enquête sur cet objet, — que le manuscrit était écrit d'une ma-
nière illisible, que l'on aurait voulu en avoir une meilleure copie,
et que l'auteur avait quitté Paris sans s'être inquiété du sort de son
mémoire. C'est ce que répète aussi plus tard Arago dans une autre
circonstance, en justifiant l'Académie des accusations de négli-
gence portées contre elle. Abel lui-même ne dit rien cependant
sur cette afi'aire. Il se borne seulement à faire allusion, dans un
de ses derniers travaux, h l'existence d'un mémoire envoyé à
l'Académie. Et c'est par cette circonstance que Jacobi a connu
pour la première fois cet écrit (*). 11 n'était pas cependant dans
les habitudes réservées d'Abel de solliciter ou de chercher à faire
aboutir des enquêtes par l'humiliation et la flatterie; il supportait
en silence les dénis de justice et les préjudices dont il souffrait, et
se plaignit seulement, dans une seule circonstance, de « la len-
teur de ces hommes. »

(}) Mémoire XV, t. 1, de runcicniic édition (XXI, l. I, de la nouvelle). Remarques
sur quelques propric lés générales d'une certaine sorte de fonctions transcendantes.

104 NIELS-HENRIK ABEL. — § VIII.

Depuis lors il n'entendit plus parler en quoi que ce soit de cette
affaire; pas une seule Ibis, dans les deux lettres qu'il reçut vers la
fin de sa vie du m^me Legcndre, qui Tavait si vite oublie, mais
qui bientôt après avait accueilli son œuvre avec une admiration
croissant d'abord lentement, mais ensuite de plus en plus enthou-
siaste.

Ce n'est pas ici !e lieu de raconter ce qui se passa plus tard à
cette occasion; nous ajouterons seulement que Legendre, après
que son attention eut été appelée sur cette regrettable négligence,
fit tous ses efforts pour qu'on songeât à ce manque de soin, et
que l'Académie des sciences, après la mort de l'auteur, cherchât
à réparer honorablement la faute commise. Mais, malgré tout, la
publication du mémoire ne se fit qu'après un retard de quinze
années. Elle eut lieu dans Tannée 4841, sous la direction du
mathématicien Libri, qui avait été chargé d'en surveiller l'im-
pression.

Mais une série d'accidents se produisit jusqu'au terme de ce
travail. Par un bien singulier hasard, pendant le cours même de
l'impression, le manuscrit disparut, et la correction des épreuves
dut se faire sans collation avec l'original.

Après avoir terminé ce travail capital, Abel en commença un
nouveau : le remaniement de ses Recherches sur les fonctions
elliptiques (*).

11 y avait là aussi des idées qui étaient mûres depuis longtemps
et qu'il se mit à élaborer. Et — nous l'avons fait remarquer
avec insistance — il les présenta avec la simplicité et la clarté
de conception, avec l'ordre naturel d'arrangement, avec la touche
magistrale de la déduction, que seule la complète domination du
sujet, unie à la méditation continue et profondément pénétrante,
peut réaliser,

Par son idée de l'inversion, souvent mentionnée par lui, et par
la découverte de la double périodicité qui s'y rattache, — idée qui

[^) Mémoire XII, 1'* édition; \VI de la nouvelle.

UECHERCHKS SUR \.ES FONCTIONS DLMPTIQURS. 105

remonte au temps de son premier voynj];e, — il opéra, comme
nous Tavons dit, dans celte branche élevée de la science, toute
une révolution de Tancien cor[)s de doctrines. En d'autres termes,
il fit apercevoir que toutes ces recherches sur les intéL,Tales nous
introduisaient dans un vaste domaine de fonctions qui se ratta-
chaient, suivant un ordre naturel, aux fonctions tianscendantes
les plus simples des mathématiques. Les nouvelles fonctions
elliptiques formaient non seulement la continuation la plus immé-
diate des fonctions trigonométriques et exponentielles, mais elles
comprenaient encore ces dernières comme cas particuliers.

Le calcul intégral se présentait ainsi comme une source abon-
dante, d'où Ton pouvait, à côté des formes connues, en tirer encore
une multitude d'autres nouvelles. C'est aussi, mais avec une
extension immensément plus vaste, que les intégrales abéliennes,
dont il avait découvert les propriétés fondamentales dans son
mémoire envoyé à l'Académie de Paris, purent, d'une manière
plus ou moins analogue, se prêter pareillement à une inversion.
Dans ces conditions pouvait se réaliser la périodicité plus que
double, la périodicité multiple, dont nous savons qu'Abel s'était
occupé dans un travail de sa jeunesse, non destiné à la publication,
mais présentant des incorrections (^).

Le travail de remaniement de sa théorie des fonctions ellipti-
ques qu'il s'était proposé était trop étendu pour qu'il fût possible
de l'achever pendant le bref séjour qui lui restait à faire à Paris.
Outre cela, il se trouva qu'il n'avait pas mieux pour cela la libre
disposition de son temps. Il avait eu le dessein de l'envoyer à
Gergonne, de Montpellier, pour que celui-ci Tinsérât dans les
Annales. Comme introduction, il rédigea aussi pour le même
recueil quelques notes de moindre étendue, et dont probablement
une seule fut envoyée. C'était, dit-il. pour voir ce s'il voulait
imprimer. »

Vers la fm de décembre, toute prolongation de son séjour à
Paris était devenue impossible. Les embarras d'argent étaient

0) Le mémoire VHI, t. II, de la l'« édition (YII, t. Il, de la nouvelle).

lOG NIELS-HENRIK ABEL. — ^ VÎII.

désormais trop grands après tous ces voyages; d'autant plus
grands qu'avec des ressources restreintes il avait été forcé de taire
des avances à Keilhau, qui était arrivé à Paris après lui, — la
colonie étant d'ailleurs dissoute, — pour lui permettre de rentrer
dans son pays. Ilolmboe était alors Taide dans le besoin, celui à
qui Abel devait toujours et toujours recourir, et, ponctuel et infa-
tigable, il s'empressait, dans ces circonstances comme partout, de
rendre service à son élève. Mais ces demandes considérables ne
pouvaient naturellement qu'être gênantes de part et d'autre.

Aux environs de Noël, Abel quitta Paris en toute liàto pour
regagner son pays, en passant par Berlin : il était absolunient au
bout de ses moyens de subsistance. De nouveau il pouvait se
retrouver alors au milieu de ses connaissances, au lieu de vivre
solitaire dans la grande ville cosmopolite, sans ressources et sans
voir personne à qui il pût avoir recours dans sa position critique.
En janvier, avec quatorze tbalers dans sa poche, il rentra à Berlin,
où il se hâta d'aller trouver Crelle. Il rencontra aussi par bonheur
quelques compatriotes près desquels il put trouver un appui. Le
secours pécuniaire désiré finit par arriver, et Abel fut tiré d'affaire.
Cependant les dettes allaient croissant tous les jours, sans qu'il
pût espérer de pouvoir jamais s'en débarrasser.

A Berlin, il continua du reste ses travaux, qui ne comprenaient
pas exclusivement la suite de ses Recherches. Il semble que déjà
— ou dans tous- les cas très peu de temps après — cette œuvre
acqut une étendue plus considérable; car, dans les cahiers
de notes qu'il a laissés, on voit que les études préparatoires de
son dernier travail sur cet objet, le Précis, etc., étaient com-
mencés.

Toujours il s'occupait, dès qu'il avait un moment de liberté, de
ses études algébriques, qu'il appelait son objet de prédilection.
Or on pourrait dire que ses autres études reposaient sur celles-là.
Certainement c'était bien aussi son désir de rassembler les
résultats de ses recherches sur les fonctions elliptiques dans un
grand ouvrage, au lieu de les publier par parties et à des époques
ir régulières; mais ce projet n'était pas facile à réaliser. La con-

PASSAGK A RI-RMN. 107

clusion dut être naturolloinont que, à son départ pour Christiania,
il laissa entre les mains de Crelle ce qu'il avait eu le temps de
rédiger.

A Berlin, il séjourna, suivant sa propre expression, aussi long-
temps que ses moyens purent lui sufïire. 11 ctfectua son retour en
avril ou au plus tard au commencement de mai, parce qu'il
voulait prendre la route de Copenhague et faire un très court
séjour d;ms cette ville. A Copenhague il devait rencontrer sa
fiancée, qui était alors revenue en Danemark pour y résider.

Cependant Crelle avait cherché à le retenir auprès de lui. « Il
nVa bombardé d'une manière terrible», écrit Abel à Boeck, « pour
me faire rester.... Il est un peu choqué de ce que j'ai dit non. Il
ne comprend pas ce que je veux faire en Norvège, qu'il s'imagine
être une autre Sibérie. »

Il envisageait avec une certaine terreur l'avenir qui l'attendait
dans son pays. Quand il rentra, il lui sembla être condamné « à
tendre la sébile à la porte de Téglise! » Mais « il est si convena-
blement plié», écrit-il, « au malheur et à la misère! » Parfois il
pouvait lui venir le désir de se fixer pour toujours en Allemagne,
(a comme il aurait pu le faire sans difficulté. y> Et avec toutes
les misères qui le tourmentaient, il ne pouvait ne pas se
dissimuler que l'expatriation était maintenant le parti le plus
avantageux.

Mais toujours il y avait quelque chose qui l'attirait vers la
Norvège ; toujours et toujours revenait c( assez étrangement » le
mal du pays avec une force croissante, et qui lui faisait refuser
les offres les plus tentantes.

En passant par le Danemark, il revint ainsi à Christiania, où il
rentra le 20 mai 1827. A peine eut-il annoncé son arrivée au Sénat
de l'Université que ce corps se mit à l'œuvre, en proposant au
Gouvernement d'accorder à Abel une subvention pour la conti-
nuation de ses études et de ses travaux. La réponse du Gouver-
nement fut négative : il n'y avait plus de fonds disponibles pour
une telle destination.

La position critique où il se trouvait excita cependant à un haut

108 NIELS-HENRIK AlîKL. ~ % VIII.

degré Tintcrêt des membres de TUniversité, si bien que peu de
temps après ils entreprirent une démarche inusitée, en renou-
velant la demande qui venait déjà d'être repoussée. Les péti-
tionnaires alléguaient que, après son retour, il devait toucher
la pension dont il avait joui récemment avant son voyage,
pension dont le montant s'élevait à la faible somme de 200 spe-
ciedaler (^). Comme on devait s'y attendre, la prière du Sénat,
sous sa nouvelle forme, fut encore repoussée par l'autorité supé-
rieure.

Comment le mathématicien endetté, pendant la durée d'une
longue année, dut-il s'y prendre pour gagner sa vie, c'est ce qu'on
ne s'explique pas facilement. Sans famille ni parents qui pussent
lui venir en aide, il se trouva, sans aucun doute, dans la cruelle
nécessité de recourir à la générosité de ses amis, tandis que ses
embarras économiques se compliquaient nécessairement de plus
en plus. Les connaissances et les talents qu'il possédait n'étaient
guère de nature à lui procurer le plus mince bénéfice, surtout
maintenant, avant qu'il eût le temps de mettre de l'ordre dans
ses affaires. On a pu constater qu'il reprit son métier peu lucratif
d'autrefois, en donnant des répétitions de trigonométrie et de
stéréométrie aux étudiants qui se préparaient à Vexamen philoso-
phicum. Ses cahiers de notes, où il inscrivait les calculs prépara-
toires pour ses travaux, portent des traces indiquant qu'il avait
commencé par gagner ainsi son pain ; mais il ne peut guère avoir
fait de grands profits dans cette occupation, et certainement ce
n'est pas là qu'il eût pu trouver un moyen efficace de se tirer
d'affaire. On raconte que pendant quelque temps, à Christiania, il
doit avoir vécu « dans la misère presque absolue » , et, bien
qu'il eût des amis auxquels il aurait pu s'adresser, et dont le bon
vouloir, malgré les désagréments d'une telle charge, ne leur aurait
pas permis de le laisser dans cet état, il est bien probable que
c'est à l'époque dont il est question que ce récit se rapporte. Il lui
fallait souvent s'armer de tout son courage pour demander à des

(^) HOO francs environ.

MISKHK AU HKTOllR. lOîl

étrangers ce dont il manquait, cl s il cherchait à doni)cr à sa
demande une forme aussi franche que possible, certainement
aussi le courage lui a plus d'une fois manqué et il a mieux aimé
se priver, beaucoup de petits traits témoignent à quel point il
pouvait se montrer délicat lorsqu'il s agissait de causer à ses amis
les moindres sacrifices ou de recevoir les moindres présents, et
qu'il pouvait s'en dispenser d'une manière quelconque.

110 NIELS-HENRIK ABEL. — i IX.

]X.

Découverte de Gauss vers le commencement du siècle.

Remarques préliminaires concernant l'idée qu'on s'est faite

de la situation réciproque d'Abel et de Jacobi.

Nous interrompons ici pour un instant notre récit des circon-
stances qui suivirent son retour, pour étudier de plus près un
point important : la découverte des fonctions elliptiques, et parti-
culièrement rhistoire de leur premier développement à l'époque
qui va suivre immédiatement ^ de 1827 à 1829.

Nous ferons donc abstraction des voies cachées, qui, en ce
qui touche Abel, peuvent être suivies rétrospectivement depuis les
données claires du séjour à Paris en i826 jusqiCà V été de i82S,
dans lequel, avec Taide de Degen, il chercha à découvrir une
faute qu'il avait commise dans un « petit mémoire qui traitait c/c5
fonctions inverses des transcendantes elliptiques (^) ^). Telle est
l'opinion accréditée, et c'est vers tout ce qui s'y rapporte que
nous allons maintenant diriger notre attention.

Nous pourrons volontiers remonter jusqu'à l'époque de mars
1827 ; car, en conséquence d'une assertion directe de Jacobi, dans
une lettre à Legendre du 12 avril 1828, Jacobi fit alors le premier
pas décisif dans la carrière d'inventeur, en trouvant son c( principe
de transformation », découverte qui cependant n'avait encore rien
à voir avec la découverte des fonctions elliptiques elles-mêmes (^).

(^) Lettre à Holmboe du 24 juin (ou plutôt du 3 aoûl) 1S23.

(2) Ce rôle n'appartient même pas au théorème donné par Jacobi en juin et août.
D'ailleurs, c'est plutôt powr Jacobi que pour la science que ce « principe », comme
il l'appelle, a été un vrai principe, parce que c'est à l'aide de ce détour qu'il est
arrivé au théorème, et le théorème ne suffit pas pour constituer une découverte
fondamentale. Il n'y a là que rancicnno méthode mathématique, avec quelques
traces d l'esprit d'Abel.

(ÎAUSS RT Li:S FONCTIONS MLLIPTIQUES. 1H

Il résulte aussi crune autre déclaration du môinc géomètre que
Ton a ici la date la plus ancienne à laquelle on puisse remonter.
Il dit en effet lui-même, dans une lettre de date postérieure —
du 1) septembre, — en annonçant qu il a fait commencer l'impres-
sion de ses Fiindamenla nova funclioniim dlipUcarumy qu'il
« avoue être un peu fatigué de ce sujet, qui l'a occupé pendant
dix-huit mois presque jour et rmit». — Si Ton remonte de
dix-huit mois en arrière, on arrive précisément au même mois
de mars i8^J7.

L'opinion courante est donc celle-ci : que la découverte des
(onctions elliptiques appartient à Vannée 1827 ; qu'elle a été
faite aussi bien par Abel que par Jacohi; qu'elle a été faite par
eux simultanément, ou peut-être un peu plus tôt par le premier
nommé; et enfin l'établissement des premiers résultats les plus
essentiels a été obtenu des deux parts d'une manière entièrement
indépendante.

Mais ce jugement exige déj;\ immédiatement quelques rectifica-
tions et quelques objections préliminaires, avant que nous ne pro-
cédions à un examen plus minutieux que celui dont on se
serait contenté à cette époque.

En premier lieu, on n'avait pu tenir compte d'un fait qui n'a
été mis complètement en lumière que dans ces derniers temps,
— bien qu'il ne soit pas pour cela plus généralement connu, —
savoir que Gauss, depuis longtemps déjn, vers le commencement
du siècle, avait fait la découverte dans ses traits essentiels, sans
toutefois avoir livré ses résultats à la publicité. Quelle a été
rétendue de cette découverte, c'est ce qui résulte des indications
de Gauss, et il faut espérer qu'un jour à venir ces indications
pourront être déchiffrées dans leur enchaînement par des hommes
compélenls.

Nous renvoyons le lecteur qui s'intéresserait à ce sujet — que
nous ne pouvons ici qu'effleurer — à un écrit publié récemment
par Kiinigsberger, à Vienne, et dans lequel se trouve le compte

Ii2 NIELS-HENRIK ABEL. — | IX.

rendu de cette affaire, conforme aux dates qui ont été déterminées
par le professeur Sciicring pour les travaux posthumes de Gauss.
Cet écrit, d'une haute valeur et remontant aux sources, ne traite
pas cependant cette découverte comme son objet principal; il
est intitulé (avec une exactitude plus grande que d'ordinaire
quand il s'agit de cet objet) : Ziir Geschichte der Théorie dcr
elliptischen Transcendenlen in tien Jahren i826-29, et il a été
rédigé à l'occasion du cinquantenaire des Fundamenla nova de
Jacobi, dont la publication coïncide avec la mort d'Abel. Pour
éviter toutefois les malentendus, nous remarquerons que le mot
transcendantes elHptiques, dans ce passage, doit être entendu
au sens de fonctions elliptiques, qui prit naissance précisément
avec ce qu'Abel désignait, en 1823, sous le nom d^ inversion des
transcendantes elliptiques .

Il serait certainement aussi d'un intérêt exceptionnel, non
seulement de déterminer exactement la marche du développement
de cette découverte primitive de Gauss, mais en même temps
d'examiner, en regard des autres travaux de cet illustre géomètre,
les circonstances personnelles de sa vie. La tranquillité avec
laquelle il considère les incursions d'Abel et de Jacobi dans ses
domaines et renonce à la propriété d'une partie si considérable
de ses travaux, et cette habitude de garder longtemps le secret
sur d'importantes théories, constituent un phénomène tellement
singulier, qu'une étude biographique approfondie pourrait seule
en donner l'explication.

Gauss, autant que nous sachions, s'est contenté de démontrer
à la postérité qu'il avait été en possession des nouveaux principes,
en établissant des résultats qui ont été reconnus plus tard comme
supposant la connaissance de ces principes; de plus, en laissant
comme témoignages des papiers avec leurs dates, et enfin aussi
par les indications contenues dans ses lettres. C'est ainsi qu'il
s'exprime dans une lettre à Crelle, à une époque où venaient de
paraître les premières notes de Jacobi et la première partie des
Recherches d'Abel, mais où aucune autre des publications de
celui-ci sur les fonctions elliptiques n'avait encore, vu le jour. Il

AI!KL ET JACOItl. 113

s'exprime ainsi — et sans mùme nommer Jacobi (') : a D'autres
alïaires m'empOchent pour le moment de rédiger ces recherches »
(les recherclies sur les Ibiiclions elliptiques dont Crelle avait
demandé à Gnuss le manuscrit). « Abel a pris les devants sur moi
au moins [lour un bon tiers. 11 a suivi exactement la même voie
dans laquelle j'étais entré en 171)8. Aussi n'cst-il pas étonnant
pour moi qu il soit parvenu pour la plus grande partie aux mêmes
résultats. Comme il a montre d'ailleurs dans ses déductions tant
de finesse, de profondeur et d'élégance, je me considère dès lors
comme dégagé de l'obligation de rédiger mes propres recher-
ches (^). »

Gauss n'a donc pas publié lui-même ses recherches, et en les
renfermant t\ longtemps, il a beaucoup perdu. Mais son droit
de premier inventeur subsiste, encore qu'il soit privé du droit de
première publication. Il y aurait pourtant un intérêt historique
à connaître quels pouvaient être les rapports entre ces recherches
de Gauss et celles d'Abel, ou à quelles sources communes ils
avaient puisé l'un et l'autre. Quoique les éludes d'Abel aient été
dirigées vers les méthodes d'Euler et de Lagrange plutôt que vers
celles de Gauss, on sait cependant qu'il a aussi pris connaissance
des travaux de ce dernier, et que depuis longtemps certainement,
pour les questions qui rentraient dans le cercle de ses recherches,
il y avait puisé des idées et des inspirations. Ainsi Abel cite

(1) Ce qu'avait fait JacoLi n'avait pas toute l'importance qu'on s'est accoutume
plus tard à y attribuer, sous l'impression fausse que Jacobi avait aussi découvert
les forclions elliptiques. Gauss a vu justement que, sous ce rapport, le travail de
Jaccbi avait un mérite secondaire; c'est sans doute le vrai motif pour lequel Gauss
n'a pas mentionné Jacobi à cette occasion. 11 ne serait pas raisonnable d'accuser
le grand géomètre de jalousie ou d'injustice à l'égard d'un tout jeune homme.

(2) Kous croyons que ce passage n'est pas toujours bien interprété. Il faut remar-
quer qu'à celte époque la première partie des Recherches était seule publiée, et
qu'elle s'arrêtait à la division. Il restait donc à traiter la théorie des transformations,
celle des fonctioi.s 5, etc. Katurellcment Gauss pense en ce moment à ce que seraient
ses propres recherches s'il les avait publiées avec leurs développements. — Si l'on
néglige cette remarque, les assertions de Gauss paraîtront peu correctes. D'ailleurs
il reste encore quelque chose qui ne nous semble pas bien clair. Pour le juger, il faut
avoir sous les yeux non les Œuvres ccwplètes, mais le Jeuinal de Crelle, où la
première partie des Recherch(S forme un premier mémoire comprenant Iddhision.

H4 NIELS-HENP.IK AREL. — | IX.

à diverses reprises dans ses écrits la division du cercle de Gauss,
et il fait allusion dans sa correspondance aux mystères de cette
division (^) qu'il est parvenu à pénétrer. Soutenu par ses études
de Lagrange — qui Tavaicnt occupé à un bien plus haut degré —
il avait été conduit par ses recherches à pénétrer dans le domaine
de rAlgèbrc à une profondeur beaucoup plus grande qu'aucun de
ses devanciers. 11 était naturel alors qu'ayant de tels moyens à sa
disposition, ou cherchant encore à les développer, il fût amené
dans les mêmes directions que Gauss, et qu'il se proposât des
problèmes que ce grand géomètre avait déclarés résolubles. Il
existe au moins un point (-) pour lequel on peut constater ainsi
une dépendance entre les études d'Abel et celles de Gauss, en tant
qu'il est question des fonctions elliptiques. Il ne s'agit pas ici
certainement d'un point capital que l'on doit chercher dans une
marche d'idées d'une toute autre nature, présentant une certaine
connexion avec son Mémoire portant le n" YIII (^) de ses Œuvres
posthumes. Il sagissait cependant d'un point d'une très grande
importance, savoir, du développement de certaines propriétés plus
profondément cachées de ces mêmes fonctions.

Il n'en serait que plus désirable de pouvoir suivre les traces
des idées et des problèmes mis en œuvre par Abel, puisqu'ils
étaient présentés si brusquement par lui à l'improviste, comme
s'ils n'eussent pas eu de racines dans le passé. Mais quelque grand
que soit le génie d'un homme, il a encore des voies à trouver —
bien qu'on ne les trouve pas toujours — aboutissant aux anciens
ou en communication avec l'époque contemporaine, et une explo-
ration pour découvrir ces voies ne manquerait pas d'importance
quand il s'agit des grandes pensées qui germaient dans ce sol
fécond — sortant souvent, il est vrai, d'une humble origine.

Pour ce qui concerne Abel, une solution partielle d'un pareil

(1) Ces mystères se rapportaient à la division et aux moyens algébriques pour y
arriver.

(2) L'idée de diviser la lemniscate.

(3) T. Il, ancienne édition, et VII, t. II, de la nouvelle. Rappelons-nous que ce
Mémoire est antérieur à 1825.

KWV.L ET JACOIM. \\^

problème, malgré cette source abondante d'idées et malgré le
puissant développement de tout ce qui rentrait dans son cercle de
représentation, n'était pas aussi désespérée quelle semblerait Fêtre
au premier abord. Car personne n'expose plus ouvertement ce qu'il
possède, pensées et découvertes ; personne ne cherche moins que
lui à cacher la source où il a puisé. Il ne cache pas non plus avec
jalousie, en s'entourant de mystère, le secret de ses méthodes et
ses procédés (*); il n'essaie pas de dissimuler le but vers lequel il
tend {^). On sait parfaitement aussi quelle a été la marche de son
éducation scientifique, quels auteurs il a lus, et ce qu'il a pu
recevoir de ces auteurs pour en faire quelque chose de tout autre
et de plus grand.

En revenant sur nos pas au sujet que nous avions quitté tout
à l'heure, nous allons nous arrêter un instant à ce point d'attache
qui relie Abel avec Gauss. Quoique ce point soit isolé, il n'en est
pas moins d'une certaine importance.

Gauss remarque en passant, dans ses Disquisitiones ariihme-
ticœ, qu'une certaine courbe, la lemniscate — dont nous remar-
querons, à l'usage des lecteurs étrangers aux mathématiques, que
la forme est celle du chiffre 8 — peut se diviser d'après le même
principe que le cercle. Cet énoncé, au point de développement oij
Abel se trouvait à une époque antérieure, avait été une nouvelle
énigme; car il supposait non seulement la connaissance, mais
une connaissance très approfondie de la nouvelle espèce de
fonctions. Et personne avant lui, si ce n'est Gauss, n'en avait eu
le moindre soupçon. Quoique de certains passages d'une lettre à
Hansteen il résulte qu'Abel ne s'était pas occupé d'une manière
régulière et approfondie de la lecture des écrits de Gauss, il a
évidemment, une fois ou l'autre, rencontré l'énoncé en question,
mais sans y avoir, dans celte phase préparatoire de ses études,

(1) Comme c'était l'habitude si générale des mathématiciens d'autrefois.

(^) Parmi les auteurs qui se proposent un but très élevé, il arrive souvent que
quelques-uns en font un secret, soit par crainte de perdre leur découverte, soit
par peur du ridicule s'ils échouent. La simplicité d'Abel et les relations franches et
naïves qui l'ont entouré ont empoché ces circonstances de se produire. Personne ne
fut plus ouvert, plus sincère, plus enfant de la nature qu'Ahel dans ses recherches.

116 NIELS-HENRIK AHKL. — | IX.

dirige spocialoincnt son attention. Lorsque, étant à Paris, il s'oc-
cupait de sa nouvelle théorie, et qu'il avait aussi trouvé de son
coté comment on peut diviser la lemniscatc, il en parle dans une
lettre à Crclle du 4 décembre 4826, avec cette remarque, qu'il a
des raisons de croire que Gauss aussi était arrivé au môme résul-
tat. Ce n'est donc pas là une citation d'un ouvrage qu'il aurait eu
récemment sous les yeux, mais une réminiscence confuse d'une
époque déjà lointaine. De plus, quand il fait voir, dans ses
Recherches, H (^), comment cette division peut s'effectuer, il ne
cite pas spécialement l'énoncé de Gauss, mais il indique qu'il se
sert de la méthode de ce géomètre, de même qu'auparavant, dans
une occasion identique, il renvoie à lui. Il reste cependant, à
notre avis, un certain manque de précision sur la question des
droits de Gauss, qui a affirmé — à la vérité, sans démonstration
— la possibilité de cette division.

Ce point présente un double intérêt. Il montre à quel degré les
recherches de Gauss, celles même dont les résultats n'ont pas été
livrés à la publicité, ont exercé une heureuse influence sur le
développement des fonctions elliptiques dû aux travaux plus
récents d'Abel (^). Et Abel, à son tour, dans ses lettres et dans
les travaux suivants qui ont permis de les contrôler, a clairement
montré à la postérité que, dès l'époque de 18^6, il possédait déjà
dans une vaste étendue la théorie des nouvelles fonctions (^).
Comme Dirichlet l'a relevé, il résulte des indications de Gauss,
confirmées par les recherches d'Abel, que le premier a dû disposer
depuis un grand nombre d'années de moyens analytiques exigeant
des connaissances très complètes sur la théorie des nouvelles
fonctions; mais avec la même raison on conclura, des énoncés
communiqués par Abel à Holmboe et à Crelle, qu'avant la fin

(*) C'est la partie des Recherches, etc., qui fut publiée clans le Journal de Crclle,
t. lU, et qui contient surtout la théorie de la transformation.

(-) Par exemple, Gauss indique l'existence de la division de la lemniscate, Abel
la fait.

(•') Abel dit à Holmboe qu'il l'a fait. Plus tard il le fait. Mais cela ne peut avoir lieu
sans une connaissance très profonde de la nouvelle théorie, poussée même jusqu'à
la théorie de la division et à colle de la double périodicité.

ABEL ET .lACOlU. J 17

de 18^0 il avait bien, lui aussi, approfondi cette branche de
l'analyse.

Nous arrivons maintenant A Tautrc remarque que nous avons
à faire, n'ayant plus à nous arrêter à ce droit de priorilc, qui
appartient ainsi proprement à Gauss. D'apiès la version ordinaire,
A bel et Jacobi — A bel peut-être toutefois quelques mois plus tut —
auraient tous les deux, indépendamment Fun de Tautre, fait, ou
plus exactement refait la môme découverte des fonctions ellip-
tiques. Quoique l'annonce de telles découvertes simultanées et
indépendantes résiste rarement à une rigoureuse analyse des
circonstances, la simultanéité et Tindépendance se réduisant à
quelqu'autre chose ou n'ayant qu'un semblant d'existence, dû
à une connaissance imparfaite des événements, il se rencontre
cependant dans le cas actuel beaucoup de raisons servant à
confii'mer cette croyance. Nous disons croyance; car dès qu'on
adopte une opinion à une époque déjà lointaine, aucune recherche
complète n'a pu être faite; c'est bien souvent alors une légende
qui se développe, et peu à peu elle s'accrédite.

Nous avons là, en premier lieu, un témoignage de l'opinion
qu'on s'était formée dès l'origine, témoignage provenant d'hommes
dont la sincérité ne fait aucun doute, et dont la rectitude d'esprit
ne les aurait pas aisément laissés tomber en erreur — en tout
cas, ajouterons-nous, si les événements et leur enchaînement
avaient pu se présenter aussi clairement à leurs yeux que la posté-
rité se le figure. Nous avons affaire ici à des contemporains comme
Legendre, comme Poisson, comme Dirichlet. Bien plus encore
— car en réalité la qualité de contemporains de Poisson et de
Dirichlet n'a que bien peu de chose à faire dans la question —
nous pouvons citer CrcUe, qui était en relations si étroites à la
fois avec Abel et Jacobi, et dont la sympathie pour le premier
était si prononcée. Crelle dit, dans son nécrologe d'Abel, que
celui-ci et Jacobi «ont toujours marché également et comme de
front dans leurs recherches sur les fonctions elliptiques, sans

118 MELS-IIKMUK ARKL. — | IX.

cependant se connaître Tun l'autre, non plus que leurs travaux,
et sans se rencontrer ni se toucher dans leur route. ))

Holmboe lui-même semble avoir entretenu et certainement
aussi partagé Fopinion, si généralement acceptée, si peu dis-
cutée d'après la marche spéciale des événements et si facile-
ment adoptée, de la simultanéité et de l'indépendance des
travaux des deux géomètres. Il écrit lui-même dans sa préface
aux Œuvres complètes: «En même temps que notre Abel, et
sans connaître les ouvrages de ce dernier, M. Jacobi, de Kônigs-
berg, commença à traiter la théorie des fonctions elliptiques.
Ainsi une rivalité s'établit entre ces deux génies supérieurs dans
leurs traités sur les dites fonctions, d II ajoute ensuite : « Abel
me dit que, lors de son séjour à Paris en 1826, il avait déjà
achevé la partie essentielle des principes qu'il avançait dans la
suite sur ces fonctions, et qu'il aurait bien voulu remettre la
publication de ses découvertes jusqu'à ce qu'il en eût pu composer
une théorie complète, si en attendant AL Jacobi ne s'était mis sur
les rangs. y>

Avant d'aller plus loin, nous allons pourtant montrer que chez
Holmboe une influence étrangère s'est fait sentir un peu plus tard.
On retrouve chez lui, d'après la thèse introduite dans le nécrologe
de Crelle, l'affirmation de l'indépendance mutuelle des travaux
des deux auteurs, dont chacun ignorait ce que faisait l'autre, ce
nécrologe ayant été inséré dans cette même préface. Le texte
original, écrit en norvégien, contient cependant, au lieu du
passage de la préface, ces lignes écrites à une date bien anté-
rieure, savoir, en 1829, dans le Magazin for NaturvidenskabernCj
et cela, chose à remarquer, en connexion avec le nécrologe de
Crelle. Holmboe s'exprime ainsi : (( La théorie de ces fonctions...,
en outre des recherches d'Abel, a été aussi l'objet de travaux du
plus grand mérite de la part du professeur Jacobi, de Kônigsberg.
Ces deux jeunes géomètres à peu près du même âge, comme ils
marchaient côte à côte au point de vue du génie mathématique,
rivalisaient entre eux dans leurs mémoires sur ces fonctions.
Abel m'a dit que, quand il était à Paris en 1826, il avait déjà

AHRL KT JAcnnr. JIO

nclicvn ce qu'il y avait de plus essentiel dans ce f|u'il a pnhiiô
plus lard sur ces Ibnclions... » On voit ainsi que le passage est
le iiicnu>, v\ les ino's à peu pirs identiques. Mais l'afllrination
intercalée, couiuie nous Pavons remarqué plus haut, concernant
rindi'pendance des travaux, etc., ne s'y trouve pas; elle a été
accueillie plus tard, évidemment de bonne foi, d'après le passage
correspondant du nécrologe de Crelle.

Nous ferons encore ici une autre remarque. Nous avons repro-
duit une citation, surtout pour constater une identité, et nous
l'avons prolongée plus loin qu'il n'était nécessaire. Or il s'est glissé
dans la traduction française une modification du sens du texte,
laquelle du reste se rencontre également en d'autres endroits, dans
la traduction de quelques expressions dans les lettres d'Abel.
Naturellement une reproduction exacte de tout point ne peut être
obtenue d'un traducteur peu familier avec la substance du texte;
mais ce qui avait pu paraître d'abord insignifiant ou qui n'avait
été nullement remarqué pouvait dans un autre cas acquérir de
l'importance, de sorte qu'il faut recourir de nouveau aux sources
originales. Dans le texte primitif on lit qu'Abel à Paris, en 1826,
possédait ce qu'il y avait de plus essentiel dans ce qu'il a publié
depuis sur ces fonctions. Dans la traduction française, plus récente
de plusieurs années, il est dit qu'il possédait, au lieu de (( ce qu'il
y avait de plus essentiel» — ce qui sans aucun doute était la
leçon la plus correcte — « la partie essentielle des principes. y>
Evidemment cela ne peut être autre chose qu'une tournure
malheureuse introduite par l'inattention du traducteur; cartons
les principes étaient alors trouvés.

Pour renforcer encore plus ces assertions de simultanéité et
d'indépendance, on peut alléguer que Jacobi, au commencement,
ne nomme pas non plus Abel, et que, en général, dans ses
premiers écrits, il ne le désigne pas comme source. Et, d'autre
part, cette reconnaissance réciproque, sans aucune discussion de
priorité! Nous pouvons même ajouter que, à l'exception d'un
passage isolé d'une lettre écrite dans des circonstances découra-
geantes, dans lequel on aperçoit chez Abel une certaine anima-

120 NIELS-IIENP.IK ABEL. — | IX.

tion, à Texception aussi de quelques propos qui font deviner
d'autres choses, mais auxquels nous ne pouvons nous arrêter ici,
Abel ne fait en général ni rennarqucs ni allusions quelconques.
Les rares occasions où il parle de Jacobi dans ses lettres ne
portent à croire rien autre chose, si ce nest que tout est bien.

Jout semble ainsi être dans le meilleui* ordre, et la croyance
courante paraît bien fondée.

Nous aussi, nous avons accepté cette opinion, et nous pouvons
le dire, nous avons aussi partagé la satisfaction générale de voir
cette fraternité et cette abnégation des intérêts personnels dans
les efforts communs pour parvenir aux sublimes vérités. Mais
certaines circonstances frappantes ont depuis quelque temps
ébranlé notre foi dans la parfaite correction des manières de voir
ordinaires, et ces esquisses biographiques, dont la rédaction a été
reprise à des époques diverses, nous ont conduit à des recherches
qui donnent aux choses un aspect bien différent. Nous ne nous
placerons donc pas, pour tous les faits, au même point de vue
que nous avions adopté au commencement de cette exposition.

Par un ensemble de circonstances qui sera discuté plus loin,
il s'est introduit des perversions du droit historique, et cela depuis
les premiers temps. Et malgré les hommages si largement rendus,
malgré les sympathies les plus chaleureuses et les plus unanimes
pour notre compatriote, il s'est maintenu une certaine confusion
dans l'opinion générale relativement à la question de propriété.
Cette manière de voir a particulièrement son expression dans
l'admission d'une singulière communauté de propriété — grâce à
laquelle, il est vrai, tant de choses se perdent et tant d'équivoques
se produisent. Même dans l'honneur que l'on rend si volontiers à
notre géomètre, il se mêle un certain vague. L'éloge est exprimé
par de grands mots, qui peuvent sonner harmonieusement, mais
qui seront oubliés un jour si la réalité qu'ils doivent exprimer,
et qui appartient à Abel sans partage, ne peut lui être restituée.

Son contemporain et survivant, si hautement distingué, a eu
le bonheur de travailler dans un grand pays, au milieu de rela-
tions plus étendues. La nouvelle doctrine et les nouvelles idées y

AIlKr- KT .lACOFU. 121

poussaient des racines el se développaient rapidement. La période
de rindiiïérence, rpii dura autant que la vie dWbel, était passée.
L'intelli<^once de celle théorie pénétrait dans des cercles de plus
en plus vasles, et à la lùle d'une nombreuse troupe d'élèves mar-
ciiail Jacobi, {'oiinuc le chef du nouveau mouvement. Abel, dans
son étroile et lointaine patrie, était abandonné à lui-môme et à
son petit noyau d'inlimes. Il n'avait pas, luij une foule de disciples
autour de lui; ses élèves, nous pouvons le dire, c'était le petit
nombre de ses anciens maîtres; c'était le grand Gauss; c'était,
dans une sphère certainement moins élevée, mais néanmoins très
éclatante, Jacobi. Il y avait aussi là le vieux Legendre — bien qu'il
lui semblât assez difficile de suivre la bannière révolutionnaire du
novateur. — Abel n'était pas non plus un esprit dont les recherches
fussent à la portée du plus grand nombre; quelle que fût la clarté
de sa pensée et de son style, il y avait cependant dans les problè-
mes eux-mêmes et dans l'originalité des pensées quelque chose
qui devançait de trop loin son époque. Jacobi, au contraire, se
rapprochait davantage de son temps, et, quelque hauteur qu'il
atteignît, il posait ses problèmes à un niveau moins élevé; c'était
un but plus accessible pour le grand nombre que le but proposé
par Abel. Trop indépendant dans ses conceptions pour vouloir
suivre servilement les traces de son émule, il imprima au déve-
loppement de la science la marque personnelle de son cachet, et
nous pouvons dire, de son individualité. Car l'esprit de Jacobi
pénétrait plus aisément, dans ces matières, les investigations
générales du monde scientifique que l'esprit de Gauss ou d'Abel,
et c'est sur les formes tracées par lui que ces investigations
roulaient.

Quoi d'étonnant alors si l'attention générale se portait, avec
une si grande préférence vers le survivant hautement honoré et
hautement méritant, et qu'Abel, letiré dans son coin paisible,
— d'où il disparut juste au moment où Jacobi se présentait avec
son ouvrage capital, — qu'Abel tomba devant lui dans l'oubli :
il n'avait pour garant que la valeur de ses écrits, trop élevés
pour la plupart des lecteurs, et rafrectioii qu'il avait trouvée

122 NIKI.S-HHMUK AIIFI.. — | IX.

chez un vieil ami et compatriote de son émule. Quoi d'étonnant
si le son vide de la gloire prit en grande partie la place de la
gloire elle-même? Rion de plus naturel aussi que de voir les
fausses attributions de propriété, qui depuis longtemps déjà avaient
eu lieu, égarer toujours les esprits. Car il y avait tant de choses,
faites pour désorienter, qui continuaient à subsister et qui ne pou-
vaient que porter le trouble dans les esprits. Les idées erronées
continuèrent donc à enfoncer plus profondément leurs racines.

Pour ramener les choses à leur véritable situation, il faut donc
remonter aux sources, et apporter de nouveaux éclaircissements,
qui ne peuvent pas être cherchés exclusivement dans les textes
anciens. L'histoire de ce qui s'est passé pendant ces jours-là doit
être reprise en détail et mise en rapport avec les documents qui
proviennent d'autres sources, et surtout de notre propre pays.

Si de cette manière quelques illusions anciennes et accréditées
sont dérangées, si dans tout ce qu'il y a de grand il doit se trouver
des côtés d'ombre; si des erreurs, qu'ailleurs on devrait laisser
en paix, sont mises en évidence parce qu'il le faut pour rendre
au possesseur légitime son droit de propriété littéraire, il en
résultera inévitablement des conséquences pénibles. Mais ce n'est
qu'à ce prix qu'on peut satisfaire à la justice historique. De cette
recherche sortira pourtant une image plus complète et d'un plus
vif coloris ; c'est toujours ce que l'on gagne, en pénétrant à fond
dans le vrai.

Le rang comme inventeur, attribué à Jacobi, sera diminué,
en même temps que cette communauté entre lui et Abel se
dissoudra. L'opinion traditionnelle sur le mérite relatif des
deux champions devra aussi être modifiée; plus d'un reflet
romanesque en disparaîtra. Mais Jacobi lui-même, le travailleur
si hautement doué, si infatigable, qui a si bien mérité de la
science, ne peut être jugé d'après quelques-unes de ses années de
jeunesse et uniquement par comparaison avec un Abel. Car,
malgré des conditions favorables d'une autre nature, il luttait
contre son émule à armes inégales, et s'était préparé trop tard
pour un tel combat. On ne doit pas non plus oublier que c'est

AHEL KT JACOni. 123

seulement pour une très courte période que nous avons à nous
occuper de Jacobi. Si ce qu'il a fait de grand et de bon apparte-
nant à celte époque couvre quelques fautes, ({ui ne doivent pas
être ici dissiuuilées, ce n'est toutefois qu un fragment détaché de
Tensemble, un épisode d'une vie de jeunesse, où s'agitait
rénergie d'une ame ardente.

124 NIELS-HENIUK ADEL. — ^ X.

La découverte par Abel des fonctions elliptiques. — Les
théorèmes de transformation de Jacobi, et leurs rapports
avec les fonctions elliptiques, ainsi qu'avec la théorie
définitive de Legendre.

Dans les tristes circonstances au milieu desquelles se trouvait
Abel à son retour dans son pays, ce fut en septembre 1827 que
parut dans le Journal de Crelle la première partie de son
mémoire cité plus haut et devenu depuis si célèbre, les Recher-
ches. Quoique ce Mémoire, auquel il travaillait pendant son
séjour à Paris en 1826, et sur lequel il donnait à cette époque
des éclaircissements dans des lettres à Holmboe ainsi qu'à
Crelle; quoiqu'ainsi, lorsqu'il fut remis à Téditeur lors du retour
par Berlin, il ne fût pas encore achevé, il était cependant d'une
étendue considérable, et la nouvelle théorie des fonctions ellipti-
ques, par ce travail faisant époque, se trouvait (ondée (').

Dans les mêmes mois parurent, dans les Astronomische
NachricJtten de Schumacher, les énoncés connus de Jacobi
concernant la théorie des transformations; le premier était daté
du 13 juin, le second du 2 août. L'ensemble n'occupait dans le
journal guère plus d'une feuille; mais, malgré l'absence de
développements, ce n'en était pas moins une œuvre de grande
importance. On y trouvait une généralisation de Tancienne
théorie des transformations, telle qu'elle existait depuis Legendre.
Toutefois la première généralisation, qui avait été publiée dans le
mémoire du juin, et qui d'une certaine manière constituait le
premier pas, avait été faite par Legendre lui-même sans que

(*) Celle première partie du niomûire : Rccherrhes sur les fonctions elliptiques,
se Irouvc n» W\, t. ], de raiiciennc édition, p. lil à 2"2l (ii" \\1, t. I, de la nouvelle
édilion, p. 2G3 à 351).

TIlKOinblKS l)K JACOiJI. 12')

Jacûl)i cil ciU connaissiincc. f.G mémoire (raodl, qui du reste
coiîteniiil comme supplcmcnt une comniunication à Le^endre
du 5 du même mois, était au contraire d'une plus haute valeur.
Jacobi y avait découvert une vérité relativement d'une grande
profondeur.

Malgré cela, comme nous Tavons dit plus haut, la découverte
de Jacobi, telle quelle se présenta à cette époque, ne pouvait
encore être considérée que comme un complément plus large de
Tancienne théorie; on devait l'envisager comme une extension de
la doctrine de Lcgendre. Car, comme cela ressort d'une lecture
attentive des articles de Jacobi et de sa lettre à Legendre, aucune
des deux grandes idées capitales, soit l'idée de l'inversion, soit
celle de Texistence de la double périodicité, ne semble à cette
époque être entrée dans son champ visuel. Naturellement on
n'aperçoit alors nulle part une indication quelconque de la
généralisation qui en résulterait pour les fonctions élémentaires
simplement périodiques, et leur extension dans certaines fonctions
nouvelles^ douées d'une espèce plus élevée de périodicité.

Si l'on veut désigner la date de septembre comme l'époque
remarquable où du fait de ces deux publications la théorie des
fonctions elliptiques aurait été découverte simultanément par Abcl
et Jacobi, on adopte dans ce cas une tradition inexacte. Pour ce
qui regarde Abel, cette découverte existait déjà complète non seu-
lement en principe, mais encore dans ses plus importants dévelop-
pements. Par les idées qu'il y avait déposées, par son plan présenté
avec clarté et avec ordre, par les indications qu'il avait données,
et môme par le choix de ses notations — et, joint à cela, par les
pensées et les méthodes qu'il avait fiUt connaître auparavant dans
son mémoire de Freiberg (*), — il dominait, nous pouvons le dire,
la nouvelle doctrine sur tous les points fondamentaux et dans

(1) No YI. t. 1, de l'ancienne édition (n" XI, t. I, de la nouvelle). — En donnant à
ce mémoire, historiquement si important, le nom sous lequel nous louons désigné
plus haut, nous ne voulons pas dire qu'il ait été sans le moindre doute composé à
Frciheri,'. D'après Holmboe, les mémoires d'Abel publics dans le Journal avaient élc
rédigés en français et dans les premiers temps traduits en allemand par Crelle.
Mais llolmbop, en les traduisant de nouveau en l'ranrais, n'a pas eu les originaux

126 NIELS-IIENRIK ABEL. — | X.

toute son étendue. Même la seconde partie des RecJiercJies,
promise pour le cahier suivant, après l'établissement des principes
et les lumineuses indications sur ce qui devait venir ensuite,
n'aurait pas été nécessaire pour le complet achèvement de la
théorie ; car sans doute des mathématiciens de rang bien inférieur
auraient pu sur ces fondements continuer Fédifice.

Jacobi avait fait une découverte importante. Ce qu'il y avait
de plus caractéristique, c'était le passage par des transformations
qui s'y rattachaient, et par la transformation dite complémentaire
de la multiplication. Le théorème II, qui traitait de cette multi-
plication, avait été seul communiqué par l'auteur à Legendre.

Cette découverte, peut-être un jour à venir, mais sans qu'on
en pût absolument répondre, aurait pu conduire à la nouvelle
théorie; mais il n'est pas correct de dire que les bases de cette
théorie fussent établies par ces propositions.

Que ces mêmes propositions, cependant si peu comparables
qu'elles soient, comme points de départ fondamentaux, avec ce
qui a été exposé dans le mémoire étendu intitulé Recherches, que
ces propositions constituassent un progrès au-dessus de l'ordi-
naire, c'est ce qui n'est pas moins sûr. Cela ne ressort pas moins
clairement des difficultés que présentaient leurs démonstrations.

Le jeune géomètre, moins âgé de deux ans que le jeune Abel,
était en effet parvenu seulement par voie d'induction à ses résul-
tats, et les avait envoyés — sans faire ce qui est un devoir en
pareil cas — sans donner une seule indication sur la manière
dont il y était parvenu.

Cependant la démonstration était désirée par Schumacher, qui
avait fait paraître le théorème principal, mais qui n'avait aucune
envie, ainsi qu'il l'écrit à Gauss le 28 août, <( à l'avenir de publier
de telles annonces toutes nues, sans démonstrations à l'appui. »

sous les yeux. Il paraît aussi avoir commis une erreur, en disant qu'Ahel n'avait
écrit en allemand qu'une très courte noie de trois pages (n^ XXII, t. 11, de l'ancienne
édition; n^ XII, t. H, de la nouvelle). Car il dit, le 16 avril 1826: « Vers la fin de
février, je partis... pour Freiberç;, où je restai un mois pour composer un mémoire
qui devait être inséré dans le/oufj.a.'. Jo l'ai écrit moi-même en allemand, et il sera
imprimé tel qu'il est écrit. »

TUKORKMKS l)K JACOIM. -1^7

Schuinachor, (jui. visiblement, n'av;nt pas une grande sympathie
pour .laeohi, lui lit savoir eu outre qu'(( il ne trouvait pas Vinser-
tion de tels énoncés tout à lait convenable. » Ce l'ut là pour
Jacobi une puissante excitation à compléter ce qui manquait.

Cependant Lcgendre n'avait pas encore reçu la lettre deJacobi,
laquelle, outre ce mémo théorème, contenait aussi le théorème
complémentaire. La lettre avait été confiée à un négociant en
voyage, et ne parvint à sa destination que dans les derniers jours
de novembre; mais Legendre avait déjà, par les Aslronomische
Naclirichtcn, eu connaissance de la théorie de Jacobi, dans
rétendue correspondante à celle de cette publication. Gomme
il résulte des témoignages de Schumacher et de Legendre,
ce dernier, dès Fabord, n'avait aucune confiance dans cette
généralisation de la théorie de la transformation de Jacobi, et il
croyait que l'auteur ne pourrait pas démontrer ses théorèmes. Il
avait supposé qu'ils étaient inexacts et que c'était simplement une
induction trompeuse. On peut juger de l'importance qu'il y
attachait cepejidant, à son point de vue et en considération de la
construction de sa propre théorie, d'après cette circonstance que,
le cas échéant, il en devait faire un supplément à sa théorie.

La démonstration devait donc être cherchée à de grandes pro-
fondeurs. Il en était de môme, à plus forte raison, si on voulait
l'étendre au théorème complémentaire, ainsi qu'au passage à la
multiplication. Ces résultats, avons-nous dit, avaient aussi été
envoyés à Legendre depuis le 5 août, bien que leur remise eût été
retardée; et aussi, à cette occasion, Jacobi avait omis de faire
savoir que ce n'était qu'un intéressant résultat d'induction. Il est
important de bien remarquer cette double omission, pour mieux
comprendre les événements qui vont maintenant se développer.

Vraisemblablement dans l'espérance illusoire de vaincre assez
vite les difficultés, Jacobi, en continuant à garder le silence, se
mettait dans une situation de plus en plus difficile. Jusque là
toutefois c'était uniquement d'un seul côté que venait la pression :
Schumacher pressait pour obtenir la démonstration absente.

Sans aucun doute, Jacobi a été condiunnc alors aux études les

128 • NIELS-HENHIK ABKL. — | X.

plus laborieuses touchant les propriétés des transcendantes en
question. C'était seulement ainsi qu'il pouvait espérer de trouver
les moyens de justifier ce qu'il n'avait fait que vérifier sur des
exemples, et de se tirer ainsi d'eujbarras. Ces elForts peuvent
bien aussi lui avoir permis d'approcher d'assez près et même — ce
qui est possible, quoique nous doutions qu'il lui eût été laissé
assez de temps avant qu'il fût prévenu par Abel — d'arriver en
contact direct avec la découverte fondamentale, comme nous
avons vu que ce dernier l'avait fait.

Abstraction faite de ce faux pas, qui pour le présent allait lui
causer des embarras et en amener dans la suite de nouveaux,
Jacobi dans Tannée i8'iî7, cherchant la démonstration d'une vérité
importante qu'il avait trouvée, mais qu'il n'avait pas entièrement
pénétrée, se trouvait ainsi dans une position assez semblable à
celle d'Abel quatre ans plus tôt, lorsque celui-ci, à l'occasion de
ses ((fonctions inverses)), s'était embarrassé dans des contra-
dictions et exprimait sa détresse à Degen.

Mais avec cette avance de plusieurs années, on ne devait pas
s'attendre à ce que Jacobi, malgré sa puissance de travail et les
dons élevés de son esprit, pût dans un laps de temps si court
rattraper son émule. De la part d'Abel, il était donc naturel que
le grand but capital fût déjà atteint. Avec une vue parfaitement
claire sur son œuvre, il pouvait livrer au public ses théories
fondamentales, et il se mit à les exposer suivant un plan mûre-
ment médité et conforme de tous points à la nature des choses.
Pour Jacobi, la position était moins favorable. Le génie d'Abel
produisait ce que l'autre aurait peut-être produit aussi, si un plus
long délai lui eût été accordé. L'œuvre de Jacobi ne consista
donc pas à découvrir lui-même les nouvelles frontières — dont
il s'était seulement approché, mais sans finir par les trouver. Au
lieu de cela, il transporta les heureuses trouvailles qui lui appar-
tenaient aux pays fertiles que le génie d'Abel lui avait montrés.

THÉORÈMES DR JACORf. 120

Le 18 novembre, Jacobi signa la déinonslralion de son tbéo-
rènie primaire de translurmation, énoncé dans le Journal de
Scbumacber. Toutefois la diiriculté de découvrir ces démonstra-
tions, fondées sur des vérités profondes, n'avait pas encore
complètement disparu; car le tbéorème complémentaire, celui qui
avait été conjointement avec le premier communiqué à Legendre,
demeurait toujours sans vérification.

A cette époque, Legendre reçut la lettre de Jacobi restée en
retard. Legendre put alors se convaincre que les résultats de
Jacobi devaient s'encbaîner entre eux d'une manière exacte,
sans toutefois que lui, Legendre, fût aussi en mesure de pénétrer
plus avant dans le sujet. Il communiqua alors ces propositions
remarquables à TAcadémie, et écrivit aussitôt après à Jacobi une
lettre témoignant de sa vive approbation. Dans cette lettre, datée
du 30 novembre, ainsi qu'il l'avait fait à la séance de l'Académie,
il dit en propres termes qu'il voit maintenant que «ce n'est pas
sur l'induction, mais bien sur une analyse profonde et rigoureuse,
que Jacobi a établi sa proposition générale, jd II témoigne en
même temps le désir que l'auteur lui communique l'analyse qui
l'a conduit à ces deux formules. La grande expérience qu'il a du
maniement de ces matières lui permettra de se contenter d'une
simple indication de la méthode ou de son principe fondamental.

Mais non seulement il restait une lacune à combler, attendu
que pour le théorème complémentaire aucune vérification n'était
encore trouvée, — sans doute, pour cette raison Jacobi n'avait pas
même indiqué l'existence d'une seconde proposition de même
nature, omission peu naturelle au sujet de ce mémoire, s'il n'y
avait pas été contraint, — mais dans la démonstration du théo-
rème primaire, il y avait encore quelque chose qui annonçait que
le sujet dans son ensemble n'était pas parfaitement possédé par
l'auteur. C'était en tous cas peu satisfaisant, en ce qu'il manquait
un développement déductif, par lequel les nouveaux faits pussent
se rattacher naturellement aux faits connus. Malgré l'ingéniosité
qui apparaît dans les développements, ce côté faible avait été
remarqué, et Legendre le relève aussi, tout en parlant avec grand

130 MELS-IIENUIK AHRL. — | X.

(ilogo de la démonstration de Jacobi, dans une analyse qu'il en
donne dans le môme journal de Schumacher.

Entre autres choses, il s'exprime ainsi dans un passage de cet
arLicle : cr Ici on doit regretter que l'auteur remplisse la tâche
qu'il s'est imposée par une sorte de divination », et en touchant
ensuite un point capital, important aussi, dans cette exposition,
pour ce qui doit suivre, a: sans nous mettre dans le secret des idées
dont la filiation l'a amené progressivement à la forme que doit avoir
1 — y pour satisfaire aux conditions du problème. Au reste»,
njoute-t-il ensuite, « cette suppression des idées intermédiaires
s'explique assez naturellement par la nécessité de ne pas donner
trop d'étendue à une démonstration qui devait être insérée dans
un journal scientifique, et il est à croire que quand l'auteur
donnera un libre cours au développement de ses idées, dans un
ouvrage composé ad hoCj il rétablira les intermédiaires dont
l'absence se fait remarquer. ))

Combien était sensible cette absence des éléments déductifs
relevée par Legendre, c'est certainement une appréciation qu'ont
partagée avec lui un bon nombre de lecteurs.

Dans cette démonstration, ou plus exactement, dans cette
preuve par vérification, non seulement le premier théorème se
trouve rigoureusement établi, mais, ce qui est encore plus
essentiel, on y rencontre, dans l'enchaînement des conclusions,
ce que l'on appelle {'inversion. Et cette idée n'est pas appliquée
seulement ici, mais elle l'est aussi dans tous les mémoires
suivants. Le résultat, dont la vérité est démontrée revêt par là
d'ailleurs une forme différente de celle sous laquelle il avait été
présenté d'abord, et de cette forme il ne revient plus maintenant
à la forme ancienne.

L'introduction de l'algorithme de l'inversion dans ce mémoire
de Jacobi est maintenant ce qui a donné lieu à l'opinion que
Jacobi aussi avait découvert le principe de ^inversion. Nous
allons donc considérer la succession des dates et l'entrecroise-

THi:onÈMKS de jacobi. 131

ment des travaux, ainsi que Tattitudc gcmérale à cette époque.

Le 20 septembre, c cst-ù-dire deux mois avant que Jacobi signât
la démonstration de son tiicorème primaire, fut publié — d'après
des renseignements recueillis à Berlin, à l'occasion de la prépa-
ration d'une nouvelle édition des Œuvres d'Abel — le deuxième
fascicule du tome II du Journal de Crelle, contenant la première
partie des Recherches ('). Cette partie du mémoire d'Abel était
elle-nième d'une étendue considérable. Elle contenait d'abord
les propriétés fondamentales des nouvelles fonctions, propriétés
qui, d'une manière parfaitement correcte, et conformément au
contenu de son § 1", furent définies comme se composant de
XinversioUy de Vaddition et de la double périodicité. Après ces
propriétés fondamentales, qui furent désignées par Abel lui-même
comme le fond de ses découvertes, viennent les propriétés déri-
vées. Il explique la théorie de la multiplication, celle de la division
et celle du développement en séries, A partir de ce point, le
mémoire devait être « prochainement continué. ï)

Après une courte remarque historique, ce mémoire débute
par les mots suivants, qui précisent immédiatement l'idée
capitale. « Je me propose », dit l'auteur, «dansée mémoire,
de considérer la fonction inverse, ce qui veut dire, etc.... »
Et comme nouveau témoignage de ce qu'Abel s'était convaincu
que cette idée était aie plus haut degré un point de départ
fondamental — sans rappeler de nouveau le petit mémoire
inconnu de 1823, dans lequel l'inversion est indiquée d'une
manière si précise par ces mots : « les fonctions inverses des
transcendantes elliptiques» — nous citerons encore ses paroles,
lorsqu'il se décida à donner, dans un mémoire distinct, une suite
à ses Recherches. La seconde partie de ce travail (ce qui est
caractéristique de son point de vue et de l'unité complète d'esprit
et de plan qui y régnait), il la considérait comme faisant avec la

(^) On voit aussi, d'après une lettre à Legendre, datée du 12 janvier 1828, que
Jacobi recevait à ce moment le troisième fascicule du tome II. Mais le fascicule
suivant, dans lequel il avait espéré trouver la fin des Recherches, portait la date du
12 décembre 1827.

132 NIELS-IIEXUJK AI{|:L. — I X.

première un seul mémoire (^). Dans un avant-propos précédant
cette suite Ç^), il dit dans les premières paroles de Tintroduclion :-^
(( Dans le mémoire sur les fonctions elliptiques, inséré dans le
tomes II et III de ce Journal, j'ai développé plusieurs propriétés
de ces fonctions tirées de la considération des fonctions inverses
Je vais continuer ces recherches dans ce second mémoire. »

Le Journal de Berlin en question, dès Tépoque dont il s'agit
avait l'honneur d'être favorisé d'une Ihàiiger Defôrderung Iloher
Koniglich Preussùcher Beliôrden, et un nombre considérable de
ses exemplaires étaient distribués aux divers établissements
d'instruction et aux bibliothèques. Sans aucun doute, dans un laps
de deux mois, il avait donc eu tout le temps nécessaire pour
parvenir a Konigsberg. Nous ne pourrions pas même concevoir
qu'il ne fût pas arrivé largement assez tôt, et certainement un
mois avant que Jacobi envoyât son mémoire de vérification.

Or l'envie ne peut avoir manqué à Jacobi de se procurer les
cahiers du Journal, qui parvenait alors très rapidement à Konigs-
berg, et, en particulier, ce deuxième cahier, où étaient insérées
les Recherches, ^lôme en supposant que cet ardent travailleur
n'eût aucune connaissance de l'arrivée prochaine d'un mémoire
si considérable et si important, traitant des sujets qui l'intéres-
saient profondément, il y avait au moins pour lui-même quelque
chose à attendre. Jacobi, qui était docent dans cette université
prussienne, collaborait activement au Journal. Juste dans le
môme cahier où les Recherches avaient paru, on trouve un mé-
moire de Jacobi, daté du mois de juin ; de même on voit que dans
ce même mois, ainsi qu'en mai, il avait envoyé deux mémoires,
qui cependant ne furent imprimés que dans le troisième cahier.
Avant l'époque dont il s'agit, il avait en outre envoyé un certain
nombre d'autres mémoires pour le Journcd, qui ne purent être
imprimés que dans le quatrième cahier. Et, chose assez remar-
quable, il y avait parmi ces envois un petit travail astronomique,

(^) Il l'avait aussi indiqué en annonçant la continuation dans le prochain cahier.
(2) Nouvelle édition, t. Il, p. 244.

TliriORKMI-S I)K .lACOUI. 133

daté du 50 août, tandis qu'il venait, le 2 août, d'adresser son
mémoire purement matliématique sur la transformation aux
Asfronomischc Nachrichtcn.

Dans ces circonstances, il est peu croyable que le jeune Jacobi,
ù ce moment, n'ait pas cberclié à prendre connaissance du
contenu de ces cabiers, aussitôt qu'ils lui sont parvenus. Au
milieu des diiïicultés qui l'environnaient, et avec le puissant
intérêt qu'il devait avoir d'étudier à fond un mémoire tel que celui
d'Abel, il n'est certainement pas possible que, avant d'envoyer
son propre article, il n'ait pas remarqué l'existence de ce travail
si important pour lui, ou du moins qu'il ne se soit pas, à un
degré quelconque, rendu compte du contenu et de l'objet de
ce travail. Or non seulement c'est ici que pour la première fois
apparaît l'idée de l'inversion, mais tous les développements
y ont été faits en prenant pour base ce principe et à l'aide des
premiers éléments; de telle sorte que les fondements de la
nouvelle théorie, pour tout lecteur compétent, se montrent au
grand jour, avec clarté et rigueur.

Tl résulte déjà de ce que nous venons de dire que c'est unique-
ment par une erreur historique sur les faits réels, fondée sur une
connaissance insuffisante des travaux dont on parle, qu'on a été
conduit si généralement à dire et redire — dans les livres et dans
les mémoires — que Jacobi a dû fonder en même temps qu'Abel
la nouvelle théorie des fonctions elliptiques et qu'il l'a fondée
sur la base de l'inversion. Cette opinion a passé par emprunt
d'un auteur à l'autre, souvent môme avec des altérations et
des méprises, ce qui devait nécessairement arriver dans ces péré-
grinations, les sources souvent n'étant pas consultées, ou l'accès
n'en étant pas toujours possible.

Il aurait pu se faire que Jacobi lui-même fît valoir ses réclama-
tions. Mais l'introduction de cette idée dans son mémoire de
vérification ne s'est jms produite de sa part avec la prétention
que ses propres recherches eussent révélé une idée fondamen-
tale; une idée, en d'autres termes, qui au môme moment quelle
était conçue indépendamment d'Abcl — qui Favait déjà exposée

134 NIELS-HENRIK ABEL. — § X.

— se serait ofTcrlc à ses yeux avec toute sa portée, et qui se
serait trouvée confirmée ensuite par des travaux d'essais. Il n'est
pas fait la plus légère mention de ce que, derrière ces documents
à Tappui de ses propositions, se cachait un plan détaillé, dressé
par lui-même, d'après lequel une branche de la science venait de
prendre naissance, une nouvelle méthode, continuant et embras-
sant les plus élémentaires et les plus importantes de nos fonctions
transcendantes.

Il eût été doublement nécessaire que l'auteur eût déclaré si les
choses s'étaient passées ainsi relativement aux Recherches main-
tenant publiées, si sur ce point il y avait quelque chose à réclamer.
llaiirail dû, alors ou peu de temps après, rédiger une justification
de l'indépendance d'une telle idée fondamentale, émise immé-
diatement après l'apparition de la même idée d'un autre côté,
justification où il se serait expliqué au sujet d'une découverte
personnelle d'une si haute valeur, mais par laquelle il aurait
perdu le droit de première publication. Car dans le cas même où
les Recherches^ contre toute probabilité, seraient parvenues à une
époque postérieure entre les mains de Jacobi, alors Jacobi ne
pouvait pas ignorer le droit de priorité d'Abel et les circonstances
de la publication de son mémoire. Certainement ce fut dans ce
temps là, pour la plupart des lecteurs, une chose dont on ne
s'est pas inquiété, et qui par suite est tombée dans l'obscurité. Il
est très certain qu'il aurait trouvé une occasion pour proclamer,
avec clarté et précision, que l'inversion était aussi une idée qui
lui appartenait, — bien qu'Abel eût pris les devants, — en tant
que lui, Jacobi, non seulement avait fait indépendamment cette
découverte, mais en même temps parce qu'il avait aperçu que
par là il avait fait quelque chose de plus élevé que résoudre un
grand problème de transformation.

C'est ainsi qu'il parle expressément de son droit de priorité vis-
à-vis d'Abel, concernant la publication de la théorie de la trans-
formation elle-même. De même aussi Abel, de son côté, quand
Jacobi a pris les devants sur lui, soutient qu'il a établi indépen-
damment et depuis longtemps ses propres théorèmes de transfor-

Tfll'.ORÈMKS DE JACORI. 135

rnnlion. En ce qui concerne Tinversion, le grand point capital,
Jacobi no prétend pas y avoir reconnu avant Tintervention d'Ahel
un principe fondamental, d'où devait sortir une branche de la
science.

On ne voit non plus aucune trace d'une pensée si importante,
même dans la dernière lettre à Legendie du 5 août. Dans le
cas le plus lîivorable Tinversion a donc été pour lui une idée toute
nouvelle, et même dans ce cas elle ne s'est pas présentée comme
un principe, mais seulement comme un moyen. Chez Abel, au
contraire, Tidée avait mûri pendant longtemps, et elle avait
grandi chez lui depuis l'été de 1823, date la plus récente qu'on
puisse admettre pour son origine.

Les choses se sont plutôt passées ainsi : Jacobi n'a pas du tout
pensé à donner un précis original et lui appartenant en propre
d'une branche de mathématiques, qui dût comprendre les fonctions
circulaires; loin de là, en s'adonnant à ces recherches d'une
haute importance certainement et, malgré leur programme limité,
exigeant encore des efforts ingénieux, il ne sortit pas de la période
des travaux préparatoires. Il en était encore au point, où Abel
avait été longtemps auparavant, sur la voie des recherches nais-
santes, voie souvent obscure et douteuse, et ne connaissait qu'à
demi son but. Il n'était pas encore maître de son champ d'opé-
ration ; il avait été et, pour ce qui touche des points nombreux et
importants, il était encore dans l'embarras. Pour ce penseur qui
s'était aventuré si avant, il y avait encore maint combat à soutenir
et maints efforts à faire, avant que les diflicultés qui l'entouraient
pussent être surmontées.

Il fallut ainsi que la nécessité le conduisît — comme l'avenir
Ta bien confirmé — aux études les plus laborieuses et les plus
assidues du travail fondamental d'Abel. C'est par là seulement
que, avec la moindre perte de temps, il put parvenir à la clarté
qu'il cherchait, et se tirer de la gêne où le mettaient autant son
génie primesautier que son impatience juvénile.

\% NIFLS-IIKNRIK ABEL. — | X.

L'inversion jacobiennc se préscnle, en conformité avec la
place qni lui est due, comme une idée intercalée, non comme
une idée depuis longtemps dominante et pénétrante. Elle se
subordonne au problème spécial, au lieu de le dominer. L'inver-
sion est donc ici quelque chose d'intermédiaire, moyennant quoi
les considérations sont facilitées et la forme est changée; c'est
une chose utile, dont on aurait pu se passer. Rien, en réalité ne
s'opposerait à ce qu'on effectuât la démonstration avec les
notations de Legendre, comme cela eut lieu en etîet exclusive-
ment, lorsque les résultats furent publiés pour la première fois.
L'exposition tout entière nous apparaît pour ainsi dire traversée
par un double courant, ce qui s'accorde bien, en effet, avec la
position contraire, assignée par Jacobi, vers le milieu du mé-
moire, à la grande idée nouvelle. Et en considérant les cboses
au point de vue de la forme, on ressent la même impression que
si c'était à Taide d'une pensée reçue du dehors ou venue en
retard que Jacobi eût mené à bonne fm la démonstration, objet
de tant d'efforts, ou du moins qu'il eût pu introduire par là dans
cette démonstration une modification importante.

Mais, quoi que l'on puisse maintenant plus ou moins légitime-
ment conclure de la place accordée fortuitement à l'inversion, il
est toutefois certain que Jacobi, en l'introduisant, ne lui attribue
immédiatement aucune autre importance que celle de fournir une
notation plus simple. Il l'annonce en ces mots : Nolatione nova
simpliciorique abhinc iitar. En admettant que ce ne fût pas un
emprunt fait à ces Recherches, dont la publication était alors un
fait, cette innovation n'était encore considérée que comme un
algorithme abréviatif et commode dans le calcul, et nullement
comme un principe important, devant élargir le cercle des fonc-
tions connues. D'autre part, si l'inversion est un emprunt fait à
Abel. — ce qui ne peut faire l'objet d'un doute si l'on a égard au
temps et aux circonstances, — et si seulement, pour une raison
quelconque, la forme a été changée, le dessein de Jacobi, cela
va sans dire, n'a pu être de prime-abord que de tirer profit de ce
que la science avait fait connaître depuis lors, et particulièrement

TIli'.OnKMKS DK JACOMI. 137

il a voulu introduire dans lo luanicmentdu problème qu'il traitait
une amélioration consistant en une notation plus commode et
un mode de considération simplifié. Mais il ne pouvait plus alors
parler de rimportancc capitale de l'inversion — à moins de citer
le nom d'Abel; car l'idée, prise dans le sens élevé, comme un
grand principe^ appartenait à un autre.

Mais cette manière dont Jacobi désigne les choses ne montre
pas seulement quelle était la vraie situation. Si l'on compare ce
qui est énoncé dans les Fundamenta nova avec ce que Ton trouve
dans son mémoire de vérification, on arrive au même résultat;
on est conduit à la même conclusion, que, dans la rédaction du
dernier, il a mis à profit les Recherches d'Abel. Dans le mémoire
cité, contenant sa démonstration, Jacobi applique en réalité
l'addition aux fonctions elliptiques, c'est-à-dire l'addition sous la
forme qu'elle revêt au moyen de l'inversion. Il ne vise ici immé-
diatement aucun but indépendant, et il ne s'arrête pas à cet
objet. Il est plutôt aisé de voir que toutes ces considérations ont
pris une place secondaire, et qu'elles ne servent que de point de
passage dans sa démonstration. Dans les Fundamenta nova, Jacobi
attribue l'addition et la multiplication à Abel, sans revendiquer
cette addition, malgré son importance essentielle, comme une
chose à laquelle il serait parvenu indépendamment. Mais lorsque
ainsi, même par cette voie, il ne fait aucune réclamation au sujet
de l'inversion, cette idée fondamentale n'a pas été certainement
dans sa propre pensée. L'addition abélienne ne signifie rien, en
effet, sans l'inversion; car c'est jusqu'à Euler que remonte le
théorème d'addition pour les transcendantes elliptiques. Il n'est
donc pas douteux que Jacobi a eu les Recherches entre les mains,
qu'il les a étudiées et qu'il a profité de leurs ressources.

On ne pourra pas dire non plus que cette façon d'agir était une
renonciation par laquelle il abandonnait tout le mérite à Abel
comme au premier inventeur. Ce serait une abnégation peu
naturelle, et aussi Jacobi, dans son ouvrage fondamental publié
quelques années plus tard, revendique trop énergiqucment ses
droits, en omettant même souvent le nom d'Abel, pour que la
supposition d'une telle intention soit admissible.

138 NIELS-HENRIK ABEL. — | X.

Certainement Jacobi n'a donc eu aucune part dans Tinversion.
Mais quand môme, dans ses travaux préliminaires, il aurait em-
ployé une notation simplificative, coïncidant fortuitement avec
celle de l'inversion, il avait encore un long chemin à parcourir
avant d'arriver à y voir un vrai principe, même un principe d'une
importance exceptionnelle. Après de longues études méthodiques
et des essais attentifs, il dut être convaincu, avec une entière
évidence, que c'était là le vrai chemin à suivre. Sans la vue des
grands pays à conquérir, on n'a pas encore la découverte, mais
tout au plus sa possibilité lointaine.

Mais on rencontre encore d'autres lacunes essentielles dans le
mémoire de vérification de Jacobi, lacunes importantes, si l'on
voulait conclure de ce mémoire qu'à ce moment, sinon plus tôt,
il venait de fonder la théorie des fonctions elliptiques. Il y
manque ainsi cette utilisation du principe des imaginaires, reliée
avec l'idée de l'inversion de manière que la double périodicité
puisse en découler. En réalité, on n'obtient ici que la périodi-
cité simple, et il n'y a plus ainsi rien de nouveau, mais le
résultat est semblable à celui de la trigonométrie dans la forme
de l'expression, qui était calquée sur le modèle des notations de
Lcgendre. Sous cette forme trigonométrique on ne trouvait pas
encore la généralisation des fonctions circulaires, et moins encore
celle des fonctions exponentielles.

On ne pouvait pas non plus dire que des résultats comme les
précédents lui appartinssent; car tout ici est attribué par lui-
même à Abel d'une manière précise. Cela résulte, et bien d'autres
choses aussi, de la lettre de Jacobi à Legendre du 12 janvier 1828.

Cette lettre est d'une grande importance, et cela sous plusieurs
rapports en dehors de celui qui nous occupe. Jacobi, comme nous
allons voir, exprime sa reconnaissance des éloges que Legendre
lui a donnés; mais il n'ajoute sous une forme précise aucune
restriction aux paroles partant du cœur qui ont été prononcées à
sa louange en pleine Académie, bien que ces paroles continssent
une erreur, dans laquelle Jacobi, par son silence sur la vraie

Tni^:onÈMES de JAConr. 139

position (le la qurslioii avait fait tomber le vieux géomètre.
« Heureusement », avait dit celui-ci dans r^i communication
élogieuse, « renvoi de cette lettre y> (que Legcndrc avait eu
rinleniion, quelque temps auparavant, d'envoyer à Jacobi) (ca
été assez retardé pour que j'aie pu reconnaître que c'était moi qui
me trompais, et que M. Jacobi, sur ce point comme sur les autres,
avait complètement raison; et je l'ai reconnu avec d'autant
plus de plaisir que c'est un sujet dont je m'occupe depuis plus
de quarante ans, qne j'ai ainsi été surpassé par M. Jacobi, mon
émule. Ce n'est pas par induction », ajoute-t-il encore, «que
M. Jacobi est parvenu aux résultats qu'il a publiés; c'est par une
théorie profonde et infaillible, et à l'aide de deux théorèmes
entièrement nouveaux, qu'il a fait cette découverte, qui agrandit
considérablement la théorie des fonctions elliptiques » (suivant le
langage adopté aujourd'hui, il s'agit des transcendantes ellipti-
ques, la nomenclature ayant subi un changement depuis le temps
de Legendre), « et en fait une branche parfaite dans son genre, et
qui ne peut être comparée à aucune autre.

«Une principale conséquence entre une infinité d'autres qui
résultent de cette savante analyse», poursuit-il encore, «c'est que
la trisection de la fonction F, qui dépend en général d'une
équation algébrique du neuvième degré, se réduit à deux équations
du troisième; que la quintisection, qui est du vingt-cinquième
degré, se réduit à deux équations du cinquième; de sorte que
la considération des propriétés de notre transcendante sert à
résoudre des problèmes d'analyse algébrique d'une grande diffi-
culté et en nombre infini. »

Jacobi exprime sa gratitude en ces termes: a: Je chercherais
en vain à vous décrire quels furent mes sentiments en recevant
votre lettre du 30 novembre, et en même temps le numéro du
Globe qui contient la communication que vous avez bien voulu
faire à l'Académie des Sciences de mes essais. Je me sentis confus»
accablé de cet excès de bontés que vous m'avez eues, et du
sentiment que jamais de ma vie je n'en saurai mériter de pareilles.
Comment vous rendre grâce? Quelle satisfaction pour moi que

140 NIELS-HENRIK ABEL. — § X.

rhomme que j'admirais, tout en dévorant ses écrits, a bien voulu
accueillir mes travaux avec une bonté si rare et si précieuse!
Tout en manquant de paroles qui soient de dignes interprètes de
mes sentiments, je n'y saurai répondre qu'en redoublant mes
efforts à pousser plus loin les belles théories dont vous êtes le
créateur, d

On ne peut le nier, la position de Jacobi était difficile. Son
premier silence avait amené une conséquence inattendue et fatale;
en même temps il y avait pour lui beaucoup d'honneur mérité.
En présence de cela, et avec l'espoir de vaincre promptement les
difficultés, il lui devait sembler bien dur de repousser résolument
ces fausses apparences, qui enveloppaient de toutes parts ses
mérites réels. Et il succomba sous l'empire d'une forte tentation.

Il y a ici une étrangeté, qui se présente presque comme
étant plus qu'un pur hasard : — c'est maintenant Abel que Jacobi
nomme pour la première fois, et qu'il introduit auprès de
Legendre. En faisant usage de la notation dont il s'était servi
depuis qu'il avait écrit son mémoire de vérification, il explique à
Legendre des parties essentielles du contenu des Recherches I.
Et en suivant attentivement la marche de ses idées, on voit que
les passages de ce mémoire qu'il expose de préférence sont
précisément ceux qui pourraient avoir un intérêt pour ouvrir
rintelligence du passage du théorème primaire au théorème
secondaire^, dont il cherchait la démonstration, — mais une
démonstration aussi indépendante que possible de toute connexion
avec les découvertes d'Abel. Il cite entre autres un théorème fon-
damental d'Abel, comme il l'appelle, et c'était justement très utile
en ce sens pour Jacobi. Ce théorème est donc ici attribué par lui
à Abel. Mais plus tard, dans une lettre à Legendre, datée du
12 avril, Jacobi explique qu'il avait trouvé lui-môme ce théorème;
et que par là il avait été conduit à deviner son théorème com-
plémentaire. Ce dernier, très simple et si fondamental pour les
recherches de Jacobi, coïncide ainsi avec celui qu'il avait précé-
demment attribué à Abel,— mais à la condition qu'il fût dépouillé
de son costume d'inversion. Jacobi passe ensuite à la double

THÉORÈMES DE JACOltl. 141

périodicité, qu'il ne revendique pas pour lui-môme, et il expose la
division d'Abel, si im[)orlanle pour la théorie de la transformation;
après quoi il passe à la division de la lemniscate. Enfin il fait
remarquer chez Abel le passage au développement des fonctions
elliptiques en séries infinies, avec cette observation, qu'ici il
n'existe plus aucune difficulté.

Il ajoute ensuite : « Vous m'avez permis. Monsieur, de vous
communiquer l'analyse dont je me sers. Une démonstration
rigoureuse du théorème général concernant les transformations
s'imprime à présent dans le journal de M. Schumacher; elle vous
sera envoyée aussitôt qu elle sera imprimée. Mes recherches ulté-
rieures sont encore loin d'êtres finies, etc. y>

Avec ces paroles, qui éveillent chez Legendre l'idée que
Jacobi traiterait dans le journal de Schumacher et son premier et
son second théorème de transformation, Jacobi se tire mainte-
nant d'embarras à l'égard de son théorème complémentaire, qu'il
était pour Legendre aussi important d'approfondir que le théorème
primaire. A la place d'une courte explication des idées conductrices
de ces deux démonstrations — c'était là ce que demandait Legendre
— il lui arriva ainsi une longue exposition des théorèmes d'Abel,
et ensuite il lui fut promis une analyse, qui était en partie faite,
mais que l'on devait croire destinée à être prochainement complé-
tée dans le Journal. Finalement Jacobi profite de foccasion pour
exposer ses recherches concernant les équations modulaires, etc.,
après quoi il termine en renouvelant l'expression de sa reconnais-
sance : (( Adieu, Monsieur, daignez recevoir les respects les plus
profonds que m'inspirent la supériorité de vos lumières et la
générosité de vos sentiments. Jamais de ma vie je n'oublierai
cette bonté de père avec laquelle vous avez voulu m'encourager
dans la carrière des sciences. Votre dévoué serviteur, G. G. J. Ja-
cobi. » Immédiatement après on lit en postscriptum : a Le troisième
cahier du Journal de Crelle, que je viens de recevoir, ne contient
pas encore la suite du Mémoire de M. Abel {}). »

(*) Il s'agit de la suite des Recherches. La première partie avait été publiée dans
le 2« cahier du tome II du Journal, et il fut ajouté à la fui du mémoire que
l'article serait continué dans le prochain cahier, par suite le 3^

I't2 NIELS-HENRIK ABEL. — | X.

Mais quand maintenant l'inversion n'est pas revendiquée
comme un principe appartenant aussi à Jacobi; quand tout
indique que c'est un emprunt, qui ne joue d'autre rôle que celui
de simplifier la notation; quand la nouvelle addition, issue de
l'idée de l'inversion, est dans un autre endroit attribuée à Abel,
également sans aucune réclamation de la part de Jacobi ; quand
la double périodicité n'apparaît même pas; quand il en est de
même aussi pour la multiplication — qui est liée à la double
périodicité aussi bien qu'à l'addition d'Abel, — la multiplication
que Jacobi à plusieurs reprises reconnaît comme appartenant à
Abel; — quand, à plus forte raison, la division est absente aussi;
quand on ne rencontre pas davantage les développements en
séries des nouvelles espèces de fonctions — toutes choses en
réalité comprenant ce qu'il y a de plus fondamental, et qui, dans
la partie des Recherches publiée en septembre, se trouvent expo-
sées au grand complet; — quand les choses se sont passées
ainsi, — alors le mémoire de Jacobi relatif à la découverte des
fonctions elliptiques n'a pas été un fondement ^ mais seulement
un beau et important surhaussement de l'édifice.

Bien plus, malgré tout ce qu'il y a de fondamental introduit
dans ce mémoire et dans les notes et additions qui Tont suivi,
jusqu'à l'apparition des Fnndamenta nova; malgré tous ces élé-
ments empruntés aux Recherches, parce que Jacobi, tout en
traitant son problème de transformation, s'efforçait aussi de
donner des développements et des amplifications à des thèmes,
qui, quant à leurs bases, se trouvaient déjà exposés dans ce
mémoire d'Abel; malgré l'emploi fréquent qu'il était ainsi à
même de faire des ressources de son devancier, et malgré l'enchaî-
nement de plus en plus étroit qui s'opérait entre les idées et les
sujets à traiter des deux côtés, voici quelle était encore la position
réelle : de ces travaux de Jacobi, dans lesquels si naturellement
l'ordre méthodique, à partir des principes mômes, manque et
devait manquer — la nouvelle doctrine ne pouvait même se
dégager avec clarté.

On a de cela, en effet, un témoignage, l'attitude de Legendre
en face des découvertes dont il s'agit. Le vieux maître, pendant

TIIIOOUÈMES DE JACOIM. i4']

une longue suite (.rannées, s'était occupé de la tliéoiie des trans-
cendantes elliptiques. Son intérêt sétait fortement concentré sur
les recherches de Jacohi, phis rapprochées des siennes propres
que celles d'Abei. Aussi était-ce Jacobi qu'il étudiait de préfé-
rence, tandis qu'il ne faisait que peu d'elîorts pour pénétrer ce
qui chez A bel était une exposition de principes. Mais Legendre
voyait seulement ce qui était chez Jacobi, dans ces courtes notes
peu développées, c'est-à-dire tout ce qui existait, tant que l'on ne
confrontait pas avec les sources, et avant que les Fundamenta
nova n'eussent encore paru. Il y voyait traitée une suite de
problèmes élevés et ingénieux sur les parties transcendantes de
l'analyse mathématique, et cela par des procédés qui se rappro-
chaient intimement de son propre cercle de connaissances. 11 ne
s'apercevait pas, et il fut longtemps à s'apercevoir, qu'un nouveau
domaine de fondions s'était isolé de l'ensemble.

Mais ce défaut de clairvoyance était certainement bien moins
la faute de l'éminent penseur que Ton se plaît à le croire : cela
tenait plutôt à ce que tout se développait de telle manière qu'il ne
lui était pas possible de se faire un aperçu clair de ce que la
nouvelle investigation portait dans son sein, au moyen de ces
travaux sous forme de notes. Il n'avait pas non plus été possible
à Jacobi dans ses lettres de s'étendre avec assez de détails sur
cette question : de quelle manière, de la théorie des transcen-
dantes, s'était-il détaché une théorie des fonctions elliptiques,
analogue avec celle des fonctions trigonométriques? Le nom
d'Abel aurait été le seul à invoquer dans ce cas; car c'était une
œuvre d'Abel. Ou, en d'autres termes, l'introduction des fonctions
inverses était l'ère nouvelle, et — avec toute la certitude à laquelle
on puisse atteindre par la voie des conclusions — à l'apparition
de cette ère, Jacobi n'a pris aucune part.

Ce qu'il faisait, c'était de bâtir sur les anciennes fondations un
grand problème, et ensuite, avec l'aide des nouvelles idées créa-
trices d'Abel, de transporter ses recherches dans le domaine, main-
tenant créé, des fonctions elliptiques. En particulier, de son
mémoire de vérification, il n'en a fait rien de plus, et n'en
pouvait rien faire.

144 iMELS-HENRIK ABEL. — | X.

Le mérite de Jacobi a donc consisté — non pas à poser les
fondements — mais à exhausser rédifjce. En se rapprochant, par
un vaste effort de pensée, des découvertes abéhennes, il péné-
tra dans un nouveau cercle d'idées, puis il les remania dans le
sens de ses propres découvertes, et, à la fin, il les domina de
plus en plus, et leur ouvrit une entrée, quoique certainement
sous une forme plus étroite, qui pouvait offrir une plus grande
facilité à la majorité des lecteurs.

Nous ferons une dernière remarque.

Dans son mémoire du 18 novembre, où il introduit sa notation
de rinversion, Jacobi ne cite nulle part, avons-nous dit, le nom
d'Abel. Cette abstention de citer les origines lorsqu'il s'agissait
d'un objet d'une si haute importance, ou, en prenant les choses
au mieux, 5/ l'idée pouvait lui avoir appartenu en même temps,
ce procédé de ne pas s'expliquer d'une manière précise sur
l'indépendance de sa découverte et sur son droit de copropriété, —
tout cela constitue une manière d'agir que nous ne pouvons
considérer que comme une faute du jeune mathématicien.

C'était une faute semblable à celle qu'il commit lorsque, dans
les mémoires et les notes, peu considérables d'ailleurs en éten-
due et en nombre, qu'Abel a pu voir de lui avant sa mort, les
découvertes de celui-ci de quelque importance ne sont citées
jamais comme la source où Jacobi avait puisé. A plus forte
raison le géomètre de Konigsberg n'a pas désigné ces mêmes
découvertes de son devancier comme la vraie base sur laquelle
ses recherches, à leur début, étaient fondées pour une si large
part.

Et cela bien qu'en môme temps et à plusieurs reprises, il le
reconnaisse pour Legendre, comme il l'explique plus tard, quoi-
qu'assez incomplètement, dans ses Fundamcnta nova.

Cette omission de citer le nom d'Abel a été une faute, compa-
rable aussi à celle qu'il avait commise en n'indiquant pas à
Schumacher et à Legendre que ses théorèmes n'étaient qu'un
résultat de l'induction, et môme qu'un peu plus tard, en face de
réloge flatteur que lui décernait Legendre en pleine Académie, il

THI'ORÈMF.S DE JACOBf. \M]

laissait le vénérable savant dans la croyance que les théorèmes
étaient le résultat d'une analyse rigoureuse.

Mais on peut dire pour la défense de Jacobi, très jeune alors,
que, dans cette occasion, il n avait pu songer aux malentendus
qui pouvaient se produire par la suite. D'autre part, il n'aura pas
tout d'abord jugé nécessaire de faire remarquer que sa notation
de Tinversion dépendait de cette idée de Tinversion, qui était déjà,
lorsqu'il envoya à Schumacher sa démonstration, sous les yeux
de tous les lecteurs mathématiciens dans les Recherches, publiées
depuis deux mois.

Et, ensuite, le temps s'écoula, sans que le malentendu fût
redressé. Toute l'affaire fut oubliée.

14G NIELS-HEMUK ABKL. — | XI.

XI.

La théorie de la transformation d'Abel; elle est complète et
remonte à une époque plus ancienne. Comment elle a été
préparée, et comment elle prend place organiquement dans
un plan naturellement conçu; quel intérêt historique offre
ce plan pour le développement des recherches de Jacobi.

Ainsi, sur un point important, Jacobi ajouta quelque chose de
nouveau à la théorie provenant d'Abel, tant qu'il s'est agi de son
développement sur les fondements établis. Gela eut lieu en effet,
comme nous Tavons dit, au moyen de la théorie de la transfor-
mation elle-même, que, à Taide des représentations de l'inversion,
il transporta du champ des transcendantes dans celui des
fonctions elliptiques. La théorie de la transformation était en
elle-même une précieuse contribution à l'analyse de cette époque,
soit qu'il s'agisse de la forme donnée par Legendre à cette théorie,
soit qu'on transforme le résultat suivant la nouvelle forme. Par
son théorème d'induction du 2 août, par le suivant du 5 août,
joint à son mémoire du 18 novembre, Jacobi rendit de plusieurs
manières à la science mathématique, et en particulier à la
branche qui se développait maintenant avec rapidité, d'importants
services; et ici il prit en partie, dans un certain sens, les devants
sur Aboi.

La question se pose maintenant de savoir si Abel lui-même
était alors en possession delà théorie de la transformation comme
supplément à sa théorie; avec quelle étendue, dans ce cas, il en
était maître; ce qu'il publiait ou avait publié là-dessus, et à quel
temps cette publication avait eu lieu; enfin jusqu'à quel point les
publications d'Abel et de Jacobi empiétaient les unes sur les
autres.

A cela on peut encore joindre cette nouvelle question, à

TIII-ORIK nr. LA TFlANSrOUMAT[0\. \'kl

laquelle cepeiuîant ce n'est pas ici le lieu de répondre : Où en
était, au point de vue liislorique, le développement futur de la
théorie des fonctions elliptiques pendant tout le reste de Tinter-
valle qui précéda la mort d'Ahel?

Qu'Abel eût pénétré cette théorie de la transformation, attribuée
communément à Jacobi comme étant le premier; qu'il l'ait péné-
trée non seulement avec plus de généralité et de profondeur,
mais aussi bien longtemps avant son émule, c'est ce qui ressort
clairement de maintes circonstances. Nous nous bornerons dans
ce chapitre à produire une partie de ces preuves, et nous montre-
rons plus tard que les déclarations et môme une communication
d'Abel portent témoignage de ce fait.

D'abord on peut déjà reconnaître, d'après les Recherches^ dans
la première partie de ce mémoire publié en septembre, qu'il a eu
en vue d'une manière bien précise la théorie de la transformation,
comme un sujet qui devait venir à la suite. Dans la théorie de la
division, il se sert ainsi de la même expression fondamentale qui
constitue la base de la théorie de la transformation, théorie qui
devait suivre celle de la division et qui était réservée évidemment
pour la partie restante du mémoire. Bien plus, il désigne cette
expression, dans ces deux endroits, par le même signe de fonction
que la fonction elliptique principale, et avec cette nuance carac-
téristique, qu'il y ajoute ce que l'on pourrait appeler son indice
de transformation. Car cet indice n'est autre chose que celui qu'il
emploie plus tard, dans la théorie de la transformation, pour
désigner le module transformé.

Que le lecteur versé dans les mathématiques compare, pour
plus amples renseignements, les formules numérotées (68) et ((SO),
ainsi que le texte qui les accompagne, avec les formules corres-
pondantes (234), (235) et (236), dans la suite du mémoire. Qu'il
remarque de même comment, dans la démonstration du théorème
de transformation établi dans la dernière partie du mémoire avec
toute sa généralité, les passages d'une importance fondamentale à
la démonstration des expressions des fonctions (237) et (243)
peuvent être regardés comme immédiatement prescrits par ce qui

ViH NII-LS-IIENRIK M\Kl. — | XI.

est développé dans la remarque du texte accompagnant la for-
mule (80). Ici s'éclaircissent aussi toutes les questions, telles
que la formation de ce 1 — y dont parle Legendre.

Dans la marche des recherches d'Abel, en ce qui concerne
Tordre de publication et le plan que cet ordre recèle, il existe
en outre une particularité qui doit être remarquée attentivement
à cette place.

D'une part on trouve son mémoire de Freiberg (*), qui alors
était depuis longtemps livré à la publicité. Là étaient exposées des
idées ayant la parenté la plus étroite avec ce que Jacobi appelait
le principe de transformation,

Abel y traite, comme on le sait, une classe étendue d'intégrales
hyperelliptiques, tant qu'elles sont réductibles logarithmiquement.
Et si Ton imite de point en point et dans le même ordre la marche
des idées dans les deux ou trois premiers paragraphes, on arrive
sans beaucoup de difficulté, en essayant de généraliser la théorie
de la transformation, à ce principe de Jacobi. — Pour en déduire
ensuite par voie d'induction le théorème primaire de celui-ci, on
n'aura qu'à s'appuyer sur les anciennes méthodes.

D'autre part, nous avons dans la partie publiée des Recherches
l'exposition, bien ordonnée et bien régulière dans la marche, des
propriétés fondamentales des fonctions elliptiques. Et en particulier
ressort maintenant la dépendance claire et logique entre la théorie
de la division et la théorie de la transformation qui devrait la
suivre immédiatement. La suite du mémoire fut annoncée,
avons-nous dit, pour le cahier suivant du Journal.

Ainsi, pour cette théorie finale qui prend ici sa place dans
l'ordre naturel, tous les éléments étaient prêts, et en quelque

(1) Ce mémoire (VI du tome I" de l'ancienne édilion, et XI du tome I" de la
nouvelle) avait déjà paru dans le deuxième cahier du tome I*"" du Journal. On ne
connaît pas exactement la date de la publication de ce cahier. Mais, d'après une
lettre d'Abel à Hansleeu, datée du 12 août de cette année 1826, Abel dit qu'il y avait
alors trois cahiers publiés, et qu'il recevrait bientôt de Crclic les deux derniers.
Donc, comme il a été dit plus haut, avant le 12 août, et vraiscmbhihlomcnt pas plus
tard qu'en juillet, les mathématiciens allemands avaient pu étudier ce mémoire
d'Abel.

IMI^IOIIIK l)i: I.A TnANSronMAilON. 141)

sorte 1(3 plan d'opérations était aussi dressé, la démonstration do
tous CCS théorèmes destinés pour la partie restante étant préparée
dans son projet d'ensemble.

Kn bâtissant sur les principes posés au début du mémoire de
Frcibcrg, en se familiarisant ensuite avec les nouveaux fonde-
ments établis dans les RechercJics, et particulièrement en consa-
crant à la théorie abélienne de la nmltiplication et de la division
une élude attentive, les théorèmes de transformation qui se
présentent, même pour toutes les transformations rationnelles,
auraient pu être découverts sans trop grande difficulté et démon-
trés avec la rigueur nécessaire.

Cela se fût accompli toutefois encore plus naturellement, si,
au lieu de prendre son point de départ dans le premier mémoire,
celui de Freiberg, on Peut pris dans les Recherches, et que Ton eût
consulté le premier seulement pour achever la démonstration.
De cette manière — tant qu'on n'opère pas encore plus simple-
ment, en partant directement de l'idée de l'inversion — on suivra
au moins une voie simple et naturelle : on descend de la multi-
plication à la division, puis aux transformations, ainsi que l'avait
fait Abel.

On n'essaiera pas, suivant cet ordre d'idées, d'aller en sens
inverse, de monter, pour ainsi dire, par les facteurs artificiels
au résultat de la multiplication, résultat unique et complet, qui
est plus simple au fond.

Jacobi, dont les recherches et les idées avaient fixé en tant de
points divers leurs racines dans le champ d'Abel, trouva en partie
ces résultats, et en partie aussi il livra, le premier, leur démons-
tration à la publicité.

Les théorèmes appartiennent à une époque où la découverte
des fonctions elliptiques lui était inconnue. Ainsi l'influence
d'Abel, jusqu'à cette même époque, s'était bornée à cette impul-
sion que, chez un esprit comme Jacobi, devaient produire ses
idées et la grandeur de ses investigations. Quant à Jacobi, ce
jeune savant émincnt et toujours méditant, qui, comme il résulte

i:;0 NIELS-IIEMUK ADEL. — § XI.

de sa nature munie et aussi de ses propres afTiraialions, s'enfonça
avec tant d'ardeur dans les auteurs pour en tirer des inspirations,
— quant à Jacobi, qui venait de lire sans fruit les Exercices de
Legendre, ce devait ôtrc pour lui un puissant stimulant que de
voir se produire les idées si originales d'Abcl. Ces idées, il en prit
aussi, conime un collaborateur zélé, très promptement connais-
sance par les publications insérées dans le Journal de Crelle.
• La déuîonstralion — et nous ne parlons pour le moment que du
premier tbéorème de Jacobi, publié dans le Journal de Scbuma-
cber — appartient à l'époque suivante. C'est celle qui commence
avec la publication des Recherches^ le 20 septembre. Et alors
c est la base môme qui change, bien que ce changement ne soit
encore que partiel.

Maintenant la démonstration du théorème en question dans
sa partie essentielle a-t-elle été trouvée indépendamment des
Recherches, et s'est-elle ensuite uniquement transformée confor-
mément aux nouvelles conceptions? ou bien la dépendance vis-à-
vis des investigations d'Abel a-t-elle été plus grande? C'est ditficile à
dire. Mais, en tous cas, les Recherches, comme nous en sommes
convaincu, ont été utilisées avant que Jacobi fut parvenu à termi-
ner sa démonstration. Et la conséquence de cela a été que cette
démonstration, dans son plan et dans sa forme, s'est trouvée avoir
une remarquable ressemblance avec celle qu'Abel lui-même
présenta, mais plus tard, démonstration qui, nous pouvons le
dire, résultait nécessairement des préliminaires posés.

Et cette coïncidence n'était pas une conséquence forcée de la
nature des choses. C'était un résultat des études faites par
Jacobi sur le mémoire d'Abel, et du court intervalle dont il
pouvait disposer dans la situation où il s'était engagé, et qui lui
imposait l'obligation de publier une démonstration le plus promp-
tement possible. Dans sa lettre à Legendre du li juin 1829,
Jacobi dit lui-même, après avoir traversé auparavant tant de
phases embarrassantes, qu'a: Abel s'est servi du même principe,
de sorte que nos démonstrations sont au fond les mêmes. Vous

TIII^()I^I•: l)K l.A TIlANSFOr.MAilON. |f)l

êtes lo proiiiicr, Monsieur, » iijoule-t-il, «qui avez luonlrc qu'on
peiii s\mi passeï', en eirectunnt la substitution cllc-menie nu
moyen lio la résolution en Tractions simples. Aussi je n'ai pas
tardé à exposer dans mon ouvrage cette démonstration, qui vous
est propre et qui donne une excellente vérification. A présent^ jo
suis en possession d'un nombre assez grand de démonstrations
difiërenles. »

Nous disons ici, quand il s'agit de Jacobi, «la démonstration
do vérification, y) et malgré la grande ressemblance, nous no
nous servons pas, pour Abcl, de la même expression. Cela peut
paraître étonnant, mais ce n'en est pas moins une cbosc toute
naturelle. Car chez Abel, dans le mémoire môme, tout était
préparé d'avance, et l'enchaînement des idées est évident. Pour
Jacobi, qui ne peut toujours porter avec lui la base d'emprunt
dans une étendue suffisante et avec le développement nécessaire,
il se présente dans son exposition, quelque ingénieuse qu'elle soit
en général, quelque chose d'abrupt. Et c'est ce qui était inévitable.
Même un vétéran des mathématiques, comme Legendre, profon-
dément versé dans cette région de ses études, ne peut comprendre
par où Jacobi a été amené dans cette voie, et demande une
explication de l'idée conductrice.

Toutefois l'usage qui a été fait des Recherches pour suppléer ou
compléter cette démonstration du théorème de transformation
n'a pas certainement été restreint à établir, par l'adoption de l'idée
de l'inversion, une telle modification dans la forme extérieure de la
déduction et du résultat. Il y avait toutes raisons, lorsqu'il serait
fait quelque application des ressources présentes, pour soumettre
la théorie de la multiplication et surtout celle de la division à
une étude plus approfondie, et Jacobi n'a pu manquer de remar-
quer les importants secours qu'offrait cette dernière théorie.

A l'époque où Jacobi n'avait encore trouvé que son théorème
de transformation restreint du 13 juin 1827, il avait remarqué
une certaine liaison de ce théorème avec la trisection dans les
fonctions circulaires. Il pressentit l'existence d'une analogie entre

IrJ NIELS-IIENRIK ARF-L. — | XI.

les théorèmes de transformation d'ordre supérieur et les théorè-
mes de division généraux pour les fonctions en question, et il
parvint ainsi, par une ingénieuse induction, à obtenir le résultat
général. Après en avoir vérifié Texactitude, mais seulement sur des
exemples particuliers, il envoya, en août, cette découverte à
Schumacher et à Legendre, et peu après, celui-ci reçut aussi le
théorème complémentaire. Par une heureuse conjecture, est-il dit
plus lard, dans le môme aveu à Legendre, le 1^ avril 1828, il
avait trouvé la transformation complémentaire pour la multipli-
cation.

Mais sur ces entrefaites, alors que la démonstration demandée
par Schumacher était encore absente, et que Jacobi néanmoins
avait communiqué le même théorème et un autre de plus à
Legendre, théorèmes vérifiés seulement sur des exemples; il est
impossible de ne pas admettre que, quand les Recherches lui ont
passé sous les yeux — ce qui ne peut faire l'objet d'aucun doute, —
il s'est mis avec toute l'ardeur possible à étudier les théories
d'Abel sur la multiplication et la division. Là il a trouvé les
moyens les plus à sa portée pour faire la démonstration qu'il
cherchait et les meilleures indications pour les mettre en usage.

Jacobi remarque aussi, dans sa lettre à Legendre du 18 jan-
vier 1829, qu'Abel, dans son premier mémoire, avait passé « par
le médium des transformations)), sans ((soupçonner» toutefois,
ajoute-t-il, cette circonstance «dans le temps qu'il composa son
mémoire». Cette addition est incorrecte; mais nous pourrons
dire que l'assertion, dans son ensemble, témoigne que la présence
cachée de la transformation dans ce « premier mémoire » n'a pas
échappé à Jacobi.

Cependant il est encore une autre remarque à faire. L'existence
d'un post-scriptum, où la continuation des Recherches était pro-
mise à bref délai, n'avait pas non plus échappé à l'attention
de Jacobi. On le voit par sa lettre du 12 janvier 1828, où
il dit que la continuation du mémoire d'Abel a doit avoir été
publiée dans ces jours dans le cahier troisième dudit Journal ;
mais elle ne m'est pas parvenue encore.» Et à la fm de sa longue

TIlf.ORIE DE Î-A TRANSFORMATION. 153

lettre nialliéinaliqiic, vraiscml)labloincnt comrncncéo plus lot (\\\o,
le 15, il ajoute en post-scripliim : «Le troisième cahier du Journal
(le CrcUc, que je viens de recevoir, no contient pas encore la
suite du mémoire de M. Abcl ('). »

Jacobi savait donc qu'il ne sagissait que d'un seul mémoire.
Et il s\'tait exprimé aussi, à cette première occasion, d'une
manière complètement correcte, en parlant de (c la première
partie d'un mémoire ); et de « la suite du mémoire ». En d'autres
termes, on voit clairement qu'il était ici question d'un exposé qui,
de prime abord, ne fut pas regardé par Abel — et qui ne pouvait
l'être par qui que ce fût — comme un ensemble organique, avant
qu'il fût terminé. Môme si, pour la commodité, on eût parlé de
deux mémoires, ce qui n'aurait pu donner lieu à aucun malen-
tendu, Jacobi, plus que tous les autres, avait dû supposer qu'il
existait un lien, perceptible pour l'auteur, entre les théories de la
fin et ces grandes théories qui avaient été développées, avec tant
de soin et avec tant de profondeur de vues, dans la première
partie. La seule conclusion simple et naturelle eût été d'admettre
qu'au moins dans leurs fondements les théories restantes seraient
terminées, alors que le retour d'Abel en Norvège le forçait à
interrompre son travail — avec la promesse d'une reprise immé-
diate. Et rien ne pourrait être plus conforme au bon sens que de
penser que ce maître dans la théorie des transformations — c'est
ce qu'était Abel pour Jacobi en janvier 1829 — avait vu aussi clai-
rement que lui-même qu'il avait passé « par le médium des trans-
formations. »

De ce qui précède, il résulte — avec un très haut degré de
probabilité — qu'Abel doit avoir été en possession des théorèmes
de transformation pour les transformations rationnelles, au
moment où il rédigeait la première partie de ses Recherches,
pendant son séjour à Paris, et par suite vers la fin de 1826, ou
au moins pendant son séjour à Berlin, au commencement de

(') La date de publication de ce cahier était le 12 décembre 1827.

154 NIELS-HENIUK ADEL. — 1 XI.

1827. Mais avant de passer à des démonstrations encore plus
convaincantes qu on peut donner de ce fait, nous pouvons alléguer
un motif de vraisemblance, qui, joint au premier, n'est pas sans
valeur.

A cause de son voyage de retour, en avril ou, au plus tard,
dans les premiers jours de mai de la môme année 1827, il dut
donc interrompre son mémoire avant de Tavoir terminé. Comme
nous Tavons indiqué, il ajouta alors, en terminant la première
parti-e, que la suite paraîtrait dans le prochain cahier. Cette
promesse de continuer immédiatement, on peut se demander à
quoi aura-t-elle servi, si ce n'était pour annoncer cette même
théorie de la transformation qui fut exposée dans la suite, et qui
en fit la partie dominante? Les quelques feuilles où il donne une
application de sa théorie de la division à la lemniscate, et au sujet
desquelles, dès son séjour à Paris, Tannée précédente, il avait
fait une communication à Grelle, ne pouvaient former, évidem-
ment, à elles seules, la continuation d'un mémoire d'une si
grande étendue.

Abel — nous le répétons — a lui-même fait connaître claire-
ment que les deux parties des RecliercJies formaient un mémoire
unique.

Tiii':()i;ÈMi:s i:t I'1U)I'.ij':mi:s. iri;)

XII.

Théorèmes et problèmes. — Nouveaux travaux qui se prépa-
rent, et citation d'un livre manuscrit. — Conclusion à en
tirer.

La position d'Abel à son retour en Norvège ne lui permit pas
de donner tout de suite ce qu'il avait promis.

Il rentra dans sa patrie accablé de dettes. Sans pouvoir occuper
immédiatement aucune position, sans même obtenir quon lui
rendît la petite subvention de TÉtat sur laquelle il avait droit de
compter, sa famille enfin étant dans la gêne la plus étroite, il
était ainsi absolument dépourvu de tous les moyens de subsister,
sauf le peu qu'il pouvait gagner en reprenant ses leçons de trigo-
nométrie et de stéréométrie pour les candidats à V examen philo-
sophicum. Cette source de revenus était, de plus, bien peu
productive, comme il devait s'y attendre, dans le premier temps
après son retour. Il était donc abandonné à la bonté de quelques
amis, la haute science ne pouvant l'aider en rien et étant pour lui
plutôt un obstacle.

On ne voit donc guère comment il lui aurait été possible de con-
tinuer vigoureusement cette remarquable production, qui n'était
encore qu'à moitié achevée; et Ton comprend plus difficilement
encore comment il ait pu entretenir avecCrelle une correspondance
régulière, correspondance très volumineuse et de plus très chère,
comme l'exigeaient les envois fréquents de longs mémoires. Les
illusions une fois brisées, il ne pouvait plus être question pour lui
de communications régulières et de rapides envois pour un écrit
ayant une étendue aussi considérable que les Recherches. Pour
avoir une idée des difficultés à vaincre, dans la position où se
trouvait Abel, il suffit de remarquer qu'une lettre simple de

io6 MELS-HENRIK ADEL. — | XII.

Christiania envoyée seulement à Hambourg coûtait en monnaie
norvégienne 08 skillings (').

On remarquera aussi, en tant qu'il s'agit de publications
aussi considérables, un arrêt d'assez longue durée, finissant en
février de l'année suivante, avec l'envoi de la partie restante des
Recherche.^, Et c'était aussi vers cette époque que commença
une amélioration dans la situation désespérée d'Abel, qui était
maintenant en train de reprendre des articles qu'il avait laissés,
en quittant Berlin, dans les mains de Crelle, en môme temps que
la partie rédigée de son mémoire, ou bien de petits articles
envoyés par occasion, du temps où les frais de correspondance
étaient si gênants.

Durant cet intervalle, il n'y a que trois articles à signaler, et
ils étaient tous très courts.

Le premier est intitulé : ((Théorèmes et problèmes^, et il se
rattache, pour ce qui en constitue la partie capitale, à de très
hautes questions relatives à la transformation des fonctions ellip-
tiques. Cet article se trouve en rappDrt intime avec les Recherches^
surtout avec la partie finale de la Suite de ce mémoire. L'article
fut publié dans le 3® cahier du tome II, où Ton attendait alors
cette continuation; et la date de publication était le 12 décembre
18-27.

Après les a Théorèmes et problèmes» venait, dans le -4® cahier
du tome II, publié le 12 janvier 1828, un court mémoire
en allemand: (c Ueber die Functionen, welche der Gleichung
o{x) -4- 9((/) = 'ii^fy -f l/fx) genugthucn. d Dans ce mémoire,
relativement d'une moindre importance — en ce qu'il ne se rat-
tachait qu'à des recherches accidentelles, — il examinait si un
théorème d'addition spécial, que Ton rencontre, par exemple,
en traitant l'arc sinus, ne pouvait donner lieu à une générali-
sation.

Enfin on trouve une note sur le mémoire d'Olivier, qui se
rapporte à une question sur les séries. Cette note fut insérée au

{}) Environ 3 fr. 17 c.

THI^:ORÈMKS ET PHOIILÈMES. 157

1"^'' caliior du tome lll, dont la date de publication était le
25 mars 18^28.

Or ce qui historiquement est l'objet principal, c'est de détermi-
ner à quel temps le premier de ces articles fut remis à Grelle pour
être publié. Car, à cette époque, Abel a dû être en possession non
seuletnent de la théorie des transformations rationnelles, mais
encore des transformations algébriques. Il a donc dominé aussi
dans ses grands traits cette théorie finale, appartenant à un
traité complet et rationnellement exposé des nouvelles fonctions
elliptiques.

Il est fort difficile de décider d'une manière précise cette
question de temps, Abel n'ayant que très rarement ajouté une
date en publiant ses découvertes ou en écrivant des notes pour
son propre usage. Mais on peut chercher au moins deux limites
bien certaines qu'il ne faut pas dépasser.

Un premier fait dont on peut partir, c'est que le troisième, et
par conséquent le dernier des articles de la série en question, la
note relative au mémoire d'Olivier, a été envoyé au plus tard le
15 novembre 1827. On conclut, en effet, d'un livre manuscrit
qu'une esquisse de cette courte note a été composée beaucoup plus
tôt, et vraisemblablement en août ou septembre. Cela est conforme
aussi avec la date de publication du mémoire d'Olivier, le
5 juillet. Or, de ce point de départ on arrive à la conclusion, qui
n'est encore que probable, mais qui l'est à un très haut degré,
que le premier article de la série, qui fut publié longtemps
avant (dans le 3® cahier du tome II au lieu du l^"" cahier du
tome III), avait dû être expédié pour la publication à une occasion
antérieure au 15 novembre.

Nous nous bornerons, d'abord, à montrer qu'un envoi coïncidant
avec la communication du 15 novembre n'aurait que peu de
chances de possibilité.

D'après des renseignements que nous avons recueillis, une lettre
de Christiania pour Berlin, au milieu de novembre, ne pouvait
arriver dans cette saison à son lieu de destination avant dix jours.
Et probablement il eût fallu un temps encore plus long, sans

dî)8 NiKLS-HENRIK ABEL. — | XII.

tenir compte des retards qui étaient si souvent à craindre à cette
période de Tannée, pendant un voyage en partie par terre, en
partie par mer. Dans Tannée 1827, une communication par vapeur
avait bien commencé entre Christiania et Copenhague, mais elle
était déjà arrêtée à la fin de septembre. Si près de Thiver, les
routes le long de la côte étaient encore suivies pendant un mois,
mais toute communication avec Tétranger venait d'être rompue,
pour être reprise au printemps suivant. Il n'y avait donc rien à
gagner à ces améliorations modernes.

D'une lettre d'Abel expédiée de Vienne à Christiania entre le ^0
et le 30 avril 1826, on peut conclure, en outre, qu'elle est
arrivée à Berlin le 30 avril, à Stralsund le 4 mai, et qu'elle a été
reçue à Christiania le 13 mai, de sorte qu'entre Berlin et Chris-
tiania, via Stralsund, il se passa avant Tarrivée de cette lettre un
laps de deux semaines.

Donc, quant à la question de possibilité que les c; Théorèmes
et problèmes » eussent été remis à Crelle dans une lettre
expédiée le 15 novembre, ils n'auraient pu Têtre que vers la fin
du mois. Et déjà le 12 décembre paraissait ce troisième cahier
du Journal où Tarticle était publié. Nous ajouterons cependant
que cet article était très court et qu'il obtint sa place à la fin du
cahier.

Mais nous pouvons donner de notre assertion une preuve plus
décisive que la précédente et qui, en tout cas, combinée avec
celle-ci, mettra la chose hors de doute.

Quelque temps après la mort d'Abel, Crelle fit dresser une liste
chronologique des communications tirées de ses lettres. C'était
dans le dessein de les insérer dans le Journal, où elles furent
publiées dans le 5® tome. De cette façon, il fit copier six parties
distinctes appartenant à six communications diff'érentes. iMais le
copiste avait numéroté les communications d'une manière diffé-
rente de celle qui fut adoptée définitivement. On y trouve en
effet les six numéros originaires 2, 8, 12, 1G, 17, 2G. Puis un
changement a eu lieu, comme aussi la langue a été corrigée, en
vue de la prochaine publication. Crelle a, en outre, mis lui-même

thi':oui<:mi:s ht PuonLÈMi-s. ITiU

la date sous chaque communication, à rexccption de celle du
numéro 10. Celle-ci fut copiée, par erreur, comme étant publiée
depuis longtemps, et l'article lut donc rayé (').

Les articles "2, 8, h2, datés respectivement de Freiberg le
M mars 18^6, et de Paris le 9 août et le 4 décembre la même
année, sont écrits en allemand. Ainsi c'était la langue dont Abel
s'était servi alors dans ses lettres à Crelle; car on voit qu'il ne
s agit pas d'une traduction.

L'article 10 au contraire est écrit en français. C'est celui qui
contenait les dits «Théorèmes et problèmes»; c'est en môme
temps l'article rayé et sans date.

Puis vient l'article 17, écrit de nouveau en allemand, et daté :
Christiania, le 15 novembre 1827.

p]nfin il y a un long article où l'auteur adopte pour la seconde
fois la langue française. La date est ici : Christiania, le 18 octobre
1828, et il porte le numéro 20. Tous les derniers articles d'Abel
furent aussi publiés en français.

Or la seule chose que l'on puisse naturellement se tlgurcr,
c'est que les numéros primitifs se rapportent à Tordre des lettres
d'Abel à Crelle. Cependant nous ne pensons pas qu'ils indiquent
complètement chacun des renseignements écrits, quelque bref
qu'il fût, que pourrait avoir reçu ce dernier. De courts renseigne-
ments pouvaient être donnés quelquefois par Abel, sans qu'il lui
fût nécessaire d'écrire des lettres réglées et de se mettre en des
dépenses gênantes.

Pour faire voir qu'il ne manquait pas de facilités de cette
espèce, nous rappellerons aux lecteurs sa liaison avec Maschtnann,
dont nous avons fait mention à l'occasion de la lettre de félicita-
tions d'Abel à Holmboe. Maschmann, «notre constant porteur de
lettres, » était camarade d'école d'Abel, et bien qu'il n'appartînt

(') La raison pour laquelle on n'ajouta ici aucune date n'est pas, comme nous
nous étions ilguiê anléricurement, une conséquence de ce que l'article fut commu-
niqué à Crelle pondant le séjour d'Ahel ù Berlin et sans être extrait d'aucune lettre.
On ne peut donc rien conclure de cette circonstance ni en faveur de cette époque ni
contrairement.

100 MELS-HKNRIK ABEL. — | XII.

pas à la petite colonie des «jeunes savants voyageurs)), il était
lié avec ce cercle, et il demeura à Berlin, non seulement pendant
le premier séjour d'Abel dans cette ville, mais encore pendant le
second séjour. Or le père de Maschmann, professeur titulaire et
pharmacien à Christiania, était à cette époque en rapports
fréquents avec Hansteen, et il eut aussi des liaisons à Berlin.

Abel avait pu sans aucune gène faire parvenir de temps en
temps à Grelle de courts renseignements. On voit même qu'il y a
eu une certaine relation entre Maschmann père et Crelle; car ce
fut par lui, et non pas par Ilolmboe, que Crelle reçut la première
nouvelle de la mort d'Abel.

Nous ne pensons pas ainsi avoir quelque chose de complet, dans
le sens le plus rigoureux, exprimé par les numéros du copiste. Mais
il faut d'autre part supposer que Tordre des lettres proprement
dites, que Crelle avait reçues d'Abel, doive être exprimé par ces
chiffres; de sorte qu'on a une chronologie à laquelle on peut s'en
tenir.

Mais cela étant, il faut fixer lô temps de la communication
française n° 16 à une date antérieure au 15 novembre, date de
la communication suivante en allemand. Et il s'ensuit que les
((Théorèmes et problèmes» ont été remis à Crelle avant cette
date de YaïUomne de 1827.

Mais s'il faut rejeter l'hypothèse d'un envoi fait aussi tard que
le 15 novembre, on peut se demander à quelle époque remonte
alors l'envoi du premier article, celui qui a pour titre € Théorèmes
et problèmes». Faut-il reculer cette date jusqu'au départ de
Berlin, ou s'agit-il d'une date plus récente?

Nous ne voulons pas nous prononcer d'une manière décisive
sur cette question. Mais en supposant que la remise ne remonte
pas au temps du séjour à l'étranger, on sera porté à croire qu'elle
appartient plutôt à la première qu'à la seconde moitié de l'inter-
valle entre le 20 mai et le 15 novembre. Ici, il faut en convenir,
nous n'avons pas toujours pour nous fixer des dates aussi sûres

TIlftORKMKS ET PROBLÈMES. IGI

qu'auparavant. Mais les considérations suivantes feront, au moins,
de cette su[)[)osition une hypothèse très plausible.

Si Ton a égard à Tordre dans lequel se sont succédé les
diverses publications, il est naturel, en tenant compte des cir-
constances, d'en tirer des conclusions sur Tordre de remise des
pièces. I^our Abel, lorsqu'il lui devint impossible de remplir la
promesse faite au départ, il dut se préoccuper, dès que la
situation changea, de se mettre aussitôt que possible en commu-
nication avec Crelle pour Tinformer du retard de la continuation
annoncée. Alors il dut bien aussi se heurter aux dilïicuUés qui
l'entouraient, et en particulier à celles qui s'opposèrent quelque
temps à Tenvoi d'un manuscrit aussi considérable que cette suite
d'un grand mémoire, qui était attendue. Les circonstances, nous
Tavons dit, n'étaient plus les mêmes qu'au départ. Des tentatives
réitérées venaient d'être faites par TUniversité, et elles furent
encore continuées pour lui faire obtenir la restitution de son
stipendiiim. Mais ces négociations entre les autorités, qui traînè-
rent en longueur pendant plus de deux mois, ne donnèrent plus
que de très faibles espérances, et Ton dut fmir par y renoncer.
Il devait lui importer d'autant plus de faire parvenir à Crelle
aussitôt que possible un petit article au moins, comme témoignage
de reconnaissance, et pour satisfaire aux besoins du journal. Et
rien ne pouvait alors venir plus à propos que de donner un
spécimen des objets dont il devait traiter dans la partie restante
de son mémoire.

Joignons à cela qu'à partir du commencement du tome second
du Journal j il s'opéra un changement dans le plan de la rédaction.
Il fut maintenant permis aux collaborateurs de se servir de la
langue française, et Ton voulait ainsi étendre l'action du recueil
sous une autre rapport, en s'efforçant d'intéresser les lecteurs par
Tannonce des (c Théorèmes à démontrer et problèmes à résoudre y> .
Depuis ce moment, on trouve dans tous les cahiers des énoncés
provenant de Crelle lui-même et de ses collaborateurs, tandis que
dans le tome I on ne voit rien de semblable. Crelle surtout montra
ici un très grand zèle. Ainsi, dans le tome II, on ne rencontre

162 MELS-HENIUK AHKL. — | XII.

pas moins de douze petits articles de cette nature, tous de sa main

11 y avait aussi de bonnes raisons pour croire aux avantages
obtenus par un tel arrangement, et naturellement Crelle devait
tenir beaucoup à ce que l'on se conformât à cet utile perfection-
nement. Il y avait, en outre, tout l'intérêt de la première mise en
œuvre d'une bonne idée dans son Journal.

Abel, pendant son séjour à Berlin, devait être considéré presque
comme un corédacteur du Journal. Grelle faisait tous ses efforts
pour lui persuader de s'y fixer définitivement. H « le bombard;-iit
terriblement», et il lui avait proposé plusieurs fois de prendre la
rédaction. Abel, de son côté, qui désirait revenir et qui entre-
tenait un faible espoir d'acquérir une position à notre Université,
refusa, en dépit de Grelle, c: cet homme galant. y>

Il est donc impossible de croire que notre mathématicien,
homme de cœur et vivement attaché à Grelle, n'ait pas voulu
faire aussi de son mieux pour se conformer à ses désirs.

Tant que les énoncés ne surabondaient pas dans les cartons de
la rédaction, il était à penser qu'Abel essaierait de s'acquitter
de ces petites obligations, môme pendant son séjour à Berlin.
Mais surtout il dut avoir à cœur de lui fournir cette contribution,
bien accueillie lorsqu'il fut en retard avec ses travaux et qu'il
ne put tenir une promesse qui était importante pour l'avenir
du Journal. Et par ces ((Théorèmes et problèmes», envoyés de
bonne heure de Christiania, il faisait honneur à ses obligations.

Gomme une preuve de l'état très avancé où étaient déjà les
investigations d'Abel concernant la théorie des transformations —
et même bien avant le temps dont nous parlons, — nous citerons
un passage d'un livre manuscrit qu'il commença immédiatement
après son retour. Mais avant cela il faut parler d'abord de la
marche des recherches d'Abel pendant cet intervalle qui venait
de commencer. On verra, en même temps, quels furent les
travaux qui se préparèrent et à quelle époque ce passage remar-
quable doit avoir été écrit.

NOUVEAUX TRAVAUX. 163

Abcl reprit donc son travail, et, comme on le voit, il le conti-
nua pondant quelques semaines avec sa vigueur ordinaire. Mais
les espérances des premiers jours, qu'avaient dû lui inspirer les
clïbrts réitérés en sa faveur par TUniversité, devaient se changer
avant peu en une vive inquiétude, qui ne pouvait guère être
sans influence sur ses études et sur leur direction. Arrêté dans
sa libre action par les graves circonstances où il se trouva dès
lors, et qui bientôt allèrent encore en empirant, il semble
que peu à peu il retourna à ses études, et s'enfonça dans des
recherches qui Téloignèrent de son but primitif. Néanmoins elles
se rattachaient encore très visiblement au sujet qu'il avait à traiter
dans son mémoire inachevé. Rien aussi n'était plus naturel — si
réduit qu'il fût pour le moment à l'impuissance de publier ses
découvertes — que d'employer ses loisirs forcés à de nouvelles
études. Et c'est ce qu'il fit, comme il paraît, dans une vaste
étendue, avant de reprendre son travail de rédaction. On ne sait,
en effet, rien de sûr quant au temps de la reprise des Recherches j,
bien que l'on puisse suivre une série de travaux préparatoires qui
appartiennent à cette longue époque d'angoisse et d'attente.

Dans son livre manuscrit B de 178 pages grand in-folio, dont
Abel doit s'être servi pendant le reste de l'année, il commença à
composer un mémoire relatif au développement des puissances
de sinus et de cosinus; il voulut faire ce développement sans
aucune considération des imaginaires. C'était un sujet analogue
à celui qu'il avait traité à Paris, en étudiant la série du binôme.
Mais le sujet présentait aussi un certain rapport avec ses investi-
gations sur la division, qu'il avait poursuivies dans la première
partie des Recherches. Seulement c'était ici du cercle qu'il s'agis-
sait; il avait traité déjà, en partie, la division de la lemniscate.
Il avait mentionné alors cette division analogue à celle du cercle,
et il avait promis^ dans la partie suivante de son mémoire, de
donner plus de développements relativement au premier sujet,
plus difficile.

Il continua aussi, en réalité, de s'occuper des recherches
algébriques correspondantes, et il prépara de celte foçon son

104 NIKLS-HENRIK ABEI.. — § XII.

beau (( Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles
algébriquement. » C'était, d'ailleurs, un mémoire qui fut publié
très lard. Mais il fut envoyé de Christiania peu de temps après la
terminaison des Recherches, car la partie finale de celles-ci fut
remise à Crelle dans une lettre du 12 février 1828, tandis que le
mémoire algébrique en question, qu'il avait préparé dans la
même période, suivit le premier mémoire dès le 29 mars.

Ces recherches préparatoires d'Abel, dans son livre manuscrit,
s'étendent presque du commencement du livre jusqu'à la page 39.
Et dans les dernières pages, il dirige en particulier son attention
vers la division en 17 parties.

Mais à partir de ce point, les investigations ne marchent plus
d'une manière régulière. A la page 39, on voit quelques calculs
se rapportant aux équations modulaires. Puis, à la page 40, on
trouve ce passage éminemment remarquable dont nous avons
parlé, et auquel, du reste, nous reviendrons bientôt. Il est
intitulé : «Sur la transformation de l'intégrale. — Comparaison
des fonctions elliptiques relativement au module. »

Nous remarquerons, en passant, que ces lignes isolées, bien
qu'elles n'occupent qu'une seule page, se rapportent au grand
mémoire intitulé : a Solution d'un problème général concernant
la transformation des fonctions elliptiques » ; de même que les
recherches préliminaires qui les précèdent se rapportent au
mémoire algébrique en question. Ce travail (( Solution... » fut
aussi rédigé et expédié pour la publication peu de temps après,
savoir le 27 mai.

A la page suivante 41, Abel s'occupe de la division de la
lemniscate, sans pousser encore ces recherches au delà du
commencement. Il s'arrête de nouveau, et soudainement l'on
voit qu'après un travail régulier on est entré dans une période
d'irrégularité qui semble indiquer une interruption de travail
définitive. Cela serait d'ailleurs bien naturel vers la fin de juin
ou au commencement de juillet, la belle saison dans notre pays
septentrional, où le temps des vacances dure pendant le mois de
juillet et la première moitié d'août.

LES MANUSCRITS. 165

Il y a lieu de croire que dans la seconde moitié d'août, Abel a
recommencé ses travaux. On sait que, le 14 août, Abel n'était pas
absout de Christiania, et sans doute le mémoire d'Olivier, qui
parut le 5 juillet, était alors entre ses mains.

On voit maintenant qu'un travail régulier recommence. Il
examine le mémoire, fautif en un certain point, de ce mathéma-
ticien, et il fait dans son livre 13, page M ^ Tesquisse d'une note
pour le corriger. Il revient par la môme occasion à de nouvelles
études sur les séries et leur convergence, et il les continue long-
temps, non seulement dans ce livre B, mais aussi dans un autre
livre D, portant la date du 3 septembre 1827, d'une forme et
d'un caractère différents, où il s'occupa le plus souvent de recher-
cbes relatives à ces dernières questions.

Après cela le thème va changer, et l'on sent que, de plus en
plus, l'ordre et la régularité reprennent leur empire dans ces
travaux préparatoires. Cela commence avec la page 85, après
quelques leçons sur la trigonométrie. Abel fait ici quelques études
sur les fonctions elliptiques; mais, de nouveau, ce n'est pas des
études pour les Recherches qu'il s'agit. Il fait de grands préparatifs
pour un troisième mémoire fondamental, à côté du mémoire
sur les équations résolubles algébriquement, il prépare, en effet,
maintenant son dernier mémoire, le «Précis », laissé inachevé,
«d'une théorie des fonctions elliptiques. » Ce travail préparatoire
occupe un grand nombre de pages, de 85 jusqu'à 178, d'ailleurs
avec une interruption à la page 148, où il intercale un exercice
de trigonométrie pour ses élèves. Ce qui présente aussi un
certain intérêt, c'est qu'Abel se sert ici de la langue allemande.
Il intitule son ébauche de mémoire : « Versuch einer Théorie
der elliptischen Fimctionen ; ii> ce qu'il a changé ensuite, en
revenant à la langue française dans son «Précis».

Or ce qui nous fournit une nouvelle date, c'est qu'à la page 111
de cette ébauche on trouve la sommation d'une certaine série au
moyen des fonctions elliptiques. Et c'est de cette proposition que
parle Abel dans la lettre à Grelle, à la date du 15 novembre 1827.

166 NIELS-HENRIK ABEL. — % XII.

Après cette exposition de la marche des travaux préparatoires, à
la suite du retour et jusqu'au milieu de novembre ou encore plus
tard, revenons au passage dont nous avons parlé, relativement
à la transformation du module. On voit par là qu'il doit avoir
été composé non seulement beaucoup avant le 15 novembre,
mais certainement aussi antérieurement au 3 septembre. Con-
formément à la place d'une part, et d'autre part à la marche des
développements, comme aux caractères différents de ceux-ci
aux époques qui se succèdent, nous croyons qu'il est le plus
naturel d'admettre que le livre en question date de la fin de
juin. D'ailleurs à cause du contenu, où en particulier Abel parle
d'une découverte faite depuis longtemps, il n'a qu'un intérêt
secondaire pour la fixation plus précise de la date. Un mois plus
tôt ou plus tard ne peut pas changer sensiblement les conclusions
à en tirer.

Voici donc ce qu'écrit Abel, et nous ferons remarquer aussi
que les soulignements sont dus à l'auteur même.

€ Dans les « Exercices de calcul intégral », M. Legendre tran-
sforme la fonction elliptique (ici est insérée l'intégrale elliptique
dans la forme adoptée par Legendre) avec un module différent, et
il opère cette transformation en substituant à la place des sinus
une certaine fonction algébrique de cette quantité. M. Legendre
ne parle que de cette transformation, quoique il en existe une
infinité d'autres. Je suis parvenu à ce résultat en résolvant le
problème suivant :

» Trouver toutes les relations possibles entre c et c^ qui per-
mettent de présenter l'intégrale de l'équation séparée (ici est
insérée l'équation différentielle de transformation dans la forme
de Legendre) par une équation algébrique entre sin 6 et sin Gj.

» La solution complète de ce problème, que j'ai trouvée depuis
longtemps, m'a conduit à plusieurs résultats remarquables. Par
exemple, si deux fonctions elliptiques dont les modules sont res-
pectivement c et c^ peuvent se réduire l'une à l'autre en supposant

LES MANIISCKITS. 1()7

que les variables sin et sin 0, sont liées entre elles par une
é(juation al^^ébrique (juelconque, on peut toujours eiFectuer la
même transformation en supposant qu(j Tune de ees variables
est une fonction rationnelle de Tautre. Donc pour trouver toutes
les valeurs de c^ et de c, il sullit de substituer à la place de sin 0,
la fonction rationnelle la plus générale en si fi 0, et ensuite à
satisfaire à Téquation qui en résulte. »

168 NIELS-HENUIK ADEL. — | XIII.

Xlil.

Résumé de la situation pendant l'année 1827. — Caractère
différent des études d'Abel et de Jacobi.

Avant de passer à cette description de la lutte d'émulation qui
devait commencer bientôt entre Abel et le nouveau venu, Jacobi,
nous ferons un court résumé de la situation.

Nous nous occuperons, en premier lieu, seulement de ce qui,
n'étant pas encore publié, était au moins expédié des deux côtes,
en vue d'une publication, avant le 15 ou le 18 novembre.

On voit qu'Abel, par la remise à Grelle de la première partie
des Recherches, en avril ou en mai 1827, ensuite par une autre
communication à peu près du même temps et en tous cas
antérieure à celle du 15 novembre, — communication qui, le
plus vraisemblablement peut-être, a été expédiée de Christiania
vers la fin de juin, — qu'Abel, disons-nous, avait déjà donné la
preuve qu'il dominait dans ses grands traits la théorie entière
des fonctions elliptiques qu'il venait de créer, et la théorie des
transformations y était comprise, même celle des transformations
algébriques.

Sur un certain point, très important, mais encore sans rapport
avec la découverte des nouvelles fonctions, Jacobi avait réussi à
prendre les devants sur Abel. Il envoya en août aux Astronomische
Nachrichten des énoncés relativement aux transformations ration-
nelles, tandis que les mêmes propositions, généralisées d'ailleurs,
ne furent exposées par Abel que plus tard. Et néanmoins, Abel,
par ses Théorèmes et problèmeSj a montré qu'avant le milieu de
novembre il avait sur ce point devancé Jacobi de si loin, par sa
connaissance profonde de son sujet, que, même en cas d'une
remise dudit article à Grelle plus tard que le 2 août, date de

LA SITUATION F,N 1827. 1()0

renoncé de Jacobi, il ne pourrait etro question d'une égalité. Dans
ses Recherches, en outre, Abcl avait préparé sa tfiéorie des
transformations d'une manière évidente, comme d'ailleurs la
prcmine entrée dans cette théorie avait perdu toute sa difficulté
par la découverte de Tinversion et de la double périodicité.

La différence sera encore plus grande si Ton ne pense pas au
temps de l'envoi — en comparant la précipitation de l'un avec
la tranquillité insouciante de l'autre, — mais qu'on fixe son
attention sur l'origine de ces intéressantes propositions. Abel dit,
dans son livre manuscrit B, et, comme il est à croire, en juin
18^7, qu'il avait alors trouvé depuis longtemps la solution du
problème des transformations algébriques, et qu'il l'avait trouvée
dans sa plus grande généralité. Donc, bien qu'il fût prévenu
quant à la première publication de quelques propositions relatives
aux transformations, il avait approfondi, déjà, dans sa totalité, la
théorie des transformations elliptiques, et cela à une époque si
reculée qu'alors Jacobi n'avait pas fait encore le premier pas
dans ses découvertes sur ce terrain.

Quelle est précisément l'époque de l'origine des découvertes
d'Abel dans la théorie des transformations? On ne la connaît pas.
Ilansteen, en transmettant dans une lettre à Schumacher le
célèbre mémoire d'Abel «Solution, etc.,» — pour être publié
dans les Aslronomische Nachrichten, comme réponse à Jacobi
qui s'était servi d'abord de ce journal spécialiste, — dit même
qu'Abelj en mai 1828, était déjà depuis plusieurs années ^ dans
la théorie des transformations, en possession d'une méthode
plus générale que celle de Jacobi. La conséquence directe de
cette assertion, le mot «plusieurs » désignant nécessairement un
nombre plus grand que deux^ devait donc être que la découverte
remontait à une époque antérieure au voyage et finissant dans
l'été de 1825.

Plus encore : à Tépoque qui suivit immédiatement le retour,
ou certainement même avant le départ de Paris à la fin de
l'année 1826^ la théorie entière des fonctions elliptiques avait
été découverte par Abel, en tout ce qui était essentiel. Et c'est

170 NIELS-IlENniK AHEL. — | XIII.

cela qu'il avait annoncé à Holmboc en lui disant qu'il avait alors
achevé le plus important de ce qu'il a exposé depuis sur ces
fonctions.

Ainsi dès lors le travail était entré dans sa seconde période. Il
fallait revenir sur plusieurs points, sur de nouveaux détails et de
plus grands développements; il fallait simplifier les procédés et
corriger les démonstrations, où pouvaient se trouver des défauts
de rigueur. Enfin il s'agissait d'étudier, pendant de longues heures
de méditation, l'ensemble des phénomènes et leur enchaînement,
pour réussir à faire une œuvre simple et sans art, comme
une image d'après nature.

C'est là ce que devaient être les Recherches, et c'est ainsi qu'elles
devenaient ce chef-d'œuvre de simplicité. Son origine remontait
à une époque où aucune idée des découvertes fondamentales
qui se préparaient n'existait chez l'émule futur d'Abel. Et
pendant qu'Abel continua en bon ordre son travail de description,
arrêté ensuite soudainement par les pénibles circonstances qu'il
eut à traverser après son retour dans sa patrie, pendant qu'il fut
réduit ainsi pour longtemps, à faire pressentir seulement, par un
court article, qu'il était le possesseur incontestable et libre de
tout le nouveau champ qu'il avait ouvert pour la science, —
pendant cela, Jacobi entra en scène, et compléta par ses belles
recherches la théorie des transformations de Legendre, à laquelle
il donna ainsi un haut degré de perfection.

Néanmoins^ à cette époque, [Jacobi, qui fut le premier à
exposer une partie essentielle de la théorie des transformations,
relativement aux intégrales elliptiques, c'est-à-dire relativement
aux fondions non encore inverses, était bien loin de pouvoir
pénétrer profondément — comme le faisaient Abel et Gauss —
cette même partie de la science. Alors c'étaient aussi ces deux
hommes seulement qui connaissaient les grands secrets cachés
dans les fonctions inverses. Mais déjà, le mois suivant, elles
pouvaient être étudiées dans les Recherches.

CARACTÈRE DES I^^TIIDES d'aREL KT DE JACOIU. J71

Le 18 novombrc, date du mémoire de vérification de Jacohi,
la situation change.

La proposition principale énoncée en août fut démontrée.
CtHle proposition, conjointement avec la proposition complémen-
taire communiquée h liOgendre, et ensuite par celui-ci à l'Aca-
démie des Sciences de Paris, forma une partie importante, mais
encore incomplète, de la théorie des transformations rationnelles,
transformations auxquelles s'étaient arrêtées jusqu'à ce moment
ses études.

La proposition principale, telle qu'elle se présente dans le
premier article de Jacobi dans le journal de Schumacher, ou dans
la lettre à Legendre, porte encore l'ancien vêtement; elle se rattache
aux intégrales. La même proposition, telle qu'elle se présente au
contraire dans le mémoire de vérification de novembre, après
l'apparition des Recherches en septembre, indique la jonction des
découvertes de Jacobi avec les idées fondatrices d'Abel. Mais le
théorème complémentaire garde toujours une forme représentant
la période Legendrienne, période qui est sur le point de faire
place à une ère nouvelle.

Si d'un autre côté, pour ce qui regarde Jacobi, on remonte de
plus en plus haut, et qu'on demande quelle est la date de nais-
sance de ses découvertes, on s'arrête à une époque plus tardive,
mais aussi mieux déterminée que pour Abel. Car la première
réussite — d'où découlaient ses théorèmes du mois d'août — eut
lieu en mars 1829 avec sa découverte du principe de transforma-
tion; et cela le mena d'abord à son succès, encore relativement
très mince, en juin, puis à ses propositions plus générales, et
d'une si grande portée.

Abel appartenait à un petit pays, situé loin des grands centres
de la science, et difficilement en rapport avec les pays populeux
et très anciens du continent. Chez nous, après plusieurs siècles
d'impuissance, l'indépendance nationale vint à être regagnée; et
avec l'esprit de la liberté une nouvelle vie commença et se fit

172 NIELS-IIENRIK ABEL. — | XIII.

sentir bientôt dans presque toutes les directions. Quelques années
plus tôt, après de grands efforts, on avait réussi à fonder une
Université dans la capitale. Celle-ci était alors, et elle resta
encore quelque temps une petite ville avec ses dix ou quinze
mille habitants. Et comme il fallait s'y attendre, il ne pouvait
être question, au commencement, de très hauts professorats dans
les sciences abstraites.

Abel, même s'il l'avait voulu, n'aurait pu passer par tous les
degrés et tous les examens par lesquels doivent monter, comme
règle, les jeunes gens qui désirent de s'habiliter pour les sciences.
Pour qui voulait se perfectionner dans les mathématiques, le seul
chemin à suivre dans l'Université devait être de faire des études
pour la science des mines. A ces études étaient jointes quelques
connaissances dans les hautes mathématiques, mais d'ailleurs
d'une étendue peu considérable. Dans de telles circonstances, il
ne pouvait naturellement être question d'études pour le doctorat;
il n'y avait pas non plus, à notre Université débutante, de séries
de leçons libres et plus transcendentales, destinées aux jeunes
savants.

Mais de telles circonstances, défavorables pour le développement
moyen de la science, ne le sont pas toujours, pour les hommes
d'élite, à un si haut degré qu'on serait tenté de le croire. Toutefois
il faudrait, pour réussir, que les moyens d'instruction ne man-
quassent pas, quand ils n'étaient pas représentés d'une manière
satisfaisante dans les cours réguliers. Dans la bibliothèque de
l'Université (nouvellement fondée) il y avait au moins quelques
bons livres, et il y en avait assez, soit qu'il s'agît, pour quelqu'un,
de faire sa première entrée dans la science, guidé par un auteur
consciencieux qui se borne à une exposition claire des plus utiles
principes; soit qu'un étudiant plus avancé dans ses études voulût
monter plus haut et faire connaissance avec les hommes supérieurs
de la science, qui ont conlribué le plus fortement à reculer ses
limites.

De cette manière, Abel s'édifia de bonne heure, pour ses inves-
tigations de l'avenir, une base solide, comme il n'arrive peut-être

CARACTÈRK DES ÉTUDKS d'aMRL KT DR JACOIII. 17'J

que raroinont. Holinboe, qui originairement le guidait dans son
choix ot qui (iiiit bientôt par étudier avec lui comme avec un
condisciple, était pour un esprit comme Abel le meilleur maître
quon pût imaginer. Sans être richement doué, il représentait
à un haut degré, nous pouvons le dire, la conscience scientifique.
Et même un certain défaut de facilité dans les explications
orales, défimt qui devait obliger Abel à faire de plus grands
efforts, et devenir finalement un avantage plutôt qu un danger. Il
donnait assez d'explications pour conduire à la possession complète
de l'objet d'étude.

C'étaient aussi toujours les auteurs les plus clairs et les plus
profonds qu'ils étudiaient ensemble, et que plus tard Abel
approfondit tout seul. C'étaient Euler et Lagrange, et surtout
c'était Lagrange.

Dans un de ses livres manuscrits, Abel, vraisemblablement
dans une citation prise au hasard chez un auteur, a aussi accen-
tué la justesse de cette manière d'étudier. On y lit en langue
française : « Si Ton veut savoir comment on doit faire pour
parvenir à un résultat plus conforme à la nature, il faut consulter
l'ouvrage du célèbre Laplace, où cette théorie est exposée avec
la plus grande clarté et dans une extension convenable à l'impor-
tance de la matière. Il est en outre aisé de voir qu'une théorie
écrite par M. Laplace doit être bien supérieure à toute autre
donnée des géomètres d'une classe inférieure. Au reste, il me
paraît que si Ton veut faire des progrès dans les mathématiques,
il faut étudier les maîtres et non pas les écoliers. »

L'esprit avec lequel ces œuvres classiques de la science furent
lues et pénétrées par Abel était aussi celui de son premier
instituteur, son père. On raconte de lui, dans une biographie,
qu'il exigeait (( que tout fût compris si clairement que l'on pût,
pour ainsi dire, le saisir avec les mains. »

Abel lui-même, d'après la tradition, attribuait le manque de
réussite dans les mathématiques, en premier lieu à des connais-
sances imparfaites des éléments et des principes.

174 NIELS-HENRIK ABEL. — | XIII.

L'auteur de cette biographie adressa, dans Tannée 18/^9, une
lettre à son ancien maître, Ilolmboe, pour lui demander des
conseils afin de pouvoir continuer ses études mathématiques.
Ilolmboe dit, au commencement de sa réponse, que comme le
meilleur guide à citer, il voulait faire connaître quelques notes sur
Lagrange et quelques remarques de celui-ci, concernant cette
étude. Il les avait trouvées, environ trente ans auparavant, dans
le journal de Lindenau et Bohnenberger, et alors il les avait
copiées.

Ce qui est ici d'un grand intérêt, c'est qu'il sagit des règles
que Holmboe lui-même avait adoptées et qu'il recommanda,
comme maître du jeune Abel, pour le guider dans l'étude des
mathématiques. On se rappelle qu'Abel entra à l'école cathédrale
de Christiania dans l'année 1815, et que Holmboe y fut placé
dans l'année 1818. Peu de temps après commencèrent leurs
éludes en commun. Mais en remontant les trente années de
l'époque où fut écrite ladite lettre, on arrive à l'année 1819 qui
doit être environ l'époque en question.

Holmboe continue maintenant en faisant observer que dans la
notice mentionnée il est dit de Lagrange :

(( Il s'effrayait pour ceux qui aspiraient à des véritables succès
dans rétude de l'analyse, des progrès immenses qu'elle avait fait
depuis le temps de ses premiers travaux. Il disait une fois avec
celte naïveté qui ne le rendait pas inoins intéressant que son
génie, et en montrant une pile d'ouvrages modernes déposée sur
la table : (c Je plains les jeunes géomètres qui ont tant d'épines à
avaler. Si j'avais à recommencer, je n'étudierais pas; ces gros
in-4'' me feraient trop peur.» Il ajouta peu après : a On aura
beau faire, les vrais amateurs devront toujours lire Euler, parce
que dans ses écrits tout est clair, bien dit, bien calculé, parce
qu'ils fourmillent de beaux exemples, et quil faut toujours
étudier dans les sources. »

» Sa grande réputation l'exposait à être souvent consulté par
ceux qui voulaient faire des progrès dans la géométrie, et qui
pensaient, avec raison, qu'il pourrait aisément leur indiquer la

coNSKii-s 1)1-: i.a<;iia.\(;k ai;x jf.unks r.f^ioMKir.F-s. i7îi

meilleuro direction à imprimer ù leurs travaux. Mais il aimait
peu à donner des conseils de ce genre : il avait si parfaitement
étudié seul et sans guide qu'il croyait de bonne foi les autres
aussi heureusement nés que lui. Sa réponse ordinaire était qucn
géométrie il ne faut pas de maître et qu'on n'apprend rien que ce
qu'on apprend soi-môme, ou quand on insistait: <r Étudiez Euier,
et attachez-vous à résoudre tous les problèmes que vous rencon-
trerez; car en lisant la solution d'un autre, vous n'apercevrez ni
les raisons qu'il a eues pour se tourner de tel ou tel côté, ni les
dillicultés qu'il a trouvées sur son passage. y>

» Un jour qu'il m'entretenait de cette répugnance à donner des
directions et à conseiller une manière d'étudier plutôt qu'une
autre, il la rapporta à ce qu'il n'avait jamais eu de maître ni de
compagnon dans ses travaux, en sorte que les occasions de
traiter ce sujet lui ayant manqué, il n'en avait point l'habitude.

)) Ce n'était pas» , continua-t-il, a. que je n'eusse pu en parler tout
comme un autre; car je crois avoir bien réfléchi de bonne heure
sur la meilleure marche à suivre dans l'étude de l'analyse, et je
m'en étais fait un certain nombre de principes que j'ai toujours
fidèlement suivis et que je vais vous citer :

y> Je n'étudiais jamais dans le même temps qu'un seul ouvrage;
mais s'il était bon, je le lisais jusqu'à la fin.

)) Je ne me hérissais pas d'abord contre les difficultés, mais je
les lisais pour y revenir ensuite vingt fois s'il le fallait; si après
tous ces efforts, je ne comprenais pas bien, je cherchais comment
un autre géomètre avait traité ce point-là.

y> Je ne quittais point le livre que j'avais choisi sans le savoir,
et je passais tout ce que je savais bien quand je le rencontrais de
nouveau.

» Je regardais comme assez inutile la lecture de grands traités
d'analyse pure : il y passe à la fois un trop grand nombre de
méthodes devant les yeux. C'est dans les ouvrages d'applications
qu'il faut les étudier : on y juge de leur utilité, et on y apprend
la manière de s'en servir. Selon moi, c'est aux applications qu'il
convient surtout de donner son temps et sa peine; et il faut se

176 NIELS-IIENRIK ABEL. — | XIII.

borner en général à consulter les grands ouvrages sur le calcul,
à moins qu'on ne rencontre des méthodes inconnues ou curieuses
par leurs usages analytiques.

)) Dans mes lectures, je réfléchissais principalement sur ce qui
pouvait avoir guidé mon auteur à telle ou telle transformation ou
substitution et à l'avantage qui en résultait; après quoi je cher-
chais si telle autre n'eût pas mieux réussi, afin de me façonner à
pratiquer habilement ce grand moyen de l'analyse.

D Je lisais toujours la plume à la main, développant tous les
calculs et m'exerçant sur toutes les questions que je rencontrais;
et je regardais comme une excellente pratique celle de faire
l'analyse des méthodes et môme l'extrait des résultats quand
l'ouvrage était important ou estimé.

y> Dès mes premiers pas j'ai cherché à approfondir certains
sujets pour avoir occasion d'inventer, et de me faire autant que
possible des théories à moi sur les points essentiels, afm de les
mieux graver dans ma tête, de me les rendre propres, et m'exercer
à la composition.

» J'avais soin de revenir fréquemment aux considérations géo-
métriques, que je crois très propres à donner au jugement de la
force et de la netteté. .

)) Enfin je n'ai jamais cessé de me donner chaque jour une
tâche pour le lendemain. L'esprit est paresseux; il faut prévenir
sa lâcheté naturelle et le tenir en haleine pour en développer
toutes les forces et les avoir prêtes au besoin; il n'y a que l'exer-
cice pour cela. C'est encore une excellente habitude que celle de
faire, autant qu'on le peut, les mêmes choses aux mêmes heures,
en réservant les plus difficiles pour le matin. Je l'avais prise du
roi de Prusse, et j'ai éprouvé que cette régularité rend peu à peu
le travail plus facile et plus agréable. »

((Ces règles», continue ici Holmboe dans sa lettre, «chacun
se trouvera certainement bien de les suivre. Ce que Lagrange,
dans son temps, disait d'Euler s'applique bien à Tépoque présente,
à cause du progrès de la science, encore mieux à Lagrange lui-
même, mais dans un degré plus haut encore à Cauchy, ce grand

CAUSE DES SUCCÈS d'aREL. 177

réformateur des mathématiques Outre Caucby, surtout Al)(3l

et Jacobi méritent irètre étudiés avec soin, i)

Mais les vraies sources de la grandeur à laquelle arriva Abel
comme investigateur ne doivent pas ôtre clierclK'es seulement
dans un génie supérieur, aux mains duquel étaient tombés les
moyens de recherches les plus puissants. Les circonstances de
sa vie Tout forcé de vivre, au point de vue scientifique, comme un
solitaire parcourant ses propres chemins, et lui ont facilité singu-
lièrement l'avantage de rester dans la plus pleine concordance
avec soi-même. En poursuivant ses idées, il travailla donc en
silence et avec la patience infatigable d'un investigateur qui veut
faire une œuvre consommée et complète.

A cause de ces mêmes circonstances et à cause aussi d'un trait
bien prononcé de son caractère, il n'était pas non plus bien forte-
ment tenté de s'en écarter, et il n'y avait rien qui divisât ses efforts.
Il n'était pas préoccupé d'un ardent désir d'obtenir la bonne pro-
tection des hautes autorités scientifiques, ni même d'acquérir
de bonne heure un nom honoré comme mathématicien. Dans les
premières années, où furent posés déjà en grande partie les
vastes fondements de ses théories, il était même presque sans
liaisons avec ses contemporains du continent et avec leurs
recherches. Plus tard, il se lia avec Grelle; mais ce n'était que
comme ami et collaborateur de son Journal. Vers la fin de
sa vie, à une époque qui n'a guère duré beaucoup plus d'une
année, il fut forcé par le début de Jacobi de changer un peu ses
plans. Mais alors tout était prêt pour leur réalisation complète.

Ainsi, vivant au milieu de ses propres idées et pour elles seules,
il marcha toujours droit dans le même sens. Toutes ses forces,
il les dirigea vers un seul but, tirant les meilleures et les plus
vastes ressources bien plus en se concentrant dans les profondeurs
les plus cachées de son être, que dans une étude inspiratrice
des auteurs contemporains.

178 NIRLS-HKMUK ABEF.. — | XllI.

Il existe de certaines analogies dans le développement de .lacobi
et celui d'Abel durant les premiers temps de leurs études. On voit
que, de bonne heure et dès Técole, ils ont commencé tous les deux
par l'étude des œuvres des grands maîtres, celles d'Euler et de
Lagrange. Nous avons fait remarquer que Jacobi s'est occupé aussi
dans sa jeunesse du problème de la résolution de l'équation du
cinquième degré, sans continuer cependant d'étudier cette difficile
question avec le même acharnement et le même succès qu'Abei.
Mais son intérêt ne pouvait guère se concentrer à la longue
fortement et exclusivement autour des œuvres des grands auteurs,
comme c'était le cas pour Abel. Le géomètre allemand vivait
dans des circonstances essentiellement différentes, et il se trouva
donc sous l'empire de nécessités et d'exigences d'une tout autre
nature.

Pour lui, comme pour le grand nombre des jeunes adeptes de la
science, il dut se présenter, cela va sans dire, des avantages inap-
préciables dans toutes ces institutions, et nous pouvons même dire
dans toutes ces mœurs scientifiques, développées pendant le cours
des siècles, dans leur ancien pays. De plus, pour lui comme pour
tant d'autres, dans de pareilles circonstances, il s'était rencontré
de bonne heure des occasions d'entrer en relation avec les
grands hommes de l'époque et d'obtenir la protection précieuse
de leur autorité; Jacobi, beaucoup plus tôt et plus intimement
qu'Abei, se mit aussi en communication avec Legendre, et il eut
la bonne fortune de faire la connaissance personnelle de Bessel,
qui exerça sur lui, comme le raconte Dirichlet, la plus puissante
influence.

Jacobi, l'éminent écrivain futur, devait naturellement aspirer
à obtenir une place dans une des Universités de l'Allemagne, et
avec ses grands talents, avec « l'inépuisable trésor de connais-
sances » qu'il avait su acquérir de très bonne heure, ses plus belles
espérances devaient être légitimes. 11 avait au moins en ce sens
un grand avantage sur Abel, qui, en récompense de toutes ses
hautes études, n'aurait jamais obtenu vraisemblablement une
position à T Université.

CAHACTiniR niFFl^lRENT nKS l'TlJDF.S i/aHF.L FT DF JACOItl. |71)

Mais cola fut nnssi iino nouvelle source d'inflopcndanco pour
les (H\i(les d'Ahcl, laut 4110, [wir luie petite subvention de TEtai,
il fut mis en position de continuer ces études qui s'étaient
montrées si Iructueuses. Jacobi devait s'arranger d'une autre
manière; il lui eût été très dangereux certainement dans de
telles circonstances de se mouvoir aussi librement qu'Abel; il ne
lui fallait pas alors dépenser ses riches facultés et son savoir si
étendu et si varié dans de longs travaux d'attente et de résignation
qui auraient exigé les grandes investigations, au plus haut degré
désintéressées.

Abel, appuyé sur ses études des grands maîtres, partit de ce
problème, stérile en apparence, qu'il avait, étant écolier, cherché
comme Jacobi — et peut-être comme une foule de jeunes savants,
— la résolution de l'équation du 5^ degré. Après cela, vinrent les
études sur les intégrales, surtout les intégrales elliptiques et les
intégrales d'ordre encore plus élevé; c'était un nouveau commen-
cement auquel avait donné lieu la réponse de Degen, quand celui-ci
avait dû rejeter le résultat d'écolier présenté par Abel. Dans le
résultat également impossible du savant professeur, il y avait
pour un esprit comme Abel un germe fertile, conduisant au théo-
rème d'addition avec ses innombrables conséquences. Mais plus
tard tout cela se réunit en quelque sorte dans un vaste et unique
problème, 011 les découvertes algébriques formèrent le principe
qui pénétrait tout.

Abel, après ses premiers échecs, tint donc toujours ferme sans
se décourager, et continua à marcher dans la même direction.
Mais au lieu de chercher d'après l'ancienne manière en essayant
de trouver des solutions là o\j peut-être aucune solution n'existait,
il prit une autre route qui infailliblement devait conduire au
moins à des résultats, et par ce moyen il parvint à circonscrire
et à étendre son problème ou les problèmes partiels dont celui-ci
était composé.

11 se détermina à donner au problème une forme telle qu'-il fût
toujours possible de le résoudre, ce qu'on peut faire d'un problème
quelconque. Au lieu de demander une relation dont on ne sait

180 NIELS-HENRIK ABEL. — | XIII.

pas si elle existe ou non, il faut demander si une telle relation est
en effet possible. Par exemple, dans le calcul intégral, au lieu de
chercher, par une espèce de tâtonnement et de divination, à
intégrer les formules différentielles, on doit plutôt chercher s'il est
possible de les intégrer de telle ou de telle manière. En présentant
un problème sous cet aspect, renoncé même contient le germe
de la solution, et montre la route qu'il faut prendre (^).

De cette façon, par une espèce de reconnaissance méthodique
du terrain ou par une suite d'expériences réglées, après un
travail solitaire, dont l'existence était inconnue pour le monde,
il finit par préparer ses grandes théories nouvelles qu'il fallait
ensuite développer et finalement exposer.

Mais il voulut le faire, s'il était possible, et comme c'était son
désir souvent exprimé, dans une œuvre régulière, plutôt que dans
une série de mémoires détachés, mieux appropriés à des sujets de
détail et de petite étendue, chacun formant à lui seul une
unité.

Pour Jacobi, il devait être plutôt dans ses intérêts d'abandonner
les problèmes de sa jeunesse, comme la résolution de l'équation
du 5® degré, qui certainement devait résister longtemps c\ tous
les efforts, et vraisemblablement ne pas lui donner plus de résul-
tats qu'à tant d'investigateurs éminents qui l'avaient tentée avant
lui. Au lieu donc de se jeter dans des entreprises aussi incertaines
que celle-là et les autres de même catégorie, il pouvait employer
ses riches et puissants talents avec fruit pour la science, avec
honneur et avantage pour lui-même, en se posant des problèmes
mieux déterminés et à des hauteurs plus accessibles, et en même
temps plus rapprochés du centre de la science, telle qu'elle était
au temps oii il vivait.

Il existait un grand nombre de questions propres à cette époque,
qu'on pouvait se poser à cause de leur caractère, avec la certi-
tude de les résoudre, comme cela réussissait pour Abel, en

(*) Voir l'introduction au mémoire inachevé : Sur la résolution algébrique des
équations. {Œuvres complètes, tome il.)

CARACTÈRE DIFFi^lRENT DES ETUDES d'aBEL ET DE JACOBI. 181

essayant avec sa méthode do pénétrer profondément dans un pays
nonvoau. Il y avait des travaux de détail, dos travaux de dévelop-
pement et d'anjplification; on pouvait passer de certaines questions
connues à dos questions contij^uës et analoi^ues; on pouvait
essayer de modifier ou de simplifier les anciens procédés. Et
surtout on examinant soigneusement tout ce qui se produisait
de nouveau, et en s'associant vigoureusement à chaque vrai
progrès, on pouvait avancer sûrement vers de bons résultats; et,
le temps propice venu, on s'élèverait peut-être jusqu'à traiter des
problèmes plus grands, demandant une indépendance entière.

Cette manière de travailler, qui naturellement s'est développée
beaucoup grâce aux journaux scientifiques, suppose ainsi qu'on se
mette en rapport intime avec les auteurs contemporains et qu'on
s'efforce d'utiliser ce qu'on y trouve pour en tirer des avantages
en vue de nouvelles recherches et pour s'inspirer de leurs idées
auprès d'idées congénères.

Dirichlet, dans son Éloge de Jacobin raconte ainsi une anecdote
du temps d'études de ce mathématicien, alors qu'il n'avait pas
encore réussi à s'initier à la théorie des fonctions elliptiques.

« Le jeune géomètre, » dit-il, « qui s'était déjà essayé avec suc-
cès dans tant de directions ditTérentes, sembla quelque temps aban-
donné de son bonheur habituel dans la théorie des fonctions ellipti-
ques. Un de ses amis, le trouvant un jour de fort mauvaise humeur,
lui en demanda la cause, ce Vous me voyez,» répondit-il, «songeant
» en ce moment à renvoyer ce livre » — les Exercices de Legendre
— « à la bibliothèque; décidément je joue de malheur avec lui.
» Toutes les fois que j'ai étudié un ouvrage important, cela m'a
)) toujours suggéré quelques idées neuves, et j'y ai toujours gagné
)) quelque chose. Cette fois, ma lecture me laisse les mains complè-
» tement vides, et ne m'a pas inspiré la moindre idée. »

Cette espèce de travail — différenle du travail d'Abel, en ce sens
que celui-ci devait compter plus exclusivement sur ses propres
ressources pour en tirer, par les plus patients efforts, ses idées et
ses méthodes, — était donc naturelle, et surtout dans les premiers
temps, à la position de Jacobi. Enrichi des idées dont, grâce à

182 NIELS-HRNUIK ABEL. — | XIII.

ses grandes lacultés réceptives, il put s'inspirer par la lecture des
auteurs — et les combinant avec d'autres, dues antérieurement
à son propre génie ci éateur; — joignant aussi à ces trésors les
idées qu'il avait dû rencontrer en foule en lisant les mémoires
d'Abel, il ne pouvait manquer de faire sortir de sa plume des pro-
ductions très variées et très nombreuses. Et de cette manière,
nous n'en doutons pas, en voyant se développer les unes après les
autres les idées si grandiosement conçues par Abel, et en appro-
fondissant particulièrement les procédés d'introduction du mémoire
de Freiberg, il en a subi la plus heureuse influence, qui l'a mis à
même de découvrir, en mars 1 827 , son principe de transformation ,
et plus tard, en juin et en août, dans la même théorie, ses
célèbres propositions d'induction qu'il devait démontrer plus tard.

Mais sa puissance créatrice, abondante et variée, étant appli-
quée à d'autres objets, resta encore quelque temps avant de se
fixer. Il avait, à cette époque, expédié à Grelle un si grand
nombre de mémoires qu'il lui avait été impossible, malgré sa
puissance de travail, d'achever ses nouvelles investigations sur la
théorie des transformations des intégrales elliptiques, et qu'il
ne termina sa tâche qu'après le 27 août 1827.

A cette époque, finit ainsi pour longtemps cette série de
travaux de discussion, relativement moins importants, et ils
font place aux grandes études. Celles-ci, demandant une plus
grande concentration autour d'un sujet unique, eurent d'abord
pour effet une production relativement très hétérogène. Mais
son fruit devait être une œuvre célèbre : ce fut les Fimclamenta
nova.

LA LUTTK. \H'\

XIV.

La lutte et la suite du développement des événements, jusqu'à
l'époque où Abel cède la place, et où parait le grand ouvrage
de Jacobi : les Fundammta nova.

Abel resta longtemps dans sa retraite lointaine sans connaître
le début de Jacobi. Naturellement il ne pouvait s'attendre à trou-
ver dans un journal astronomique quelque cbose qui touchât
profondément ses propres intérêts. Le cahier de septembre, où se
trouvaient les énoncés de Jacobi, était sans doute parvenu à
Christiania dans le courant de l'automne. Deux ou trois fois par
an, il arrivait à l'Observatoire un ballot de livres contenant aussi
le journal de Schumacher. Mais ce n'est guère que par un hasard
qu'Abel eût pu avoir connaissance de ce que le ballot renfermait
d'intéressant pour lui comme mathématicien. Quant au mémoire
de vérification de Jacobi, il était inséré dans le cahier de décem-
bre et, d'après l'état de choses qui régnait alors dans notre pays,
la mer étant prise par les glaces et la navigation se trouvant
interrompue, il était impossible qu'il arrivât avant le printemps
de 1828, et au plus tôt en avril.

Abel, qui ne soupçonnait rien de la rivalité qui se préparait,
et dont la position dans son pays n'était rien moins qu'heureuse,
ne termina donc pas la rédaction de ses Recherches aussitôt qu'il
l'avait promis. Le 12 février, il envoya le reste dans une lettre à
Crelle. Il en forma la partie finale d'un mémoire étendu, conte-
nant un exposé complet des fondements de la nouvelle théorie.

Dans l'intervalle, relativement très long, entre la publication
de la première partie des Recherches et Fenvoi de la seconde, on
a seulement, de la part de Jacobi, outre son mémoire de vérifica-
tion, une très courte note (d'une page) expédiée pour être publiée,

184 NIKLS-HKNKIK AIIKL. — ^ XIV.

savoir, son ((Addition au mémoire d'Abeli). Cette addition est
datée du 25 janvier 1828, et a pour but une simplifieation à
introduire dans le procédé d'Abel pour résoudre algébriquement
les équations d'où dépend la division d'une tbnction elliptique.

Dans la seconde partie des RechercJtesj Abel expose maintenant
la théorie de la transformation, et non seulement il la présente
d'une manière complète, puisqu'il traite aussi toutes les transfor-
mations imaginaires — lesquelles ne se trouvent pas dans le
travail de Jacobi, — mais ici encore la démonstration ne fait pas
défaut. Sous tous les rapports, elle était préparée d'avance,
conformément à la marche suivie dans les premières parties du
mémoire. Bien plus, au numéro 4-9, Abel mentionne qu'il est
parvenu à résoudre les problèmes de la transformation dans leur
plus grande généralité possible, rnême pour un nombre quelconque
de fonctions elliptiques. Dans un paragraphe final, on trouve aussi
ce théorème qui avait été inséré longtemps auparavant dans le
troisième cahier du tome II du Journal, ainsi que des problèmes
de même nature que celui qui y avait été déjà proposé.

Avant l'envoi, et, comme il le dit lui-même, après qu'il eut
terminé son mémoire, arrive maintenant sous ses yeux (ïla note»
de Jacobi, insérée dans le numéro 123, année 1827, du recueil
de Schumacher «qui a pour titre Astronomische Nachrichten:».
11 fait alors une « Addition au mémoire précédent » , où il montre
que ((ce théorème élégant que M. Jacobi donne sans démonstra-
tion est contenu comme cas particulier y> dans sa formule
générale (227), et qu'ctau fond, il est le même que celui de la
formule (270)». SU avait su que Jacobi eût énoncé aussi un
théorème complémentaire, — communiqué dans une lettre au
seul Legendre, — il aurait pu pousser plus loin ses affirmations
et remarquer que ce théorème aussi avait été mis en lumière par
lui-même, comme on le voit par les cas A et B, dans les numéros
47 et 48. Chez Abel, il faut alors descendre d'un théorème
général.

I,A l.VTVK. 185

Oiloi «iiiil (Ml soil, ra|)[)!irilion de ces énoncés ne produisit pas,
à ce (|ii'il parail, une très forte impression. Abel, après avoir
achevé s(^s Recherches, continue ses travaux dans une autre
direction. 11 va rédiger son «Mémoire sur une classe particulière
d'équations résolubles algébriquement», ce beau travail dont il
avait déjà donné une ébauche peu de temps après son retour. Par
les énoncés de Jacobi, les nouveaux fondements ne furent pas
encore touchés.

Quelque temps après, lé 12 avril, Jacobi envoie à Legendre
une lettre remarquable et historiquement intéressante. Le contenu
de cette lettre se rapproche en partie d'une note du 2 avril,
insérée dans le Journal de Crelle.

Crelle l'avait informé que la suite du mémoire d'Abel était sous
presse, cette suite qu'il attendait avec tant d'impatience. Entre
Legendre et Schumacher il y avait eu aussi des lettres échangées.
Legendre attendait de son côté non moins impatiemment l'arrivée
de cette prochaine démonstration du théorème coruplémentairey
qui tardait tant à venir et qui l'intéressait au plus haut degré. Il
avait espéré d'abord qu'elle paraîtrait en même temps que la
démonstration du premier théorème.

Comme il n'en avait pas été ainsi, il attendait en tous cas une
suite du mémoire de Jacobi; mais, informations prises auprès du
rédacteur des Aslronomischc Nachrichten, on lui avait dit que
rien n'avait été envoyé pour l'impression. Dès lors commencèrent
de la part de Schumacher des demandes pressantes à l'adresse de
Jacobi, de rédiger sa démonstration, et il s'ensuivit comme
conséquence la lettre mentionnée plus haut, comme aussi une
autre à Crelle contenant la note en question. La lettre de Jacobi
à Legendre se croisa en route avec une lettre semblable de
Legendre à Jacobi, datée du 14 avril, dans laquelle le mathé-
maticien français, sous une forme amicale, mais pressante,
exprimait le désir que Jacobi lui communiquât la manière de
justifier son théorème complémentaire.

J86 MELS-HRNHIK ABRL. — § XIV.

Dans la lettre de Jacobi du 12 avril, la démonstration est
réellement faite, et même la transformation complémentaire se
présente ici moins comme une transformation parallèle à la pre-
mière — ce qui est le point de vue originaire et plus restreint —
que comme la seconde des deux transformations principales,
lesquelles se distinguent dans le groupe entier des transformations
réelles et imaginaires. Jusqu'à ce point, il n'y avait cependant
aucune difficulté, dès le moment qu'on pouvait s'appuyer sur le
principe de la double périodicité, exposé déjà dans les Recherches.
Car alors la démonstration qui se rapporte au cas principal pouvait
être répétée mot pour mot, en remplaçant une certaine expression
par d'autres qui se présentaient de la manière la plus naturelle.
Dans sa lettre du 15 janvier — où, dans son embarras de
no pouvoir satisfaire aux demandes de Legendre, il parle des
découvertes d'Abel — Jacobi avait dressé un exposé « des recher-
ches de la plus grande importance d publiées par Âbel, « jeune
géomètre qui peut-être vous sera connu personnellement. » Et là,
sans revendiquer pour sa propre part, comme on devait s'y atten-
dre, aucun droit d'inventeur indépendant, en lui d racontant les
détails les plus intéressants )), il lui expliqua aussi la nouveauté
abélienne concernant la double périodicité.

Mais il y avait un point plus manifestement faible dans l'exposé
de Jacobi. Il ne pouvait alors donner une démonstration du
rapport, dont il avait parlé autrefois, entre la transformation prin-
cipale et complémentaire d'un côté et la multiplication de l'autre;
il ne pouvait la donner sans recourir, non plus au simple principe
de la double périodicité, mais à un grand théorème fondé sur ce
principe, théorème contenu aussi dans les Recherches.

Le nouvel embarras dans lequel se trouve Jacobi se trahit donc;
il ne peut pas le dissimuler. «Pour démontrer ceci, » dit-il, c( il
faut remonter aux formules analytiques concernant la multipli-
cation, données la première fois par M. Abel. » Et il arrange eu
réalité de cette manière la déduction qu il expose à Legendre.

Après cela, dans la même lettre, il présente ses excuses à Legen-
dre. Celui-ci aurait voulu connaître la marche des idées de Jacobi

LA LUTTE. 187

et jclor un coup d'œil sur l'analyse profonde et rigoureuse, qui
Tavait conduit à ces beaux théorèmes. Cette marche des idées est
maintenant sous ses yeux. Jacohi reconnaît, — mais cet aveu
n'est que pour Logendre seul, — que ses théorèmes n'étaient que
des résultats de Tinduction. Les démonstrations avaient été trou-
vées plus tard.

D'après la lettre en question, ainsi que la note môme insérée
dans le Journal de Crelle et dont nous avons parlé plus
haut, Jacobi possède ainsi maintenant les transformations imagi-
naires. Il possède en même temps de nouveaux et élégants
développements des fonctions elliptiques. Mais ces deux résultats,
très beaux d'ailleurs, reposaient sur des fondements qui depuis
longtemps étaient livrés à la publicité, dans la première partie
imprimée des Recherches. Là se trouvaient déjà établis des déve-
loppements des fonctions elliptiques, et Jacobi ne fit que continuer,
à la vérité d'une manière très ingénieuse, à donner de nouveaux
développements pareils. En outre, dans ce travail d'Abel, le
principe de la double périodicité, introduit maintenant pour la
première fois dans les publications de Jacobi, avait été scruté
avec soin; et nous savons, par la dite lettre de Jacobi écrite en
janvier, qu'il avait bien remarqué l'importance de ce principe.

Ajoutons toutefois que les transformations imaginaires, dont la
découverte avait été tellement facilitée pour Jacobi, en ne consi-
dérant que l'époque de leur publication, étaient indépendantes
des transformations imaginaires d'Abel, qui avaient été rédigées
quelques mois auparavant; car la note de Jacobi fut imprimée
immédiatement après la seconde partie des Recherches et dans le
même cahier du Journal. Mais, maintenant comme avant, la
position de Jacobi relativement à la théorie de la transformation,
pour ce qui est de l'étendue aussi bien que du degré de profondeur
de son investigation, ne fit néanmoins qu'approcher de celle
d'Abel.

C'est donc dans de courts articles ou dans de simples notes que

188 NIELS-HENRIK AKKL. — | XIV.

Jacobi fit connaître le développement de ses idées, avant de
rassembler ses résultats dans un ouvrage d'ensemble, les Funda-
menta nova. Et, dans les circonstances présentes, il n'en pouvait
être autrement. Tous ces développements étaient, en effet, fondés
dans leurs parties essentielles — bien que Jacobi ne l'ait pas fait
remarquer lui-même dans ses premières publications — sur cette
mine de découvertes déposée dans le travail d'Abel, tel qu'il était
au mois de septembre. Les développements si connus et si beaux
des fonctions elliptiques en séries, avons-nous dit, se reliaient
comme conséquence avec ce qu Abel avait déjà produit. Quand
Jacobi introduisit les fonctions B, qu'on lui attribue ordinaire-
ment, il s'agissait aussi, en réalité, de fonctions qu'Abel, à la
vérité sans les désigner sous ce nom, avait exposées implicitement,
dans cette même première partie des Recherches. Jacobi prit les
numérateurs et les dénominateurs de quelques fractions qu'il y
trouva. Et, comme il interprétait une pensée très voisine et très
naturelle, il en fit des transcendantes nouvelles. Il réussit h leur
donner une autre forme^ très élégante, en même temps qu'il
montrait, dans un très beau théorème, l'importante utilité qu'on
en pourrait tirer relativement à la réduction des intégrales de
troisième espèce. Abel, pénétrant plus profondément au cœur
de la question, ne voulut pas choisir ses propres numérateurs et
dénominateurs tels qu'ils se présentaient, sans aucune modifica-
tion réelle dans ses formules. Gomme on voit dans son introduction
au Précis, il passa à une série de transcendantes proportionnelles
qui se présentaient naturellement et que d'ailleurs, dans ces
derniers temps, Weierstrass a prises pour base de ses travaux.
Et précisément ces mêmes fonctions transcendantes, chose digne
de remarque, le clairvoyant Gauss, à qui appartiennent tous les
droits de premier inventeur des fonctions elliptiques — avant
qu'Abel les eût réinventées, — Gauss les avait depuis longtemps
introduites dans les résultais, alors inédits, de ses recherches.

LA LUTTK. 18Î)

Mais revenons encore une l'ois à la question de la découverte
de la double périodicité.

Jacobi avait ruinaïqué, au commencement d'août 1827, Téqua-
tion de substitution de sin o ù / tang ^. Par là il fut amené, comme
il dit, d'une transformation de k' en X', en partant de celle de k
en X; et en faisant une conjecture beurcuse, il arriva à la trans-
formation complémentaire. C'était à une époque où il ne faisait
usage d'aucune inversion, ni dans sa note à Schuinacher, ni dans
sa lettre à Legendre.

Dans le mémoire de vérification, daté du 18 novembre 1827
et, comme nous avons dit, deux mois après la publication des
Recherches, Jacobi se sert de l'inversion, mais non de la double
périodicité. Ces principes fondamentaux étaient alors connus tous
les deux par les investigations d'Abel, et certainement Jacobi lui-
même les avait bien remarqués dans ce mémoire très développé.
Cependant, on peut admettre qu'en ce sens Jacobi se soit rappro-
ché de la découverte en question, attendu qu'avec son équation de
substitution, dont nous avons fait mention, le chemin à parcourir
n'était pas très long s'il s'était appuyé seulement sur Vune des
deux idées réformatrices, sur l'inversion abélienne. Si Jacobi, sous
tous les rapports, indépendamment d'Abel, avait fait la décou-
verte, il serait plus que singulier qu'il n'en eût fait aucune
application dans son mémoire de novembre, et qu'il eût attendu
jusquen avril avant de donner, dans le Journal de Crelle, une
généralisation de son théorème de transformation. Là il la donna
sous une forme très élégante, mais de telle sorte que la connexion
avec le principe de la double périodicité se trouvât bien caché.
Dans la lettre suivante à Legendre, il prend, au contraire, la route
directe, et la connexion se montre ici manifestement.

Dans sa lettre à Legendre du 12 janvier 1828, Jacobi, comme
nous l'avons vu, attribue à Abel la découverte de la double pério-
dicité, et il ne demande ici rien pour lui-même. Plus tard Jacobi
fait, naturellement, un fréquent usage de cette propriété des
fonctions elliptiques; mais alors il ne pouvait plus être question
que d'Abel comme de celui qui l'avait exposée.

190 N'IKLS-HEN'niK AHEL. — | XIV.

Longtemps après, on voit Jacobi revendiquer maintenant pour
lui-mèinc coiniiie une copropriété cette découverte de la double
périodicité, ce qu'il n'avait jamais fait antérieurement, en termes
exprès, comme c'avait été si souvent le cas pour la tbéorie
des transformations. Dans l'introduction à un mémoire non
publié par Jacobi lui-même, et intitulé a De division e integrnliuîn
ellipticoriim in n parles œquales)), il dit qu'en même temps
qu'Abel fit ses découvertes dans la théorie de la division et
d'autres découvertes — celle de la théorie des transformations
n'était pas désignée en particulier — il fonda, lui Jacobi, la
théorie générale de la transformation des fonctions elliptiques.
Il la fonda en partant et du principe de la double périodicité « ad
quod et ipse devenerami> et d'un nouveau principe qu'il avait
appelé, dans les Fundamenta nova : a principiiim transforma lio -
nis:i>.

De cette déclaration bien tardive de Jacobi, où il accorde à
Abel très peu de chose en dehors de ces mots « prœclare et
eleganterï>, mais où il s'attribue lui-même une découverte indé-
pendante du principe de la double périodicité — de cette décla-
ration, on devrait ainsi conclure que c'était par un accident du
hasard qu'il n'avait pas publié sa découverte avant d'être prévenu
par Abel. Mais s'il l'avait fait, s'il ne s'était donc pas trompé
quant à la vraie indépendance de ses propres mérites — comme
le font si souvent les hommes éminents qui se groupent en
première ligne autour d'une découverte accomplie, pour la
développer et l'utiliser — s'il avait ainsi rencontré lui-même la
simple pensée fondamentale et s'il en avait vu toute l'importance,
alors certainement il n'aurait pas manqué de signaler au plus tôt
expressément que cette pensée avait été aussi la sienne et qu'il
avait reconnu, indépendamment, sa grande portée. Et, nous le
répétons, un jeune homme dans de telles circonstances et
désireux comme lui de se distinguer, n'aurait pus attendu
jusqu'au 2 avril 18^8 pour donner une note sur les transfor-
mations imaginaires. 11 n'aurait pas non plus choisi une telle
forme que le principe en question no se trouvât que caché, et

I.A I.DTTK. iOl

mémo UîUcmoiit ciiché qu il Inlliiil dos (HikIos pour lo faire rossortir
de SOS lormulos.

IMus tard oncoro, dans Taimoe icSri^i, Jacobi affirme, pour
la promiùio fuis on lormos exprès, dans un moinoire publié par
lui-niènio, (ju'il avait trouvé lui aussi le principe dont il sagit.
Dans son célobie mémoire « Considerationes générales de trans-
cencientibus abclianisD^ il dit (ju après une observation faite par
lui-même et par A bel, la fonction elliptique sin am ne change pas
de valeur quand on change son argument en ajoutant une certaine
période réelle ou une certaine période imaginaire. C'était au
moins maintenant bien tard de le dire; et pour juger dans quelle
étendue pouvait être vraie une telle prétention soudaine, il aurait
été nécessaire alors de mieux expliquer les choses historiquement
et analytiquement.

En somme, il existait donc une dépendance bien prononcée
entre le travail de Jacobi et celui d'Abel; car tous les grands
moyens auxiliaires contenus dans les Recherches étaient absolu-
ment indispensables pour pouvoir élever l'édifice de la théorie
des fonctions elliptiques. Jacobi creuse de plus en plus ce travail
fondamental d'Abel; son esprit inquiet en attend de jour en jour
la continuation.

Avec quels détails ne signale-t-il pas, dans ses lettres et dans
la suite de ses mémoires et de ses notes, l'intérêt et le soin
minutieux avec lequel il sempresse d'étudier celte théorie de la
division abélienne, d'une si grande importance pour les théorèmes
de la transformation ! Et à une époque plus avancée, alors que,
pour une grande part, la force même des circonstances avait exigé
de lui, nous pouvons le dire, un tribut d'admiration pour les
travaux de transformation^ d'Abel, comment ne répète-t-il pas
alors, maintenant que Ton a ces travaux sous les yeux et que la
ressemblance et la supériorité se montrent en chaque point, que
dans cette théorie de' la division se trouve cachée celle de la

aà

transformation — sans qu Abcl lui-même y eût pensé?

192 NIELS-HKNRIK ABEL. — § XIV.

Abel était libre. Il parcourait ces domaines absolument seul,
et il n avait plus aucun besoin d'assistance. Avec un calme parfait,
quand il fut pleinement maître du terrain, il se mit à exposer
ses résultats.

Enfin, au mois d'avril ou de mai 1828, le second début de
Jacobi dans le journal de Schumacher (avec son mémoire de
vérification du 18 novembre) parvint à la connaissance du public
norvégien. Abel en fut touché au vif, et il ne pouvait pas en être
autrement; car il devait lui être impossible de méconnaître sous
cette forme modifiée ses propres idées, mais il n'y trouvait pas
son nom. Et ce qui allait ensuite lui sauter aux yeux, c'était qu'au
fond, bien qu'avec un moindre degré de généralité, la démons-
tration du théorème de transformation était identique à celle qu'il
avait envoyée en février pour terminer son mémoire.

Hansteen raconte qu'Abel (c devint tout pâle 'î> , quand on lui
remit le numéro des Astronomische Nachrichten où se trouvait
le mémoire de Jacobi. Le narrateur ajoute, avec la tournure
humoristique qui lui était propre, qu'Abel «dut courir chez le
con liseur et y prendre un bon schnaps pour se remettre de son
émotion. Il était en possession,» continue Hansteen, «depuis
plusieurs années, d'une méthode générale qu'il communique ici,
et qui embrasse de plus vastes résultats que les théorèmes de
Jacobi. »

Schumacher, dans sa lettre à Gauss du 6 juin 1828, où il
reproduit ce passage de la correspondance de Hansteen, dans le
texte norvégien « pour ne pas altérer la naïveté de foriginal » ,
ajoute ces mots non moins caractéristiques : (c Si jamais vous
faisiez connaître vos recherches, il est probable qu'Abel n'en serait
pas quitte cette fois pour un seul verre de schnaps. »

En voyant ainsi Jacobi lui « marcher sur les talons », Abel se
décida à son tour à publier quelques mémoires plus étendus dans
le journal de Schumacher : Solution dun problème général concer-
nant la transformation des fonctions elliptiques et Addition, etc.

LA LUTTE. 193

Cotait, comme il récrit à Ilolmboe dans une lettre passionnée,
pour «la mortification de Jacobi j) ('). Et il donne d'autant plus
d'éclat à sa pensée en se servant d'un mot patois exprimant la
même chose et néantnoins intraduisible. Autre chose à remarquer,
il commence à partir de cette époque à dater ses mémoires les
plus importants, et il ouvre la marche par son beau mémoire
algébrique du 29 mars, concernant une classe particulière d'équa-
tions résolubles algébriquement.

Il n'était pas cependant dans le caractère d'Âbel de se récrier
et de faire du bruit autour de sa personne et de ses travaux. Il
gardait même le silence au sujet de la disparition de son mémoire
de Paris, et plus tard seulement il en rappela l'existence. A l'égard
de Jacobi, dont naturellement l'indiscrétion l'avait désagréable-
ment touché, il ne sortit pas davantage de son calme, — sem-
blable sous ce rapport à Gauss, qui, ayant conscience de sa
propre richesse et nullement troublé de ce qui se passait autour
de lui, continuait ses travaux. Abel conserve devant Jacobi, dans
ses mémoires aussi bien que dans sa correspondance avec Legen-
dre, la fornie bienveillante et obligeante. Même cette expression
violente que nous avons citée plus haut reçoit une certaine
atténuation, si l'on considère son penchant fâcheux à exagérer
l'énergie de ses propos quand il s'entretient avec des amis aussi
intimes que Holmboe, et ce ne fut jamais qu'un emportement de
peu de durée à côté des sentiments de bienveillance qui le dis-
tinguaient. Précisément à cette époque-là, il avait été excité par
un événement d'une autre nature, qu'il avait appris par une lettre
de Crelle, et il était dans ses heures sombres.

Ce qu'Abel se bornait à faire, c'était de se montrer dans toute
sa supériorité — rendant pleinement justice à tout ce qui était
digne d'être apprécié, — et de maintenir son indépendance comme
étant depuis longtemps en possession de la théorie de la transfor-
mation. Il avait établi, dans ses Recherches, un théorème plus
général que celui de Jacobi ; il voulait maintenant se placer à un

(') Dodelse af Jacobi.

194 NIELS-HENRIK ABEL. — | XIV.

point de vue encore plus général que celui qu'il avait choisi aupa-
ravant.

Nous allons voir maintenant quel sera l'effet de l'apparition,
dans le Journal de Schumacher, de cette Solution. Il nous faut
donc revenir à Jacobi et à Legendre.

Nous rappellerons que, pour Jacobi, il s'agissait de passer de la
démonstration du premier théorème au théorème complémentaire.
Et suivant Legendre il valait mieux expliquer aussi le passage à
la multiplication. Mais au lieu de parvenir à celle-ci par deux
transformations, il arriva de la première transformation, en pas-
sant par la multiplication, à son théorème complémentaire. A
cela, il n'y avait au fond rien à redire, s'il ne s'était pas encore
agi de sauver ces démonstrations du soupçon de dépendance à
l'égard des travaux d'Abel; car des publications de Jacobi on
aurait dû conclure qu'une telle dépendance n'existait pas.

Dans la réponse de Legendre à la lettre d'aveu de Jacobi, dans
laquelle se trouve aussi la démonstration de ces passages, on lit
entre autres choses: «Pour établir le principe de votre démonstra-
tion, il faut, dites-vous, recourir aux formules analytiques con-
cernant la multiplication, données pour la première fois par
M. Abel. Cet aveu, qui prouve votre candeur, qualité qui s'accorde
si bien avec le vrai talent, me fait quelque peine; car, tout en
rendant justice au beau travail de M. Abel, et le mettant cepen-
dant fort au-dessous de vos découvertes, je voudrais que la gloire
de celles-ci, c'est-à-dire de leurs démonstrations, vous appartînt
tout entière. Mais enfin je me consolerai aisément, la science
n'y perd rien; vos démonstrations ne vous appartiennent pas
moins, quelque part que vous en ayez pris les bases, soit dans
mes ouvrages, soit dans le travail récent et très estimable de
M. Abel. »

Cette lettre du il mai fut bientôt suivie d'une autre, datée du
16 juin. (T J'ai enfin réussi d, écrit Legendre, « à déduire la
démonstration du théorème II de celle du théorème 1, sans avoir
recours aux formules de M. Abel, ce qui m'a entièrement satisfait.

Ainsi Legendre avait réussi à poser lui-même la clef de voûte

LA LUTTE. lUrj

de rédifice, et Ton pouvait maintenant regarder rancicnnc doc-
trine dos transcendantes elliptiques coninie terminée. Car Legen-
dre ne se servit même pas de Fidée abélienne de Tin version, et
quand cet autre élément étranger, la multiplication abélienne,
finit aussi par être éliminé de la méthode directe de démonstra-
tion, les lignes de démarcation reprirent leur pureté, et ainsi fut
créé un ouvrage suivant f esprit de Legendre et dans le vieux
style. Legendre se propose maintenant de rédiger un mémoire
qui contiendra la démonstration des deux théorèmes de Jacobi.
Peu de temps auparavant, il avait aussi rédigé un premier
supplément à son grand ouvrage fondamental, et le 15 octobre il
renvoyait à Jacobi. Ce supplément contenait les deux théorèmes
de transformation.

Dans cette même lettre du mois de juin, le bienveillant vieillard
ajoute encore quelques mots qui avaient évidemment pour but de
consoler Jacobi et de lui faciliter la retraite, mais qui ont pu
réveiller aussi chez lui des illusions. (cJe serais parvenu sans
doute, y> dit-il, « beaucoup plus tôt à ce résultat, si j'avais pu
me livrer à un examen plus approfondi des divers objets contenus
dans votre lettre; mais Tétat de souffrance où je suis resté pen-
dant longtemps m'avait rendu incapable de tout travail, et
m'aurait même empêché d'entendre mes propres ouvrages. »

Jacobi répond, le 9 septembre, à Legendre que sa maladie
lavait profondément affligé, et souhaite qu il se soit bien trouvé
de son voyage dans le Midi, d Ma dernière lettre)), ajoute-t-il,
(( a été écrite un peu à la hâte; sans cela je n'aurais pas cru que
Ton doit supposer connues les formules de multiplication pour la
démonstration du théorème complémentaire. Aussi il avait été
trouvé et communiqué à vous sans la connaissance de celle-ci. s>
Jacobi mentionne alors féquation fondamentale qui constitue le
principe du passage de la démonstration du premier théorème à
celle du théorème complémentaire, et il indique comment le
passage se fait. Mais ce n'était pas de cela qu'il s'agissait seule-
ment; ce dont il était question, celait de démontrer ces résultats
sans employer la "multiplication abélienne. Que dans l'intervalle

iUG NIELS-IIENRIK ABKL. — | XIV.

qui venait de s'écouler, Jiicobi lui-même ait rempli la lacune exis-
tante, ainsi que Legendre avait réussi à le faire, c'est à coup sûr
extrêmement probable. Mais dans ce cas il a beaucoup trop
oublié ce qu'il avait dit et développé dans sa dernière lettre,
contenant son aveu tardif, et expressément personnelle; et, des
paroles voilées que la bienveillance avait inspirées à Legendre,
il avait tiré l'espoir de pouvoir regagner Tindépendance, perdue
dans un nouveau moment de précipitation.

C'est dans cette situation toujours embarrassante que la
Solution avait paru. La complète domination d'Abel sur ces
matières et sa supériorité au-dessus de tous les doutes allaient
se montrer de la manière la plus éclatante. Et cela d'autant
plus, après toutes ces inductions et ces vérifications, et après
toute cette peine pour arriver sans son aide à un résultat incom-
parablement plus restreint.

Dans la même lettre de septembre, Jacobi continue ainsi :
«Vous aurez reçu sans doute deux mémoires de M. Abel, l'un
inséré dans le Journal de M. Crelle, l'autre dans les Nouvelles
astronomiques de M. Schumacher. Vous y aurez vu que M. Abel
a trouvé de son côté la tbéorie générale de la transformation,
dans la publication de laquelle je l'ai prévenu de six mois. Le
second mémoire, inséré dans le Recueil de M. Schumacber,
n° 138, contient une déduction rigoureuse des théorèmes de
transformation, dont le défaut s'était fait sentir dans mes annon-
ces sur le même objet. Elle est au-dessus de mes éloges comme
elle est au-dessus de mes propres travaux. »

Dans ces paroles Jacobi a certainement exprimé une admi-
ration bien sentie pour Abel. Nous pouvons d'ailleurs confir-
mer cette opinion par les expressions suivantes, tirées d'une
lettre à Crelle, dans laquelle, suivant ce qu'Abel écrit à M™'" Han-
steen, Jacobi doit avoir dit : «Je tiens ce mémoire, inséré dans
les Aslronomische Nachrichten sous le titre de « Solution, etc. »,
pour un des plus beaux chefs-d'œuvre des iMathématiques. »

Malgré cela, on pourrait bien trouver que, dans celte expres-
sion où il s'adjuge le rang inférieur, ce n'est pas sans une

LA l-UTTK. 11)7

coiiaiiic réserve; car cos mots scm])Icnt éveiller Tidéc que, si
Abel lait preuve (runc plus j^raude [)orrccti()n, il y a néanmoins
égalité au fond des clioscs. Mius celte é'jMlilé u'existo pas. C'est
avec une tout autre généralité que la théorie de la transformation
est sortie des mains d'Abel, et qu'elle avait été esquissée dans des
parties plus élevées encore dans les Recherches. Il ne faut pas, en
vérité, un aussi haut degré de modestie qu on Ta prétendu, pour
s'exprimer comme le fL\it Jacobi. Après ce qui s est passé entre
lui et Legendre, et sui'lout après que la faiblesse de son investiga-
tion, encore trop peu mûi-e, eut éclaté au grand jour, rien n'était
plus naturel, nous dirions presque plus nécessaire pour un homme
d'honneur qu'une telle expression de haute reconnaissance.

Mais il faut se souvenir des difficultés de la situation. Il est
beau, de la part d'un homme de grand mérite qui se voit vaincu,
de dire : « C'est au-dessus de mes éloges comme aussi de mes
propres travaux. » Aussi devons-nous nous contenter de cet hom-
mage sous une forme générale, et ne pas demander que Jacobi
entre lui-même dans la réalité des choses, et qu'il se prononce,
sans être provoqué, sur tant de détails montrant plus clairement
son infériorité, — et cela précisément lorsqu'il avait fait un
travail de grande portée, son plus beau chef-d'œuvre.

Sur Abel, qui n'avait jamais été cité par Jacobi comme l'auteur
dans les recherches duquel il avait trouvé tant de moyens précieux
pour ses propres investigations, — ces paroles de Jacobi, qui lui
furent rapportées vers la fin de sa vie par Crelle et plus tard par
Legendre, causèrent une heureuse impression. C'est ce rapport
du géomètre français qui donna lieu à ce post-scriptum dans la
réponse d'Abel du 25 novembre 1828, où il s'exprime avec des
sentiments de si haute estime pour Jacobi, comme pour un ma-
thématicien qui devait à un degré inespéré perfectionner, non
seulement la théorie des fonctions elliptiques, mais encore les
mathématiques en général. Ce post-scriptum ne fut cependant pas
publié par Crelle, sans qu'on en sache d'ailleurs la raison.

198 NIKLS-HENRIK ABKL. — | XIV.

Grâce aux appréciations sur Abel de la part de Jacobi, appré-
ciations que par la force des circonstances il fut conduit à émettre
dans sa correspondance si difficile avec Legendre, peu à peu
celui-ci dirigea de plus en plus son attention sur le géomètre
norvégien, jusque-là peu remarqué. Il arriva ainsi que Legendre
laissa échapper, dans une lettre à Grelle, quelques mois d'éloge
pour Abel. Grelle répéta à celui-ci les paroles de Legendre, et
cela encouragea à son tour notre mathématicien, d'ailleurs si
réservé, à écrire au vétéran de la science et à entamer avec lui
une correspondance.

A la première lettre d'Abel, du 3 octobre, lettre d'une grande
importance sans doute, mais qui par malheur n'existe plus,
Legendre répondit dès le 25 du même mois, par une lettre très
flatteuse, dans laquelle il lui répète les paroles déjà citées de
Jacobi. Legendre avait cependant demandé d'autres renseigne-
ments, et il en résulta de la part d'Abel une lettre, expédiée vers
la fm de novembre, c'est-à-dire peu de temps avant le voyage de
Froland, d'où il ne devait pas revenir. Il arriva encore une autre
lettre de Legendre, datée du 16 janvier 1829, et qui le trouva
couché sur son lit de douleur.

Cette lettre, comme toute la correspondance en général, est de
la plus haute importance, même en laissant de côté ce dont nous
ne pouvons plus nous occuper, le contenu réel qui y était
renfermé. Cette correspondance a contribué encore davantage à
porter l'attention sur Abel et sur ses travaux; elle devint aussi, par
un enchaînement de circonstances, le point de départ d'une dis-
cussion entre Legendre et Jacobi, qui a finalement abouti à tirer le
mémoire de Paris de l'oubli où il était resté, bien qu'Abel lui-même
ne parût pas disposé à se mêler personnellement de cette affaire.
Du moins il ne s'était pas prononcé dans sa lettre assez explicite-
ment pour que Legendre l'eût compris. Ce qui est hors de doute,
c'est néanmoins que la question de la généralisation du théorème
d'addition d'Euler a été touchée dans cette lettre; et les explica-
tions tout inconnues dans leurs détails qu'y donne Abel devaient
devenir la première occasion de nouvelles déclarations de Jacobi,

LA LUTTE. 190

qui sont du plus haut intérêt et qui ont été fécondes en résultats.

Aboi avait récemment publié un nouveau mémoire, d'un
intérêt exceptionnel : Recherches sur les propriétés générales
d'une certaine sorte de fonctions transcendantes . Il y avait
considéré un important cas particulier de ce qui faisait Tobjet
du mémoire de Paris, et dans une noie il fit observer qu'il
avait présenté sur ce sujet, en 4826, un mémoire à TAcadémie.

Ce remarquable travail n'échappa pas, dans de telles circon-
stances, à Tattention de Legendre, et ce qui contribua grandement
à la faveur avec laquelle fut accueilli par lui ce mémoire, ce
furent les rapprochements établis par la correspondance. Legen-
dre s'exprima sur cette œuvre avec la plus haute estime, comme
surpassant tout ce qu'Abel avait publié jusqu'alors, par la pro-
fondeur de l'analyse qui y régnait, ainsi que par la beauté et la
généralité des résultats. Il est aisé de voir dès lors, d'après ce
jugement, que Legendre ne connaissait pas encore le contenu de
ce mémoire plus étendu^ sur lequel lui- même avait été choisi
pour porter un jugement. Il semble évident que cette affaire était
entièrement sortie de sa mémoire, et la remarque ajoutée par
Abel dans la petite note ne paraît pas avoir produit un effet suffi-
sant pour réveiller chez le vieux savant le souvenir du passé.

Mais le premier résultat du redoublement d'attention de Legen-
dre pour les travaux d'Abel, ce fut qu'il commença à voir plus
clairement l'état des choses. Ce changement se manifeste dans
quelques mots adressés à Jacobi, mots d'autant plus remarqua-
bles, puisque par là il devait caractériser les rapports entre les
publications de celui-ci et celles d'Abel, précisément au moment
même où les travaux du géomètre norvégien venaient de cesser
pour toujours. «De son côté», dit Legendre à Jacobi le 9 février
1829, (cM. Abel publie, des mémoires qui sont de véritables
chefs-d'œuvre, et » , ajoute-t-il — en partie pour adoucir ses
expressions, en partie aussi parce qu'il n'était pas au fait du
véritable état de leurs rapports — « comme il n'a pas à sa dispo-
sition les moyens de faire imprimer l'ensemble de ses recherches,
cette raison le détermine à développer davantage ce qu'il publie

200 NinLS-IIENRIK ADEL. — | XIV.

dans les journaux de MM. Crelle et Schumacher. 11 obtient ainsi
sur vous une sorte d'avantage, parce que vous n'avez guère
publié jusqu'à présent que des notices qui ne font pas connaître
vos méthodes. y>

Plus bas, Legendre ajoute qu'il a reçu une «lettre fort intéres-
sante )) d'Abel, et mentionne sa (c grande généralisation de la
belle intégrale d'Euler. »

Cette entrée d'Abel en correspondance avec Legendre, et
la haute estime toujours croissante qu'éveillaient chez celui-ci les
investigations d'Abel, ne pouvaient pas laisser Jacobi indifférent.
Dans sa réponse à Legendre, le 14 mars, il s'occupe donc de nou-
veau d'Abel d'une manière prononcée. Il rappelle encore une fois
comment Abel, dans son premier mémoire, a passé à travers la
transformation sans la traiter, « et qu'il ne paraît pas même y
avoir songé! » Il déclare plus bas qu'il ne veut « ni reproduire ni
prévenir les travaux de M. Abel; presque tout ce que j'ai publié
dans ces derniers temps», ajoute-t-il, « sur les fonctions ellipti-
ques contient des vues nouvelles; ce ne sont pas des amplifica-
tions des matières dont M. Abel a traité ou même promis de s'en
occuper. »

Après ces réponses de Jacobi concernant les relations entre ses
propres travaux et ceux d'Abel, et se rapportant plutôt à des ques-
tions auxquelles il pouvait s'attendre qu'à la remarque même de
Legendre, — laquelle, à l'égard d'Abel, n'avait d'autre but que
de déterminer Jacobi à se hâter d'entrer en possession de ce qui
était à lui, en publiant le plus tôt possible son œuvre, — après
ses réponses vient la remarquable exclamation qui met l'alarme
au camp, et qui devait devenir le moyen de sauver le mémoire de
Paris d'un injuste oubli. Jacobi n'avait pas laissé inaperçue, comme
Legendre, la note insérée au bas du texte des Remarques. Dans
ces régions élevées, il n'était plus partie dans la cause, et à
l'admiration qu'il éprouvait certainement pour Abel il pouvait
donner pleine carrière, et avec une ardeur d'autant plus grande,
il se mit donc en avant, puisqu'il y avait, dans tout ce qui s'était
passé et que le monde ne connaissait pas, tant de choses qui moti-

LA LUTTIi:. 20*

vaiont iino toile sortie. «Quelle découverte de M. Abcl que celle
généralisation de Tintégrale d'Euler! A-t-on jamais vu pareille
chose! Mais comment s'est-il fait que cette découverte, peut-être
la plus importante de ce qu'a fait dans les mathématiques le siècle
dans lequel nous vivons, étant communiquée à votre Académie,
il y a deux ans, a pu échapper à l'attention de vous et de vos
confrères? »

A la suite de cet éclat, Legendre procéda maintenant à des
recherches relatives au sort du précieux manuscrit, — qui
reposait toujours au milieu des papiers de Cauchy. 11 découvrit
qu'il avait été désigné lui-même commissaire pour examiner ce
mémoire, qu'il croyait d'ailleurs identique avec les Remarques
dont nous venons de parler.

Dans la correspondance entre Jacobi et Legendre, le nom
d'Abcl figure très souvent, et par la force des circonslances qui
se développèrent à cause d'une première faute commise, Jacobi
fut contraint à reconnaître, au moins en partie, la dépendance
de ses travaux relativement à ceux d'Abel. Beaucoup de grandes
découvertes sont attribuées à Abel, surtout dans la lettre de
Jacobi du 12 janvier 1828. Rien ne peut aussi être plus honorable
pour Abel, ignorant de ce qui se passait autour de lui, que le
grand intérêt qui s'attacha à ses recherches et l'impatience avec
laquelle le public, et surtout Jacobi, attendait leur continuation.
Mais il en est tout autrement de ce que publia Jacobi. Après les
deux articles insérés dans les Astronomische Nachrichten — celui
qui contenait les « énoncés » et l'autre que nous avons appelé
son mémoire de vérificalion, — après ces deux articles, où le
nom d'Abel ne se rencontre pas, il a été publié en tout par Jacobi,
avant la date de ses Fundamenta nova, huit articles de lui,
expédiés au Journal de Crelle pour y être insérés. Voilà mainte-
nant comment les choses se passèrent relativement aux citations
du nom d'Abel et de ses découvertes, qui devenaient les bases de
tant de travaux futurs.

202 NIELS-HENRIK ABKL. — § XIV.

Nous avons d'abord une courte note intitulée ^Addition au
mémoire de M. Abel sur les fonctions elliptiques», et datée du
25 janvier 1828. Cette note a pour but d'indiquer en deux mots
une simplification au procédé d'Abcl dans sa théorie de la divi-
sion, théorie déjà exposée dans la première partie dos Recherches.
Jacobi s'exprime ainsi: <iM. Abel, dans son excellent mémoire
sur les fonctions elliptiques, a prouvé le premier que les équations
du degré nw, desquelles dépend la division d'une fonction ellip-
tique de première espèce en n parties, peuvent être résolues
algébriquement. Cependant la méthode de cet auteur est suscep-
tible d'une grande simplification. y>

Ensuite, dans une «Note sur les fonctions elliptiques», datée
du 2 avril 1828, — où, entre autres choses, Jacobi, dans le même
cahier du Journal où fut insérée la continuation des Recherches
(tome III, 2^ cahier), donne de nouvelles formes de développement
pour les fonctions elliptiques, et en même temps fait connaître
les transformations imaginaires, — Jacobi vers la fin de cette note
termine par ces mots : «J'ajoute encore une remarque. M. Abel
a proposé, tome II..., le théorème suivant.... » Jacobi s occupe
alors du «théorème à démontrer», proposé par Abel, et dont
nous avons parlé auparavant. Au lieu d'essayer cependant à
donner la démonstration qui était toujours le point faible dans
les recherches pas encore assez mûries de Jacobi, — celui-ci fait
observer qu'on peut étendre le théorème, de sorte qu'on ait un
multiplicateur imaginaire au lieu d'un multiplicateur réel. Puis
il termine par cette phrase : « Tout cela découle immédiatement
des principes établis par M. Abel. » Le « problème à résoudre»,
qu'avait donné Abel en même temps qu'il proposa de démontrer
le théorème, ne fut pas mentionné par Jacobi.

Enfin, dans la dernière de ces trois notes qui furent intitulées
« Suite des notices sur les fonctions elliptiques », note insérée
dans le tome IV, 2® cahier du Journal, et datée le 11 janvier 1829,
on trouvera le passage suivant : « On pourra donc dire en quelque
sorte que cette équation contient la solution générale des pro-
blèmes de la transformation des fonctions elliptiques sous une

LA li;ttk . 203

forme tout h fait difTcrcntc de celle sous laquelle nous Tavons fait
connaître, M. Abcl et moi, dans nos recliercliessur celte matière.»

Ce dernier article, Abel ne Ta pas môme vu. Le cahier dont il
s'agit fut publié le 28 mars 18:29, et le 9 avril était le jour de sa
mort. Les seules fois qu'il s'est vu nommé dans un travail quel-
confjuc de Jacobi, c'est donc dans les deux notes premièrement
mentionnées. Là il est dit qu'Abel a démontré, le premier, que
les équations dont dépend la division des fonctions elliptiques
sont résolubles algébriquement — ce qui se rapporte plutôt à une
découverte d'algèbre qu'à une exposition de nouveaux principes
dans la théorie des fonctions transcendantes; — et ensuite il est
dit qu'un certain théorème d'exercices qu'Abel avait proposé à
démontrer pour les lecteurs du journal, « découle immédiatement
des principes établis par M. Abel. »

D'ailleurs, puisqu'on penche à croire qu'il y a eu beaucoup de
rapports des deux côtés entre Abel et Jacobi, il peut être intéres-
sant de noter ce qu'Abel a pu voir des recherches de Jacobi, sur
les fonctions elliptiques, après l'insertion dans les Astronomische
Nachrichten des « Énoncés )) et du mémoire de vérification de
celui-ci. Tout se réduit à ces quatre choses : <l Addition au
mémoire de M. Abel sur les fonctions elliptiques, t. Il, page 101 »
(1 page); (( Sur la décomposition d'un nombre donné en quatre
carrés )> (1 page); « Note sur les fonctions elliptiques» (4 pages);
« Suite des notices sur les fonctions elliptiques » (8 pages). En
somme, 14 pages environ, ou, en comptant rigoureusement, pas
plus de 12.

Nous pouvons ajouter à cela qu'Abel avait proposé un problème
à résoudre, appartenant à la théorie des nombres. A cela Jacobi
donna une réponse, sans nommer l'auteur du problème. Il y donne
un tableau calculé par un de ses amis, Busch, mais sans aucune
tentative de solution. Cette réponse, en deux pages, a clé vue
aussi par Abel.

204 NIKI.S-HEMIIK AHKL. — | XIV.

Mais nous ne voulons pas nous arrêter davantage à ces cita-
tions et à ces circonstances, concernant ce que, relativement à
Jacobi, on pourrait bien appeler son temps de préparation. Nous
penserons maintenant à son ouvrage capital, les Fundamcnta
nova, produit de toutes ces études, et nous verrons alors quelle
lumière cet examen va projeter rétrospectivement sur nos précé-
dentes recherches et sur les rapports enti'c Abel et Jacobi.

Dans cet ouvrage, la théorie des nouvelles fonctions elliptiques
allait être reprise depuis ses fondements. Là ou jamais on devait
s'attendre à un compte rendu de ce qui appartenait à Abel et de
ce qui appartenait à Jacobi, et en maint endroit on devait chercher
un renvoi au premier. Le 18 janvier 18^29, Jacobi annonce aussi
que, dans des notes et des additions jointes à la première partie de
son ouvrage, il exposerait ce qui était particulier à Abel, en rap-
prochant les méthodes de cet auteur de celles dont lui, Jacobi,
avait fait usage. En février de la même année, il écrit la préface,
et le 23 mai il informe enfin Legendre que Timpression est ter-
minée, et qu'il lui en envoie un exemplaire.

Voici comment les choses se passent. Les Fundamenta nova
commencent par un éloge d'Abel. L'addition et la multiplication
sont attribuées à celui-ci, et quand Tauteur renvoie au tome II du
Journal de Crelle, — mais à ce volume exclusivement, — où se
trouve la première et principale partie des Recherches, 11 fait
entendre, comme un écho des éloges contenus dans la lettre à
Legendre, — ces mots bien connus, nostra lande majore.

Mais à partir d'ici, tout s arrête. De belles paroles sans doute;
mais quant à accomplir entièrement sa promesse d'exposer les
choses comme elles étaient, Jacobi ne Ta pas fait dans le passage
cité.

Jacobi réclame à cet endroit la priorité de la théorie de la
transformation, mais il ne mentionne pas formellement Abel, et
ne cite aucun de ses travaux sur ce sujet. Il garde ici le plus
profond silence, chose bien étrange après qu'il a rendu à son
émule un hommage si grand, en disant — bien que ce fîit sim-
plement dans une correspondance privée — que les travaux d'Abel

LES iWNDAMKNTA NOVA. 20^

sont au-dessus de ses éloges comme ils sont au-dessus de ses
propres travaux ! Non seulement, à cette occasion, il cite Legendre,
mais il le cite à tout propos, ainsi, naturellement, que ses propres
articles plus anciens. Gauss aussi est mentionné à plusieurs re-
prises; mais Abel disparaît. On n'aperçoit rien de ces éclaircis-
sements promis sur ce qui appartient à celui-ci ou à Jacobi. Une
seule fois pourtant, il est question d'Abel. Après avoir montré que
la double transformation conduit à la multiplication, Jacobi répète
que celle-ci est due à Abel, mais que le moyen qu'il propose
lui-même pour elTectuer le passage est plus court.

On peut dire que, en lui donnant ce qui est compris dans ces
deux mots, il a donné en même temps à Abel tout ce qui est le
plus fondamental, tout ce qui seul était absolument indispensable.
Sans le vouloir, il a consenti à lui attribuer les « fondements
nouveaux » . Il n'y avait non plus aucun sens, avons-nous dit plus
haut, d'attribuer à Abel l'addition, chose très ancienne, s'il ne
voulait pas par là reconnaître tacitement que c'était l'addition,
sous la forme où elle donne Tidée de l'inversion, qui est l'œuvre
d'Abel.

Mais hors de cela, il y a une grande série de faits qui sont
oubliés. Dans la double périodicité avec le principe imaginaire,
dans la division abélienne, tellement scrutée dans tous les sens par
Jacobi; dans les transformations (prises avec toute leur généralité),
dans les développements en séries, dans l'introduction de ces fonc-
tions 0, dont la base se trouve dans les Recherches, etc., il n'y a
nulle part de place pour Abel. Et cependant sans lui les Fanda-
menta nova n'auraient jamais existé.

Une telle omission, où il s'agit même de ce qui touche le plus
intimement nos éléments — les fonctions elliptiques, — ne peut
pas être compensée par l'éloge le plus flatteur, dont Abel est
Tobjet, alors qu'on n'a plus à le rencontrer sur sa route, ou
par un honneur abstrait ne consistant qu'en belles paroles (*).

(^) Dans ce qu'a dit Jacobi peu de temps après, au sujet de la mort d'Abel, quelque
chaud et quelque juste que soit son langage, cette circonstance principale, sa décou-
verte des fonctions elliptiques et tous les grands progrès qu'on lui doit dans le

206 NIELS-HENRIK ABEL. — § XIV.

Cette omission se rencontrant dans un ouvrage qui a pour but,
comme l'armonce son titre, de traiter les Nouveaux fondements, —
livre se trouvant dans les mains de tous les géomètres, et ayant
pour auteur un savant si distingué, un collaborateur et aussi,
sans aucun doute, un admirateur de notre mathématicien, —
personne n'aura plus raison de s'étonner de la confusion qui a dû
se produire dans le public au sujet des droits de propriété de l'un
et de l'autre et de ce que ces droits aient été altérés au préjudice
de notre compatriote. Malgré toute la sympathie et l'honneur qui
s'attachent unanimement au nom d'Abel, il y a une injustice qui
subsiste encore, et il faut la réparer.

Gela fait, cette dernière marque de la faiblesse d'un grand
esprit qui craignait ce nom d'Abel dans le voisinage de ses
propres travaux, sera effacée. Môme en cédant le pas à Abel
comme au grand inventeur, il n'en sera pas moins un personnage
historique, à jamais honoré. Et on lui attribuera avec plus de
certitude ce qu'il aura ajouté par lui-même, quand la question
de propriété, dans cette copropriété généralement supposée,
pourra être tirée au clair; car, dans cette étrange communauté,
non seulement la propriété d'Abel se perd, mais celle aussi qui
revient à Jacobi.

On remarque d'ailleurs une étrange ironie du sort, dans ces
circonstances. Les Fttndamenta nova parurent à l'époque où
Abel avait déjà depuis longtemps terminé ses travaux. C'était
environ cinq mois après qu'il se fut alité dans sa dernière
maladie, et six semaines après sa mort. Ainsi, de même qu'Abel
avait accompli ses découvertes dans ce qu'elles avaient d'essentiel,
avant que Jacobi eût ait ses débuts, de même il allait arriver
aussi que, lorsque celui-ci présenta enfin au public ses recherches
sur les fonctions elliptiques pour la première fois dans un
ouvrage d'ensemble, — il n'existait plus d'Abel.

perfectionnement de cette théorie, rien de tout cela n'est nienlionné non plus, pas
même pur un seul mot. Il y a là un très singulier oubli, d'autant plus caractérisé
par le soin avec lequel est rédigé le court exposé des grands mérites d'Abel. Voir
plus bas à ce sujet quelques mots de Jacobi extraits de la dernière partie de la
lettre à Legendre du 14 juin 1829.

LES FUNDAMENTA NOVA. 207

Nous ne nous arrêterons plus ni aux recherches d'Abel dans cette
dernière période, ni aux rapports de ces recherches avec celles de
Jacobi. Il fut cependant réservé à ce dernier, après la mort d'Abel,
non seulement de développer encore un peu plus loin la théorie des
fonctions elliptiques, mais aussi d'indiquer avec plus de précision
la voie que devait suivre Tétude des transcendantes Ahélicnnes.

C'est qu'il existait aussi pour ces transcendantes une inversion,
et sur ce point, comme il paraît, Abel lui-même sétait trompé
dans ses premières études. Mais avec les années, ses investiga-
tions devaient être continuées avec une profondeur de plus en
plus grande, et pour ce qui regarde ces mômes sujets, à la mort
du jeune maître, les progrès de la science s'arrêtèrent pour toute
une série d'années.

Un travail de la plus haute importance, comme son mémoire
présenté à Tlnstilut, n'était pas toujours accessible pour le monde
scientifique; pendant un court moment, l'attention du public
scientifique avait été fixée, mais la chose retomba bientôt dans
l'oubli, et quinze années devaient s'écouler avant la publication
de ce travail. Il s'écoula même un temps considérable — ce qui
devait devenir peut-être d'une plus grande importance encore —
avant que l'on connût la lettre d'Abel à Crelle, lettre datée Paris
le 9 août 1820 (^), où il donne un exemple très instructif de sa
théorie, en exposant, aussi brièvement que complètement, les
formules fondamentales relatives au plus simple cas appartenant

aux transcendantes hyperellipliques. Cette lettre, si précieuse pour
les chercheurs désirant de pénétrer dans les nouveaux mystères,
fut publiée vers le milieu de l'année 1830; car elle se trouve
insérée dans le cinquième tome du Journal ^ c'est-à-dire dans le
premier des deux tomes qui parurent dans cette même année.
Surtout avant ce temps, il y avait donc assez d'énigmes à résoudre
avant de voir bien clairement s'il existait encore ici une inversion,
et en cas affirmatif de quelle manière elle pouvait s'effectuer.

{}) Œuvres complètes, nouvelle édition, lome II, page 267 (ancienne édition,
tome II, page 263).

208 NIELS-IlCiMUK ABF.L. — § XIV.

Au milieu de toutes ces hautes généralisations, il devait être
fort difficile pour un investigateur nouveau, même avec les qua-
lités éaiinentes d'un Jacobi, de trouver sans quelque indication
de l'auteur la véritable clef. Rien d'étonnant donc si, dans les
premiers temps, il fut arrêté par ses essais infructueux; il en avait
été ainsi avec Abel lui-môme pendant nombre d'années, avant
qu'il réussît, au moyen de son théorème d'addition, à jeter des
fondements nouveaux. Les complications avec les périodes mul-
tiples ne pouvaient guère échapper longtemps à l'attention des
mathématiciens s'occupant de ce sujet; et, de bonne heure, elles
auraient dû pousser d'abord Abel, et plus tard, à son tour, Jacobi, à
des efforts réitérés jusqu'à ce que l'énigme fût résolue. S'il y avait
ici une issue, unique ou non, de ces difficultés qui se rapportent
aussi à l'inversion, nous ne nous en occuperons pas. C'est seule-
ment vers cette issue dont nous parlons que nous pouvons dire
que tous les efforts d'Abel ont convergé.

Or chacun des travaux ayant le moindre degré de difficulté
mathématique — et ces difficultés avaient été très grandes —
était, à la mort d'Abel, entièrement terminé; en sorte qu'on
pouvait passer du principe aux applications, dans le sens où il
avait été préparé par lui, seulement au moyen de quelques mots
d'introduction, naturellement mis en tête d'une seconde série de
travaux. Tel était l'ordre rationnel et économique des investiga-
tions d'Abel; c'est ainsi qu'il posa, en tête de ses Recherches,
finversion comme le principe qui pénétrait tout. Par un autre
procédé, déduit de l'inversion généralisée, ouvrant les applications,
à la fin de la théorie générale, ou comme un article isolé, il aurait
même risqué, pendant le cours d'un long travail où il fallait
d'abord traiter les nouvelles fonctions elliptiques, de perdre le
fruit de ses efforts quand viendrait le temps de développer les
conséquences.

Au milieu de l'année 1830 fut donc publiée la lettre d'Abel.
Jacobi, depuis un an, avait alors terminé ses Fandamenta nova,
et il ne travailla plus pendant longtemps avec la même énergie
et le même succès d'autrefois. Maintenant, après un silence d'un

LF.S FrXDAMENTA M) VA. 209

an, il écrivit de nouveau à Legendre, el il y parla alors de ces
Iranscendantes d'un ordre supérieur qu'Abcl avait introduites.

Dans cette lettre, datée du 2 juillet 18:]0, il exprime d'idjord
son regret que les distractions d'un long voyage et d'autres
circonstances eussent interrompu le cours de ses travaux, et qu'il
n'avait pu reprendre sitôt le (il de ses recherches ordinaires; il était
trop accoutumé à lui parler de mathématiques et à lui raconfer
quelque chose de nouveau qui pouvait mériter son indulgence,
pour remplir une lettre avec les seuls sentiments de sa reconnais-
sance. Plus loin, dans la môme lettre, il dit qu'en ce qui regarde
ses propres occupations, il a entrepris un bon nombre de recher-
ches sur différentes matières, recherches qu'il voudrait avoir
finies avant de retourner aux fonctions elliptiques et aux trans-
cendantes d'un ordre supérieur qui sont de la forme.... «Je crois
entrevoir à présenta, conlinue-t-il, «que toutes ces transcendan-
tes jouissent des propriétés admirables et inattendues auxquelles
on peut être conduit par le théorème d'Abel, qui établît une
relation entre plusieurs de ces transcendantes qui répondent à
différentes valeurs de x (^). »

Il s'écoula maintenant deux années avant que Jacobi, bien qu'il
eut fait pendant ce voyage la connaissance personnelle de Legen-
dre, reprît de nouveau son ancienne correspondance avec lui. En
attendant, Legendre avait terminé son grand ouvrage sur les

(1) Le voyage de Jacobi commença dès l'année 1829, peu de temps après l'aclièvc-
mcnt de ses Fundamenta nova. Pendant cela, il fit à Paris la connaissance person-
nelle de Legendre, avec lequel il avait déjà entretenu une correspondance si suivie
et si intime. A son retour, il passa par Gôltingne pour faire pareillement la connais-
sance de Gauss. Ses premières publications dans le Journal de Schumacher avaient
bien aussi eu pour but d'attirer l'attention de ce grand géomètre, et cela lui réussit
aussi; car les deux astronomes commencèrent, comme on sait, à cchançer, dans le
cours de plusieurs années, leurs opinions au sujet de Jacobi lui-même et de ses
nouvelles découvertes, — échange d'opinions pendant lequel Gauss s'exprima
toujours avec réserve, tandis que Schumacher, qui n'avait pas de confiance en
Jacobi, donna souvent un libre cours à ses pensées et à ses sentiments. A en juger
par une lettre de Schumacher, où il avertit son ancien correspondant de la possibi-
lité d'une visite de Jacobi à son retour de Paris, il faut bien conclure que celui-ci
ne revint pas à Kônigsberg avant le printemps de 1830, et le long arrêt dans la
correspondance avec Legendre s'explique ainsi très naturellement.

210 \iF.rs-Hr,\niK Anr.L. — ^ xiv.

ibnclions elli[)liqiies; il Fannonça dans une lettre à CrcUe en
date du ^4 mars 183^2: ((Vous verrez», disait-il, (( que je suis
parvenu à tirer du beau théorème de M. Abel une théorie toute
nouvelle, à laquelle je donne le nom de Théorie des fondions
uUra-ellipiiqiics, laquelle est beaucoup plus étendue que celle des
fonctions elliptiques et cependant conserve avec celle-ci des
rapports très intimes. En travaillant pour mon propre compte,
j'ai éprouvé une grande satisfaction de rendre un éclatant
hommage au génie de M. Abel en faisant sentir tout le mérite du
beau théorème dont Tinvention lui est due, et auquel on peut
appliquer la qualification de (unonumentiim œre pcrennius )y .

Grelle s'adressa alors à Jacobi, en le priant de donner dans son
Journal un compte-rendu de Toeuvre de Lcgendre. « C'est une
œuvre», dit Crelle (/), (cqui présente un intérêt singulier, en ce
quelle constitue un monument vraiment digne érigé au génie
d'Abel, de ce grand géomètre prématurément enlevé à la science,
qui dès sa vingt-quatrième année, au fond des lointaines contrées
du Nord, presque dépourvu de tout secours, recula les barrières
des connaissances mathématiques au delà de ce qu avaient pu
faire les Euler et les Lagrange, et qui vraisemblablement a
emporté encore dans sa tombe de précieux trésors de vérités du
règne des mathématiques. » Après avoir maintenant cité Thom-
mage rendu par Lcgendre à la mémoire d'Abel, Crelle continue
comme il suit, en réunissant dans un même éloge chaleureux
rillustre vétéran des mathématiques françaises et le jeune mathé-
maticien de Textrême Nord, sitôt ravi à la science. «On ne sait
pas ce qu'on doit le plus admirer d'un octogénaire, encore dans
la force et Fardeur de la jeunesse, se plongeant dans les régions
les plus abstraites de la science, et reculant leurs barrières au-
delà des limites connues, ou de cet empressement à reconnaître
le mérite, quand il se présente chez un jeune homme qui pourrait
être le petit-fils de Tillustre savant ! Plût à Dieu qu un pareil bon
vouloir fût général ! ce serait un spectacle bien digne de la science !

(') Journal de Crelle, tome VIII, pa.uc 413.

i.KS ir\i>.\)ih:\T.[ .vor.i. 211

Comme il'habitiiili', le jiisto ot le bien so Iruuvciit ciicon; ici
réunis. Abel aussi riait capable, avec une impulsion du cœur vi'aie
et naturelle, cVapprécier le mérite d'aulrui. I/égoïsmc lui était
inconnu.

y> Personne » , ajoute Crclle, « ne peut guère mieiix comprendre
et apprécier le nouveau travail de Legendre que Jacobi, du mémo
âge qu'Abel et de la mémo famille intellectuelle; Jacobi qui aussi
dès ses jeunes années, avec la même Ibrcc et le même succès,
marcba dignement à son côté. »

Dans une parentbèse, Crelle donne un supplément à ses appré-
ciations. Lui, le protecteur actif de tous les deux et les connais-
sant aussi tous deux personnellement, il parle de ce qui s'est
passé et il en forme son jugement. Comme sincère ami d'Abel, il
parle avec autorité quand il donne beaucoup à Jacobi. Mais il
juge le passé comme trop rapprocbc de ces événements et des
mystères de leur origine, et jamais le temps qui est témoin d'un
progrès bors ligne ne le comprend à fond et à flieure de sa
naissance. Les vraies proportions ne peuvent être reconnues qu'à
une plus grande dislance et lorsque maints secrets sont enfin
révélés. « A Jacobi aussi», dit Crelle, « la tbéorie des fonctions
elliptiques doit sa perfection nouvelle, et il est arrivé au même
but sans connaître les travaux simultanés d'Abcl. »

Comme éditeur du Journal, Crelle avait donc fait à Jacobi la
demande de rédiger un aperçu de Touvrage, et celui-ci consentit
à s en charger pendant son séjour à Berlin, avant de retourner
à Konigsberg.

La date du rapport que fit ainsi Crelle dans le tome VIII de
son Journal était le 22 avril i8o2. Jacobi, dans sa réponse, ex-
prime d'abord son consentement aux désirs de Legendre, et il
varie, dans des paroles éloquentes, la pensée de ce dernier,
quand il parle du monument éternel qu'Abel s'était élevé par son
théorème. Jacobi attache le nom d'Abel à ces grandes décou-
vertes, et il dirige son attention plutôt vers l'avenir qui en

découlera, peut-être un avenir lointain, que vers le passé et le

ff(x)d.r
fini, rt Legendre», dit-il, ':Mlonne à la transcendante I — — — ,

212 NIKLS-HENRIK AVAU.. — § XIV.

lorsque X surpasse le quatrième degré, le nom d'ultra-elliptique.
Nous aimerions mieux l'appeler la transcendante ahélienne, puisque
Abel, le premier, l'a introduite dans Tanalyse, et qu il a montré
dans un vaste théorème sa grande importance. A ce théorème
lui-môme, comme le plus beau monument de cet esprit extraor-
dinaire, on devait bien attribuer le nom de théorème d'Abel,
Car nous pensons, d'accord avec Tauteur, qu'il porte toute
Tempreinte de la profondeur de son esprit. Comme il énonce
dans une forme simple, sans aucun appareil de calculs, la
plus profonde et la plus vaste pensée mathématique, nous consi-
dérons ce théorème comme la plus grande découverte de notre
temps, bien qu'un grand travail futur, dans un avenir peut-être
lointain, puisse seul nous éclaircir sur toute son importance. »

Quelque temps après^ le 27 mai, Jacobi fait mention à Legendre
du rapport qu'il avait donné de son œuvre. Il s'excuse du long
intervalle de temps qui s'était écoulé sans qu'il lui donnât aucun
témoignage de son dévouement et lui rendît compte de ses
travaux. Il aurait bien voulu pouvoir l'avertir de l'achèvement de
quelque ouvrage plus étendu, mais pendant tout ce temps-ci il
n'avait pu regagner ni le goût ni l'énergie de jadis. Ce n'auraient
été que des ouvrages commencés ou même seulement projetés
dont il aurait dû lui faire mention.... Depuis les huit mois de son
mariage, il avait cependant repris ses occupations ordinaires avec
un zèle redoublé, et il espère que les années suivantes le dédom-
mageraient, en quelque sorte, du peu de fruit que lui avaient
porté les trois précédentes.

L'attention de Jacobi s'était donc fixée dès lors vers les nou-
velles et très hautes transcendantes d'Abel et vers son théorème;
et bien que le mémoire présenté par lui à l'Institut fût retombé
de nouveau dans l'oubli, il n'était pas douteux que le bon moment
fût maintenant venu pour soulever la grande question qu'avait
posée Abel à la science future. En ce sens, la lettre d'avertissement
publiée deux années auparavant dans le Journal de Crelle était
une acquisition de la plus haute valeur. On voit déjà la direction
des pensées de Jacobi par un article sur les transcendantes

[,KS /••r\7>.ii//;,V7'.i vori 'il'.]

Iiypoivllipliqiios ou sur le Uiéorùiuo d'Aboi, dans uno noie daléc
du \A mai 18o2. Mais riinportanl petit mcirioire qui lui succéda,
et qui a pour titre « Considcr alloues générales de transcendcu'
tibus abelianis -ù, fut révéncment décisif qui so préparait. Dans
cet article, portant la date du 1^ juillet 18.']^, il montrait que
l'inversion des intégrales abéliennos devait se faire par Tinvcrsion
des sommes.

Ici Jacobi,bien qu'il parlât du mémoire intitulé Remarques, aie.,
prit en réalité son point de départ dans la lettre d'Abel à Crelle,
et en fliisant cela, le résultat ne pouvait se cacher longtemps. Il a
eu le mérite d'être le premier à approfondir la question et à
renouer les fds rompus; mais Abel avait mis tout en ordre, et ce
n'était pas le hasard qui dirigea la marche de ses idées. Au
contraire, tout avait été arrangé par lui de la meilleure manière,
comme seul pouvait le faire un esprit doué de vues profondes
dans l'avenir môme de la science qu'il préparait.

Abel, dans sa lettre, avait donné les moyens pour la réduction
d'une somme de trois transcendantes hyperellipliques, transcen-
dantes appartenant à cette classe qu'il fallait d'abord soumettre à
l'examen lorsqu'il s'agissait de passer de la théorie préparatoire à
la série des applications. Cette somme de trois transcendantes fut
réduite, par un procédé algébrique, à une somme de deux, ce
qui était aussi la dernière limite des réductions. Et il déclara
qu'au moyen de la formule fondamentale qu'il y donna explicite-
ment, on pourrait établir une réduction pareille (à une telle
somme de deux transcendantes) quelque grand que fût le nombre
des transcendantes à sommer.

Il s'ensuit, en premier lieu, qu'une telle somme de deux trans-
cendantes simples constituerait une nouvelle transcendante ou,
comme nous dirons, une transcendante binaire. Abel avait
remarqué une propriété d'après laquelle on se procurerait une
réduction à une somme d'un nombre déterminé, ici à deux. Et
c'était un trait bien marqué dans ses investigations, que la
manière dont il effectue d'abord les réductions aussi loin qu'elles
peuvent se faire d'après la nature des choses, et qu'il traite

^l't MiaS-IIFîMUK A)51«:L. — ^ XIV.

ensuite les expressions irréductibles, qu il obtient en tirant de
rimpossibilitc de pousser plus loin les simplifications les plus
efïicaces ressources pour ses études. Celui donc qui s'était un peu
familiarisé avec l'esprit de ses rechercbes devait nécessairement,
dans cette somme binaire qui n'était plus réductible, rencontrer
une nouvelle fonction à étudier; il fit aussi mieux ressortir funilc
quelle représentait en la renfermant dans une parenthèse qu'il
serait en cas contraire superflu d'introduire.

Même sans avoir étudié beaucoup les travaux d'Abel, un
mathématicien habile n'avait pas dû manquer d'essayer bientôt de
considérer cette somme irréductible comme constituant elle-
même une transcendante. Et alors en se figurant effectuée la
réduction relativement à quatre transcendantes données et simples
(au moyen du théorème fondamental se rapportant à trois), il
établirait quelque chose de plus symétrique et de plus analogue à
la formule d'addition pour les transcendantes elliptiques. En effet,
la réduction précédente de quatre à deux sera, en même temps,
une réduction d'une somme de deux transcendantes binaires à
une seule de la même espèce, et la réduction s'opère au moyen
d'une relation algébrique entre les variables.

Mais, de plus, personne ne put aussi éviter de reconnaître
que, dans les formules algébriques exposées dans la même lettre,
il y ait deux quantités, a et [3, qui ne se présentent pas, bien
qu'elles se trouvent dans les transcendantes données. Il s'ensuit
qu'on pourra particulariser les dernières de deux manières, sans
altérer cette relation algébrique; ce qui entraînera la possibilité
d'établir une couple de formules d'addition, sans changer toujours
la dite relation. L'une de ces formules se rapporte à la première
subdivision des transcendantes binaires en question, l'autre à la
seconde. Et la plus complète correspondance est ainsi rétablie
avec des faits connus qui se présentent dans les fonctions
elliptiques.

D'après cela, pour imiter le procédé d'inversion dans la théorie
de ces transcendantes hyperelliptiques, le chemin à suivre devrait
être : d'essayer d'abord s'il existe une inversion directe, c'est-à-

LES hr\l).\MI-:.\TA .\(i\A i^[^

dire une inv<3rsioii rclaliveiiioiit aux Irîinsccudanlcs simples;
d'essayer ensuite, s'il se présente des dillicuités, s'il existera une
inversion pour les transcendantes binaires, dont il avait à la fois
deux à considérer, chacune d'elles dépendant d'une couple de
variables x ai \j. Dans ce dernier cas, l'une de ces transcendantes
composées sera égalée à n, l'autre à v, et en se figurant les
équations résolues par rapport à a; et ?/, on aura les fonctions
inverses cherchées.

C'est maintenant cela que fit Jacobi en retrouvant la pensée
qui se cache dans la lettre d'Abel, et qui ne demande plus comme
on le voit, pour être dégagée, une profonde analyse, mais seule-
ment le bon sens d'un penseur. L'attention de Jacobi fut dirigée
de nouveau vers ce sujet à une époque où, à côté des anciens
moyens, on avait obtenu, dans la lettre d'Abel, une indication
très courte et très claire pour guider dans sa marche difficile
entre toutes les généralités. Mais dès lors, comme il résulte des
dates du rapport de la lettre à Legendre et du petit mémoire de
Jacobi, il ne s'écoula pas longtemps avant que l'énigme fût
résolue; et l'on pouvait ainsi passer aux travaux d'application,
en d'autres termes aux travaux où l'on avait à considérer Tune
après l'autre des hautes fonctions inverses dont il est question
ici. Jacobi donne un exposé de son beau travail dans le mémoire
du Journal de Crelle que nous avons mentionné; plus tard
cependant il lé développa dans un court article pour l'Académie
de Pétersbourg, article intitulé : a Notes sur les fonctions ahé-
liennes )>, et inséré aussi dans le tome XXX du dit Journal. Mais
comment tout avait été bien préparé par Abel, on en peut juger
mieux par ce fait que la note elle-même n'avait guère plus
d'étendue qu'une seule page, et néanmoins tout était aussi clair
et élégant comme il était court dans l'exposé.

Jacobi fit cependant plus. Il examina le fond des choses dans
ses recherches sur la périodicité ; et par ses investigations
célèbres sur les fonctions il prépara une étude approfondie des
nouvelles fonctions inverses.

Abel avait désiré lui-même de pouvoir entreprendre ces

210 NIELS-IIENRIK AHEL. — | XIV.

travaux d'applications auxquelles devait aboutir son théorème.
On en aura un témoin dans ces mots qui terminent son dernier
mémoire : « Démonstration d'une propriété générale d'une cer-
taine classe de fonctions transcendantes », mémoire, ou plutôt
note, qu'il envoya en toute hâte à Crelle pour sauver au dernier
moment sa grande découverte qui était restée ensevelie et oubliée
à Paris. Dans ce mémoire, où il donna la démonstration de son
théorème d'addition dans toute sa généralité, il déposa son
testament scientifique. Quoique datée de Christiania (le 6 jan-
vier 18^9), la pièce est envoyée de Froland, et certainement elle
fut écrite dans une heure critique avec la crainte de ce qui
pouvait bientôt arriver.

Dans ces paroles finales, il parle des «nombreuses applications »
qu'il ferait de son théorème, et « qui jetteront du jour sur la
nature des fonctions transcendantes dont il s'agit. » Certainement
il est difficile de comprendre quel serait le sens de ces paroles,
si l'inversion, vers laquelle tendent ses invesligations, n'était pas
clairement devant ses yeux.

Les voies et moyens n'étaient pas cependant indiqués encore
d'une manière explicite; pour cela le temps lui avait manqué, bien
qu'il eût fini tous les grands travaux préparatoires. Il fut donc
réservé à Jacobi de renouer les fils rompus depuis si longtemps.
Là comme ailleurs, il fut non seulement le plus proche colla-
borateur d'Abel, mais aussi son héritier direct, qui, après sa
mort, comme chef légitime, devait régler la direction du nouveau
développement. C'était aussi Jacobi, plutôt que tout autre, qui
devait expliquer au monde ce qu'était Abel.

rnoLAM) i:t i.a mokt ir.MîKf-. 217

XV.

Froland et la mort d'Ahel.

Nous allons maintenant laisser de coté les objets d'ordre
transcendant; nous reviendrons à Abcl lui-môme et à ce qui
le regarde personnellement. Toute Tannée 1827 s'écoula sans
qu'une seule issue s'ouvrît devant lui, et l'on ne peut douter que,
durant tout ce temps, sa position ne fût des plus pénibles. Le
prochain départ de Hansteen pour la Sibérie offrit cependant à ce
moment une perspective favorable. Ce professeur ayant renoncé
temporairement à renseignement dont il était chargé à l'Aca-
démie militaire, ses fonctions furent partagées provisoirement, de
manière qu'Abel, après la disjonction du cours d'astronomie, devait
faire un cours de mécanique de deux leçons par semaine. Pour cela,
il devait toucher, à partir du commencement de l'année 1828,
les deux tiers des appointements de Hansteen, savoir, par mois,
11 spd. 13 ski. (*) en monnaie de Norvège. Telles furent les
modestes ressources qu'il obtint, et qu'il devait de nouveau perdre
deux ans après quand il eut terminé ce voyage scientifique.

Peu de temps après, cependant, il s'opéra une nouvelle amé-
lioration temporaire dans sa situation. L'absence de Hansteen
laissait encore un poste à remplir à l'Université. Abel fut alors
recommandé par le Sénat universitaire pour être charge, en
qualité de doceni, de suppléer Hansteen, pendant cet intervalle,
dans ses fonctions de professeur. Cette nomination fut sanctionnée
par une résolution du 16 février, et, le 10 mars 1828, le Sénat lui
envoya sa nomination officielle. Tant qu'il remplirait ces fonctions
de docenl, il devait recevoir 400 spd. (-) d'appoinlemonls annuels.

Sa principale fonction à l'Université fut maintenant d'enseigner

(1) 67 fr. 14 c.

(2) 2224 francs.

218 MKLS-m-NRIK AHKL. — § XV.

rastronoinie aux élèves qui se préparaient à subir Vexamen pliilo-
sopliicum, — et il s'en tira sans trop tourmenter de mathémati-
ques et de formules abstraites les nouveaux étudiants.

Celte augmentation d'appointements qu'il obtint ainsi, Taurait
bien certainement, d'après les circonstances et les exigences de
l'époque, mis à même de vivre sans souci tant que cette position
devait durer. Bien qu'il fût fiancé, il lui fallait renoncer toutefois
à tout projet d'établissement. Mais le désordre économique était
arrivé à une telle extrémité, qu'avec toute l'épargne possible, il
serait exposé pour longtemps à des soucis continus et accablants.
Il parvint, vers la fin de la dernière année de sa vie, à pouvoir
cesser d'emprunter pour les besoins quotidiens, et à voir diminuer
un peu ses dettes.

« Je suis pauvre comme un rat d'église », écrit-il en juillet ou
en août, on ignore à qui. — « Je n'ai plus maintenant que
i spd. GO ski. ('), que je dois donner en pourboire. Pourtant, je
n'ai pas dépensé un skilling mal à propos. Le marchand est payé,
103 spd. 26 ski. (-), tout ce que je lui devais. »

On ne connaît pas cependant au juste la date de ces communi-
cations, vu qu elles n'existent que comme notes ajoutées sur un
bout détaché d'une enveloppe. Qu'elles appartiennent en tout cas
à une époque aussi récente, sans doute à la visite faite pendant
les vacances de 1828 à l'usine de Froland, c'est ce que l'on
peut conclure de ces lignes : ce J'ai reçu une lettre de Schumacher.
Mon article est imprimé et parti pour Konigsberg. Si vous voyez
Elisabeth, saluez-la cordialement pour moi, ainsi que les Treschow.

» Votre ruiné. »

Dans une lettre encore plus récente, il écrit, au sujet de son
état pécuniaire, à M™*^ Hansteen, qui était alors à Copenhague
chez sa sœur, M™'' Frederichsen. A en juger par le contenu
de cette lettre, elle a été envoyée en novembre, c'est-à-dire pas
plus d'un mois avant qu'il quittât Christiania pour n'y plus

(») 8 fr. 34 c.
(') 572 fr. 68 c.

i-noi.Asn KT i.\ MOUT d'ahi:!,. 2Ul

revenir. Il dit entre autres choses : « Je reste toujours au chiirrc
400 (•), et j'ai des dettes par dessus les oreilles; mais j'ai touts transcendantes) semblait réalisable.
En tout cas, elles dataient d'une époque où Ton était venu à bout,
en luttant, de bien des choses que le plus grand nombre n'arrive
pas à surmonter; mais alors le courage de la jeunesse n'était pas
encore perdu.

A la Noël de 1824, Abel avait fait son premier voyage à Soon,
petit village maritime, situé, comme nous l'avons déjà dit, au
bord du Fjord, à quelques milles de Christiania. Il l'avait entrepris
sur l'invitation qui lui avait été adressée d'y venir fêter la Noël
par un de ses élèves, à qui il donnait des leçons de mathémati-
ques. On raconte que lui et plusieurs de ses compagnons de
voyage avaient loué un bateau de pilote, et que, dans le trajet,
ils avaient fait naufrage, ou (selon d'autres) qu ils étaient rentrés
au port, à cause des vents contraires. Le voyage, d'après cette
dernière version, aurait été continué jusqu'à Risôr, d'où était la
famille de sa mère. Mais il est à croire qu'il y a ici une confusion
de deux événements. Ce qu'il y a de vrai, c'est le tableau qu'on se
fait de ce temps-là, tableau que, même dans les parties les plus
importantes de notre récit, nous ne devons pas perdre de vue. Un
marchand de l'endroit recueillit, avec l'hospitalité la plus em-
pressée, Abel et ses compagnons morfondus. En quittant ce séjour,
il en sortit fiancé.

D'après un autre narrateur, il aurait souvent raconté lui-même
sa première rencontre avec sa future. Il est vrai que la chose
n'est pas d'un grand intérêt, mais elle donne un aperçu des senti-
ments du jeune homme à cette époque, et présente un contraste
frappant avec sa triste fin. Ce fut donc à Copenhague, lors de son
voyage de l'été de 1823, qu'il rencontra sa fiancée pour la pre-
mière fois. C'était au bal, dit-on, et il l'avait invitée à la danse.
Or, ni elle ni lui ne savaient danser. Mais quand ils s'aperçurent
qu'il fallait tourner pour valser, ils se mirent tous les deux à

FROLAND ET F,A MORT H'ARRL. 227

tourner h contresens. — Telle fut la circonstance qui, phis lard,
amena Stinc (Crelly) ù devenir la fiancée de Nicls-llenrik.

Christine Keinp était fille d'un chaudronnier de Copenhague.
C'était une jeune fdle vive (^t courageuse, désireuse de s'élever.
De bonne heure, elle avait du quitter la niaison paternelle pour
gagner son pain. Elle était ainsi venue habiter un petit village sur
la côte, où elle remplissait dans une famille les fonctions d'insti-
tutrice. C'est là (si nous avons bien compris les versions assez
discordantes que nous venons de mentionner), c'est là qu'elle
rencontra de nouveau Abel, et que leur alliance fut conclue.

Pendant le long voyage de son fiancé à l'étranger, elle revint
en Danemark, chez une sœur qui habitait Aalborg, et, en 1827,
au retour d'Abel, ils se rencontrèrent à Copenhague, où ils pas-
sèrent ensemble quelques jours. Plus tard, par l'intermédiaire
d'un oncle d'Abel, le capitaine Tuxen, à Copenhague, qui pendant
un séjour à ïvede avait fait visite à la famille Siuith, à l'usine de
Froland, on obtint pour Christine un emploi de gouvernante pour
les jeunes enfants de la maison. Cela donna lieu aux voyages
d'Abel à Froland, où, sans compter la famille Hansteen, il trouvait
un autre chez soi.

A Froland il passait ses meilleurs moments. Là il était fré-
quemment la vie et l'âme de celte société, soit qu'il s'agît de
jouer quelques petites niches aux dames, soit qu'il se joignît,
en biver, aux petits garçons, qui se laissaient glisser du haut
des toits dans les profonds amas de neige. Il ne pouvait cepen-
dant pas supporter longtemps ces exercices. S'il s'agissait, au
contraire, de passer la soirée au jeu de cartes, « alors il était
solide ï). Il ainiait à jouer et jouait très bien, et, au déplaisir de
ses adversaires, avec tact et prudence. Mais il ne tenait guère au
gain; cela l'amusait, parce qu'il s'occupait du jeu comme d'un
art, dont il avait établi à son usage les règles et les principes.
Il était donc toujours impatient de voir allumer les bougies quand
le jour commençait à baisser.

Mais, avant tout, il aimait à rester dans le salon avec les dames
de la maison; souvent il y travaillait et fiusait sa correspondance,

228 NIELS-IinNRIK ATIEL. — | XV.

sur le papier le plus mince et de sa plus fine écriture, pour
économiser les frais de poste. Lorsqu'alors il se levait de son
travail, il n'avait pas de plus grand plaisir que de dérober un
mouchoir dans une poche, ou de fouiller dans une boîte à
ouvrage. Quelque chose qu'il eût prise, il était impossible de se
fâcher contre lui. Dans sa manière d'agir, il élait sous beaucoup
de rapports un enfant; la tristesse et la gaieté alternaient chez
lui, et à quiconque ne lui était pas trop étranger, il adressait son
singulier du (toi). Il pouvait passer toute sa journée à amuser
les petits enfants, et à se divertir avec eux, et il les imitait
parfois en respectant peu les convenances. Comme il leur res-
semblait, à eux et à lui-même, quand il vidait la pelote aux
aiguilles remplie de tripoli pour en ôter les gros grains, et que,
s'apercevant qu'il avait mis l'objet hors de service, il restait tout
confus ainsi qu'un enfant coupable! Ou lorsque, se trouvant dans
la famille, il demandait qu'on lui servît davantage d'un plat,
quoiqu'il sût très bien qu'on ne lui en donnerait plus; et qu'alors,
au grand émoi des convives, il arrachait la terrine des mains
de la grave et sévère maîtresse de la maison, pour y pêcher les
raisins secs qui étaient au fond! Mais il fallait le prendre comme
il était; on ne pouvait lui rien refuser, et personne ne s'offensait
de ses manières. Son bon cœur compensait surabondamment ce
qui lui manquait en savoir-vivre, et la gravité froissée finissait
elle-même par un éclat de rire. Il savait cependant limiter ces
péchés contre les règles des bonnes manières, partout où il savait
que ses licences seraient mal vues, — c'est-à-dire partout où il
follait que le vous réservé reprît sa place ordinaire. Rien de plus
charmant que ses rapports avec M^"^ Ilansteen, soit qu'il lui
racontât quel chagrin il éprouvait de voir Crelly se tant fotiguer
au travail, ou que, arrivé jusqu'à sa porte, il revînt sur ses pas
de peur de l'importuner.

A tous les points de vue, et non seulement dans les profondes
recherches, cette étrange nature primesautière se manifestait avec
tous ses bons côtés, et quelquefois aussi ses côtés inférieurs.
Yoilà pourquoi il se sentait tant à l'aise là où il pouvait montrer

rnoLAM) i;r i,a mout ii'ai!i:i,. 'i2'.)

son àmc syinpiUliique, cl où il se voyait, coiiinic il lo dil (luohnio
part, « au milieu do tous les anges. »

A son arrivée à FroUuKl,Abcl se sentit indisposé, et il avait
un air maladif. Mais, comme il était toujours très vif, la crainte
qu'inspirait à ses amis Tétat précaire de sa santé se dissipa bientôt,
et les sombres soucis des premiers jours iinirent par tomber dans
l'oubli.

Il ne se passa, du reste, rien de propre à raviver ces soucis
avant le 6 janvier. Mais l'événement de ce jour, quoique peu
significatif en lui-même, s'est fixé dans la mémoire de son entou-
rage. On raconte, en etTct — ou comme premier signe delà grave
maladie qui était sur le point de se développer, ou bien comme
quelque chose d'assez extraordinaire pour qu'on se le rappelât
encore, en consultant ses souvenirs sur ce qui se passa dans les
jours immédiatement antérieurs à la catastrophe — on raconte que
« le 6 janvier, Abel monta, de temps en temps, et plus souvent
que de coutume, dans sa chambre. »

C'est ce que raconte, en fixant la date, une des dames qui soi-
gnèrent alors Abel conjointement avec sa fiancée, c'est-à-dire
une des deux filles de la famille.

Et, sans doute, ce ne fut pas à son travail ordinaire qu'il alla
dans ces heures où il disparut et se réfugia dans sa chambre. Du
moins ce ne fut pas exclusivement pour de telles raisons qu'il
chercha la solitude, attendu qu'il ne semble pas qu'Abel revînt
bien souvent à ses recherches et qu'il pût s'y attarder longtemps.
Pour lui le travail intellectuel, à dater de ce jour, ne consista en
autres choses que de se rappeler une ancienne et très courte
démonstration; ce qui ne put lui présenter aucune difficulté
l'obligeant à changer ses habitudes.

Nous avons dit qu'il aimait à travailler au milieu de la famille.
Là il étudiait et écrivait. Et c'est ce que confirme aussi la dame
dont nous venons de parler, et qui relève qu'en s'occupant de ses
études mathématiques, «il les interrompait souvent pour prendre

230 NIKLS-HENRIK ABKL. — § XV.

part, avec de gaies plaisanteries, aux conversations et causeries
de son entourage; rarement il choisissait une chambre séparée
pour son travail. »

Quoi qu il en soit, au jour où il ressentit une indisposition plus
grave, il se passa silencieusement un événement de très haute
importance pour Thistoire des mathématiques. iAIais, qu'il ait tra-
vaillé comme autrefois dans la famille et cherché du repos de
temps en temps, ou que, cette fois, par suite de son malaise, il
se tînt une grande partie du jour dans sa chambre avec les travaux
auxquels il se livrait, personne ne soupçonna qu'un fait extraordi-
naire allait s'accomplir.

Abel, à cette époque, était constamment occupé de son dernier
grand mémoire : le Précis, etc.; mémoire qu'il ne lui fut pas
donné d'achever. Mais, ainsi qu'on le reconnaîtra d'après la date
(ajoutée évidemment par Grelle) de la note : a Démonstration d'une
propriété générale d'une certaine ^classe de fonctions transcen-
dantes », ce même jour (le 6 janvier 4829) Abel donna la
démonslration de son grand théorème d'addition. Il l'avait bien
fait déjà dans le Mémoire de Paris; mais il n'avait pas donné
encore le théorème et la démonstration dans le Journal, où il
s'était borné, jusqu'à présent, dans ses célèbres Remarques, à
traiter le cas hyperelliptique.

Abel interrompit donc soudainement ses travaux réguliers pour
donner ce théorème général, qu'il avait gardé si longtemps dans
l'attente d'une publication de son mémoire par l'Académie. Un
pressentiment, semble-t-il, de ce qui pouvait bien lui arriver le
poussa à ne plus ajourner la publication dans le Journal de cette
ancienne découverte. Le théorème en question était la base du
mémoire oublié, et ce mémoire (à moins qu'il ne vînt de Legendre
une réponse satisfaisante à sa dernière lettre) devait bien mainte-
nant être regardé comme une chose perdue, sinon rejetée avec

honte.

Cependant cet état d'inquiétude ne Tempecha pas de penser
une continuation de ses travaux sur les transcendantes « abé-
liennes ». La possibilité d'un danger prochain le poussait à pren-

FUOLANI) KT LA MOUT d'aIIKL. 231

(Iro au plus toi les mesures qui préviendraient la perle de ce (ju'il
y avait de plus beau et de plus fondamental dans ce qu'il avait
réussi à découvrir.

11 ne put combiner innnédiatement, dans l'état de faiblesse
où il se trouvait, un travail de proportions aussi vastes, et sans
doute il n'eût mémo pas voulu s'y arrêter, s'il l'avait pu, à un
moment où il était fortement occupé d'un autre travail, travail
bien important et de grande étendue, son Précis. Dans cette
position, il se borna à rédiger ce qui était le plus important, et
il ne se donna pas môme le temps de parler de ces nombres
déterminés sur lesquels d'ailleurs il fixait toujours son attention.
Se contentant de poser la base fondamentale de la tbéorie générale,
relative aux liautes transcendantes qu'il introduisait, il finit en
prononçant ces mots remarquables, les derniers de son testament
scientifique :

a Je me propose», dit-il, «de développer dans une autre
occasion de nombreuses applications de ce théorème, qui jetteront
du jour sur la nature des fonctions transcendantes dont il s'agit.»

Et Crelle, à qui Abel fit envoyer cette <c Démonstration, etc. » ,
dans une lettre (la dernière qu'il reçut de sa main), Crelle chan-
gea — et c'était presque son droit, comme on put s'en apercevoir
— la trop modeste phrase « qui jetteront du jour » en celle-ci :
(( qui jetteront un fjrand jour » sur la nature de ces fonctions. Ce
mot «grand» a dû, d'ailleurs, être supprimé dans la nouvelle
édition, où fut rétablie l'expression plus simple de l'auteur, ex-
pression par laquelle, à la vérité, il appelait plus fortement
l'attention sur ce qui est plus essentiel, sur les « nombreuses
applications ».

L'état d'inquiétude continua, et Abel, qui eût dû attendre la
prochaine arrivée à Christiania de la réponse de Legendre, pressa
son départ autant qu'il put. Il devait, du reste, reprendre, au
milieu du mois, son cours de mécanique et d'hydrodynamique,
professé à l'École du Génie, et, un un peu plus tard, ses leçons

232 NIELS-HENRIK ABF-L. — | XV.

sur rnstrononiio à TUnivorsité. L'astronomie surtout ne Tinlé-
ressait guère : les problèmes dont cette science s'occupe n'étaient
pas sa spécialité, non plus que la rédaction des almanachs, comme
il venait d'en faire un pour l'année où l'on entrait. Ces cours sur
des objets qui ne lui étaient pas encore familiers lui prirent beau-
coup de temps, et cela, à une époque où peut-être il était plus
que jamais surchargé de grands travaux scientifiques.

Le 8 janvier, il fut décidé qu'il se mettrait en route pour
Christiania. Ce jour-là, il était cependant plus indisposé : il se
plaignait d'un rhume et de frissons dans le dos; en somme, il
n'était pas comme à son ordinaire.

Le 9 au matin, tous ses hôtes furent anxieux en le voyant
cracher du sang. Il avait aussi des accès de toux, d'ailleurs assez
légers encore. Son voyage fut ajourné, et on envoya chercher de
suite le médecin cantonal. Celui-ci trouva l'état critique, et pres-
crivit le repos absolu et des précautions sévères.

Pendant quelques jours, Abel continua à ressentir des élance-
ments dans la poitrine; mais peu à peu l'état s'améliora. Après
deux à trois semaines, il fut considéré comme convalescent, et
on lui permit même de rester levé quelques instants. Peut-être
céda-t-on trop ainsi aux désirs du malade, qui aspirait à reprendre
ses travaux. Tout danger imminent semblait cependant disparu,
et il était, d'ailleurs, pour lui d'un vif intérêt de pouvoir continuer
son Précis. Il en avait envoyé, depuis quelque temps, plusieurs
chapitres, appartenant à une première partie, pour être publiés
dans le Journal.

Il restait maintenant hors du lit quelques heures de l'après-midi,
s'occupant ardemment à écrire (i).

Son état commença cependant bientôt à s'aggraver. Il ne sup-
portait plus guère de parler. La toux et l'épuisement s'accroissaient,-

(ij F.n 1874, on a trouvé un fragment de son Précis, formant la continuation des
parties publiées dans le Journal de CrcUe. Ce fragment, qui a été ajouté dans la
nouvelle édition, constituera les additions faites par'Abel à cette époque.

FUOF,.\Nn KT I.A MOUT d'aBKï,. ^?,^

et, npros nno ainélioralion (.runo semaine nu plus, ou plutôt (Fuiio
dizaine de jours, il dut reprendre le lit, pour no l(^, quitter que
dans les courts moments que demaiulait Tarrangement de sa
couche.

Abel, retombé sur son lit de douleur, ne put se délivrer de ses
pensées. H s'occupait toujours de ses recherches chéries, mais il
ne pouvait plus écrire. 11 pressentait certainement, dès lors, son
impuissance à accomplir les grands plans en vue desquels il avait
travaillé. Il dut sentir bien vivement la gravité de la perte qu'il
faisait ou qu il était menacé de subir pour toujours, et celle idée
devait Taccabler d'autant plus, qu'il lui fallait dès lors garder
pour lui seul ses pensées. Par la négligence de hauts person-
nages, les grands fruits de ses efforts lui avaient été ravis, et il
avait été témoin du partage de sa propriété, partage qu'avait
fortement favorisé la situation touchant presque à la niisère dans
laquelle il s'était trouvé au retour de l'étranger.

Ainsi plongé, par moment, dans un état moral bien sombre,
il jetait aussi des regards en arrière sur la « pitoyable vie qu'il
avait dû mener», et il se plaignait amèrement de l'insouciance,
ou môme de l'injustice, auxquelles il avait été exposé par ceux
qui, placés au sommet de la société, avaient eu à décider de son
sort.

Il conserva toujours son amitié pour Holmboe. L'entrée de
celui-ci à l'Université avait bien fermé sa propre carrière. Mais
Abel sentait généreusement; et Holmboe (à ce qu'on dit) n'aurait
pas voulu accepter de place, au préjudice de son jeune élève,
s'il n'eût su d'avance qu'un tel sacritice de sa part aurait été
inutile. Ce fut aussi Holmboe qui, plus que tous les autres et avec
beaucoup d'empressement, lui vint en aide dans maints embarras.
Et néanmoins, après tant de grands malheurs et de grands succès,
il était impossible qu'Abel ne pensât point qu'il avait été roiiimis
une injustice à son égard. H put donc arriver que, [)ar un léger
sourire, il laissât entrevoir combien le sort avait été étrange ici-bas
dans la distribution des rôles.

D'ailleurs, il serait assez naturel qu'une certaine gcnc se fût

234 NIELS-HENRIK ADEL. — | XV.

introduite dans les rapports qu'Abel, d endette jusqu'aux oreilles»,
et obligé de renouveler sans cesse ses demandes d'argent, conser-
vait avec bon nombre de ses anciens camarades. Rien d'étonnant
même à ce que cette gêne ait fini par se glisser entre lui et
Holmboe, qui avait eu à supporter tant de charges, semblables
aux obligations qu'Aboi avait envers ses parents pauvres. Très
caractéristique est, à cet égard, un passage d'une lettre écrite, en
septembre, à M°^° Ilansteen, qui se trouvait alors à Copenhague.
«Je vous assure», y dit Abel — en exposant à quel point il
vivait solitaire, dbien trop solitaire» — , «je vous assure que je
ne fi'équente, à la lettre, pas une seule personne. »

Pendant sa maladie, il s'entretint souvent avec les amis qui
entouraient sa couche, de l'extrême pauvreté dans laquelle il
avait dû vivre une grande partie de sa vie. Comme nous le savons,
en effet, pendant plusieurs années de sa première jeunesse, il
n'avait eu d'autre ressource que la charité des quelques personnes
qui, lorsqu'il eut subi médiocrement son examen d'entrée à
l'Université, se cotisèrent pour lui permettre de continuer ses
études. Ses protecteurs pensaient bien qu'il ferait tous ses efforts
pour avancer dans la carrière académique, ainsi que le font les
autres étudiants qui aspirent à devenir quelque chose ou à s'assu-
rer un avenir. Plus tard — sans parler de Holmboe — des
hommes comme Rasmussen et Hansteen lui vinrent encore en aide;
bien que le premier se soit opposé, dans la suite, à la demande
qu'Abel fit d'une bourse de voyage, déclarant que le jeune homme
(c aurait auparavant dû passer un examen » .

Vers la fin de cette première période, en 1823, alors qu'Abel
avait déjà jeté les fondements de sa découverte des fonctions
ft inverses des transcendantes elliptiques », Rasmussen lui fournit
généreusement, de sa propre bourse, les fonds qu'il fallait pour
un voyage d'étude à Copenhague. Quant à Hansteen, voyant le
misérable état de sa garde-robe, il lui donna (c deux habillements
complets».

A partir de cette époque, et pendant deux ou trois ans, Abil
mena une vie plus douce. C'est le temps où il reçut une subvention

FHOKAM) KT I.A MOUT d'aIU'I.. 235

tic TKlal, ol où il passa sa proinicrc année à rétranger. Mais
bicntùt los jours d'épreuve revinrent, et plus durs que jamais. Vers
la fin de son séjour ù Paris, puis tant qu il resta à ï)Crlin pour la
seconde fois, et pendant le temps d'abandon qui no finit qu'après
son retour dans sa patrie, il se trouva souvent dans les plus
graves embarras, ne se procurant de l'argent qu'avec la plus
grande difliculté. Ajoutons, d'ailleurs, qu'il lui en fallait aussi
pour donner une légère assistance à ses parents dont la situation
était plus malbeureuse encore que la sienne (').

Lorsque Abel faisait des retours sur toutes les tristesses de sa
vie, il advint souvent que sa fiancée, émue d'une douleur profonde
et ne pouvant supporter de l'entendre réveiller tant de sombres
souvenirs, se retira pour être seule quelque temps. Les deux
sœurs de la maison, Hannah et iMario (celle-ci était l'aînée),
se voyaient alors obligées de donner presque tous les soins a
malade, et se partageaient cette charge douloureuse.

Abel plaignait profondément sa fiancée bien-aimée; il sentait
quelle part de responsabilité lui incombait dans le grand malheur
qui allait les frapper, elle et lui; et ne cessait de s'adresser des
reproches dans leurs entretiens intimes. Il se proposait de faire
telle ou telle chose dans le cas où il reviendrait à la santé : il
devait commencer une vie nouvelle; et il s'accusait d'être la cause
des douleurs que sa fiancée allait éprouver.

Reconnaissons- le, en effet, sans trop le regretter — car il y
avait un lien intime entre le génie d'Abel et son infortune — il
fut, en partie, l'auteur de ses propres souffrances. Quand ses
camarades ne voulurent pas le laisser seul, dans l'état de tristesse
où il se trouvait au printemps de 1826, il se laissa entraîner par
eux de Berlin à Dresde, de Dresde à Vienne, et, plus loin encore,
de Vienne en Italie. Alors que ses ressources étaient épuisées et

(^) Il avait, entre autres parents, un frère plus jeune que lui, auquel il fournissait
les moyens de continuer ses études à l'Université. Quand Abel mourui, ce frère dut
s'adresser à Holmboe pour avoir de quoi quitter Christiania et prendre une place de
précepteur. Mieux placé que le reste do la famille, il put continuer dans la suite ses
éludes, et il suivit la carrière ecclésiastique comme son père et son grand-père.

230 NIELS-HENRIK ABRL. — | XV.

que son avenir était devenu plus qu'incertain, bien qu'appartenant
à une famille malheureuse, ruinée, dispersée, il ne sut résister à
la tentation de l'aire à Paris de grands achats de livres. Quelque-
fois enfin et plus souvent qu'il n'était raisonnable pour un homme
dont la situation était aussi précaire, il alla, sans trop calculer,
après des études prolongées, chercher un délassement (dont il
avait peut-être besoin pour se tenir en haleine) dans les théâtres
de Paris ou d'Allemagne.

Malheureusement, il ne pouvait faire ces dépenses qu'en recou-
rant de plus en plus aux emprunts.

En somme, bien qu'Abel — au dire de ses camarades — ne se
montrât pas ordinairement prodigue, il commit une série d'im-
prudences qui finirent par le jeter dans des embarras dont il ne
devait plus se tirer. Alors, il se laissa aller à ses inspirations,
sans se soucier des conséquences !

Au reste, Abel n'était pas généralement triste. Ce n'était que
par moments qu'il était sombre. Son caractère était doux et patient.
Il plaisantait encore, vivement et aimablement, comme autrefois,
avec ses amis attristés. Sa chambre de malade était le lieu où se
réunissaient tous ceux qui s'entr'aidaient pour le mieux soigner.

Pour consoler sa fiancée et lui faire plaisir, il l'entretenait
volontiers de l'heureuse vie qu'ils allaient bientôt mener ensemble
à Berlin. 11 discutait aussi avec elle tous les détails de leur futur
emménagement. Les renseignements qu'il recevait alors lui
permettaient, en effet, d'espérer qu'il obtiendrait une place à
rUniversité de Berlin.

Quand il songeait à cette ville ou à son séjour en Allemagne, il
parlait souvent de Crelle, de ce mathématicien de Berlin qui fut
son traducteur, et avec lequel il avait entretenu une correspon-
dance si suivie. C'était pour ce dernier qu'il avait fait coudre par
les dames do son entourage ces petits cahiers du papier le plus
mince, sur lesquels on le vit souvent écrire avec la plus grande
attention et de son écriture la plus menue. Il parlait également

FUOI.AM) ET I.A MOUT D'AIIKL. 237

d'un proresseur du nom do Jacobi, qu'il avait (') rcnconirc à
Paris, cl (jui TavaiL inlérossé vivement connue clant « h; .seul
qui le conqirît. »

Au contraire, le nom de Lcgcndre n'est pas de ceux que les
intimes dont Abel fut cnlour.; à son lit de mort se rappellent
avoir entendu prononcer par lui. Néanmoins, il dut recevoir,
pendant sa dernière maladie, la très aimable lettre du vieux
mathématicien, pour lequel il avait conservé beaucoup de respect
et d'alFection, bien que son entourage n'en ait gardé aucun
souvenir. Il semble qu Abel ait voulu taire son insuccès à Paris,
insuccès qu'il ressentait comme un allront à son honneur de
savant. C'est ce qui explique peut-être qu'il n'ait pas mentionné
fréquemment le nom de Legendre.

Quoi qu'il en soit, Abel, malgré son silence, était fort préoccupé
du sort de son Mémoire (de 182G). Sans doute, il avait effleuré
cette question délicate dans la lettre, malheureusement perdue,
qu'il écrivit le 3 octobre et qui paraît avoir présenté un grand
intérêt historique et scientifique. Gomme dans sa réponse, si
flatteuse d'ailleurs, Legendre ne lui fournit aucun renseignement
sur ce point, il y revint dans une nouvelle lettre du 25 novembre,
c'est-à-dire peu après son départ pour Froland.

Dans cette lettre, pleine des renseignements les plus précieux
sur ses travaux, il appelait l'attention de Legendre sur (c un petit
Mémoire, inséré dans le ^'^ cahier du tome III du Journal de
Crelley>. Or, il était question dans une note de cet opuscule (les
célèbres Remarques, etc.) d'un « Mémoire présenté à l'Académie
royale de Paris, vers la fin de l'année 1826. y>

La nouvelle réponse de Legendre dut être attendue par Abel,
dont l'état empirait de jour en jour, avec une impatience aussi
légitime que vive : d'une part, on s'occupait sans doute à Paris
de son Mémoire trop longtemps négligé; de l'autre, il gardait un
secret qu'il ne pouvait révéler qu'après avoir reçu les renseigne-
ments qu'il attendait.

(^) D'après la légende.

238 NIELS-HENRIK ABEL. — | XV.

La lettre de Legondro, si chaude et si bonne, parvint-elle à
Abcl? On n'en peut douter, bien quelle fût adressée à Christiania,
et que Ton n'ait pas la preuve directe que le destinataire Tait
reçue. Datée du 10 janvier (1829), elle mit bien un mois pour
arriver à Froland. Elle dut, en effet, passer par Christiania; puis,
après un retard, plus ou moins long, aller à Arendal. De là,
elle ne put partir que par occasion; car la poste s'arrêtait à
l'usine de cette ville maritime. On avait l'habitude à Froland
d'envoyer chercher les lettres par un jeune garçon qui faisait ce
long chemin.

Ce n'est donc que quelques semaines après sa rechute qu'Abel
a pu recevoir la lettre de Legendre, non moins honorable pour
l'un que pour l'autre. Quand elle arriva, après de longs détours,
les forces du malade étaient déjà bien diminuées; il ne lui restait
guère qu'un mois et demi à vivre; et, moins qu'auparavant, il
ne lui était possible de parler et de s'expliquer longuement.

Dans sa lettre si affectueuse (comme nous l'avons déjà dit),
Legendre lui apprenait qu'il savait par une lettre de Humboldt
qu'Abel serait appelé, comme professeur, avec Jacobi, à l'Univer-
sité de Berlin. Mais il ne fournissait aucun renseignement sur le
Mémoire. Évidemnaent Legendre n'avait pas compris l'allusion
que renfermait la lettre d'Abel.

Aussi regardons-nous comme bien difficile de deviner ce qui
dut faire l'impression la plus forte sur Abel dans cette circon-
stance. Ce fut-il les nobles paroles de Legendre, exprimant pour
lui, jeune homme, la plus haute admiration, et s'intéressant
activement à son avenir? Fut-ce au contraire l'assurance (confir-
mée d'ailleurs par Crelle) d'être appelé à l'Université de Berlin,
en même temps que Jacobi (le confident de ses grandes décou-
vertes), mais de l'être au moment où il ne pouvait presque plus
espérer de jouir des avantages qu'on lui offrait si tard? Ou bien,
fut-ce de voir qu'après deux ans et demi de tentatives réitérées
et d'attente, il n'était plus question de son plus beau travail, dont
il était si fier, et qui était perdu pour toujours?

Cette dernière alternative semble la vraie, d'après le récit d'une

rnOI AND KT LA MOUT I)"AIîEL. 2.'59

des diniics qui soignèrent Abcl.— « Du jour », racontc-t-clle, « où
nous entendîmes qifil allait être nommé à TUniversité de Berlin,
nous le vîmes dé[)6rir sensiblement, et ses plaisanteries, naguère
si vives, cessèrent |x>ur toujours. »

Legondre n avait donc pas compris Tallusion si délicate d'Aboi !
Il n'avait pas sufTisamment remarqué la note sur laquelle son
attention devait se fixer; et tant d'elForls multipliés aboutissaient,
non à la délivrance du Mémoire captif, mais à la manifestation
d'une admiration profonde !

Toutefois, le résultat qu'Abel poursuivait fut atteint; mais
indirectement, et sans qu'il ait pu le soupçonner ou seulement
l'espérer. En effet, dans une lettre datée du 9 février, Legendre
parla à Jacobi des communications fort intéressantes qu'il avait
reçues d'Abel, et qui contenaient une si large généralisation de la
belle intégrale d'Euler. Il attira plus spécialement son attention
sur cette matière, en citant le « 4-^ cahier du tome III du Journal
de Crellc, page 313». C'est alors que Jacobi, dans sa lettre du
14 mars, jeta le cri d'alarme, et que les yeux du vieux Legendre
s'ouvrirent.

Mais jamais Abel n'a pu connaître ce fait, si heureux pour lui :
il devait mourir sans en rien savoir et en gardant son secret.

A partir de ce moment, Abel perdit de plus en plus l'espérance
de recouvrer la santé. Par moment, toutefois, il ne voulait pas
croire à une fin fatale de sa maladie. Et son médecin le confirmait
dans ses illusions, pour ne pas lui enlever tout espoir.

Mais le travail de sa pensée ne s'arrêtait jamais. Son cerveau
surexcité ne pouvait retrouver le repos dont il avait tant besoin.
Il semble qu'il pensait à sa gloire perdue, et qu'il avait hâte de la
reconquérir.

Quinze jours avant sa mort, il dit à une des sœurs qui le
soignaient, à Ilannah, dont le mari était marin : « Si j'avais le
bonheur de vivre encore un mois, je deviendrais immortel aux
yeux de ton mari et de tous les marins. » Il essaya ensuite

240 MELS-HI'NRIK AI5KL. — | XV.

d'expliquer en quoi consistai sa découverte. iMais llannah — non
plus que les autres personnes de son entourage — ne put le com-
prendre. Doucement, il en exprima sa surprise. Et, comme on
voyait combien ses pensées Tobsédaient, on sY'llbrça de le distraire
et de changer le cours de ses idées.

Ainsi qu il arrive si souvent aux phthisiques, il se persuada de
temps en temps, jusqu'à Theure suprême, que sa maladie n'était
pas mortelle.

Souvent il restait immobile, pressant ses doigts amaigris, et,
quand le symptôme fatal, avec le dépérissement général, vint se
montrer, il s écria quelques jours avant sa mort : « Regardez donc,
ce n'est pas vrai ce qu on a dit à Paris! Je n'ai pas la phthisie. »

A l'approche du printemps, ses forces étaient épuisées, et sa
fin approchait rapidement. Il allait être séparé de ses projets au
moment où toutes les fatalités qui l'avaient poursuivi étaient sur-
montées et qu'un avenir meilleur semblait prochain. Et celle avec
qui il avait espéré « vivre si heureux », lorsque le moment du
bonheur allait luire, après avoir tant lutté dans l'espoir si court de
jours meilleurs, se trouvait de nouveau abandonnée, après avoir jeté
un coup d'œil fugitif sur un riant avenir. Enfin vint l'heure de la
délivrance. L'agonie de la dernière nuit fut violente; vers le matin
elle s apaisa. Christine fut infatigable! Des bras secourablcs en-
tourèrent le mourant — tant qu'il resta quelque souffle de vie —
pour le maintenir commodément sur sa couche; puis apparut la
froide sueur de la mort. Alors Christine repoussa presque brus-
quement Marie, qui accourait en toute hâte à son aide. — Elle
voulait se réserver à elle seule ses derniers moments.

Le G avril 1829 fut le jour de la mort d'Abcl; à onze heures
du matin, il rendit le dernier soupir, tranquillement et en paix.
Il avait alors vingt-six ans et demi.

Huit jours après, le lA avril, il fut inhumé près de l'église de
Froland, dans le lieu de sépulture, non enclos encore, de la
famille Smith.

rnoiwVNi) i:t i.a .moi t irAFtiii,. ^H

Des villes et des villaj^es d'alentour, on accourut en Ibulc à la
maison mortuaire, pour raccompagner à sa dernière demeure. Le
bruit de sa mort se répandit au loin. Dans ces pays, d'où était
issue sa famille, et où il était connu de[)uis le temps où il gran-
dissait au presbytère de Gjerrestad, et où il visitait h ville de
Uisùr, le fameux Niels-IIenrik avait laissé plus d'un souvenir; et
les paysans et les babitants des villes se transportèrent de plusieurs
lieues, pour lui rendre à l'usine de Froland les derniers devoirs.

Mais dur comme sa vie fut le jour où le long cortège se rendit
ù l'église. L'biver recommença ses rigueurs, un affreux tourbillon
de neige se déchaîna avec furie.

On ne s'apercevait guère, cependant, de la perte que la patrie
venait de faire. Le conseil de l'Université fut informé du décès,
et sans aucun doute cette nouvelle toucha vivement plus d'un de
ceux qui étaient le plus attachés au mort et à l'Université. Mais
aucune marque de sympathie portant un caractère général ne
se manifesta. Aucun journal ne consacra une mention à cet
événement. Une lettre d'annonce, à laquelle peu de gens firent
attention, et qui fut bientôt oubliée, informa ses parents et amis
qu'il n'était plus.

Mais la nouvelle de la perte que venait de subir la science se
répandit au delà de nos frontières. Holmboe, naturellement, en
informa Grelle aussitôt que possible, et le 20 mai la réponse de
celui-ci parvint à Christiania. Par l'intermédiaire du professeur
Maschmann, Crellc avait déjà appris le fatal événement, et il
s'était rendu en toute hâte au ministère de l'instruction publique
pour lui en donner communication. La nomination à Berlin
n'était pas encore ofïiciellement expédiée. Grelle avait alors posé
à Abel la question de son acceptation définitive; mais la lettre
ne parvint à sa destination que quelques jours après la mort
d'Abel. Une annonce du décès, suivie de quelques brefs commen-
taires, parut aussi à l'étranger, et par là le bruit de sa perte
se répandit vite dans le monde mathématique, d'abord en Alle-
magne, et quelque temps après en France. Un nécrologe plus
étendu, destiné à l'insertion dans les journaux allemands et

242 NIELS-HENFUK ADEL. — § XV.

français, fut en môme temps préparé par Grellc ; mais les matériaux
(le ce travail devaient être préalablement recueillis à Christiania.

Déjà, le 42 mai, Schumacher écrivait à Gauss : a Vous avez
sans doute vu dans les journaux la mort d'Abel. Lcgendre a publié
un second Supplément, dans la préface duquel il parle d'Abel de
manière à faire croire qu'il le met au-dessous de Jacobi. Je sais
de vous que c'est précisément le contraire qu'il faut croire. »

Le 19 mai, Gauss répondit : a: La mort d'Abel, que je n'ai vue
annoncée dans aucun journal, est une bien grande perte pour la
science. Si par hasard on imprimait ou devait imprimer quelque
chose touchant les circonstances de la vie de cette tête éminem-
ment distinguée, et que cela tombât entre vos mains, je vous prie
instamment de me le communiquer. Je désirerais aussi avoir son
portrait, s'il est possible de se le procurer. Humboldt, avec qui
j'ai parlé de lui, avait le désir marqué de faire tout pour l'attirer
à Berlin. »

Un peu plus tard encore, le 23 mai, Jacobi envoya à Legendre
un exemplaire de ses Fundamenla nova, qui venaient de paraître;
mais dans la lettre qui accompagne cet envoi, il ne dit rien qui
fasse soupçonner qu'il connût la mort ou même la maladie mor-
telle d'Abel. Chose singulière d'ailleurs! pour la première fois, ce
nom, qui revenait toujours et toujours sous sa plume, et qui se
trouve dans toutes ses lettres, sans aucune exception, depuis celle
du 12 janvier de l'année précédente, ce nom ne paraît nulle part
ici. Et cela à l'occasion de cette œuvre fondamentale qu'il avait
commencée et finie à l'époque où ses pensées étaient toujours
fixées sur les recherches d'Abel. — Toutefois, nous retrouverons
Jacobi dans une autre occasion.

Dans sa réponse du A juin, Legendre adresse ses remercîments
pour l'envoi de l'exemplaire, et ajoute à la fin le posl-scriptum
suivant : «En fermant cette lettre, je viens d'apprendre avec une
profonde douleur que votre digne M. Abel est mort à Christiania
des suites d'une maladie de poitrine, dont il était affecté depuis
quelque temps, et qui a été aggravée par les rigueurs de l'hiver.
C'est une perte qui sera vivement sentie de tous ceux qui sinté-

FROLAND RT I,A MOnT u'Ar.nL. 243

ressent aux proj^rôs de rniiMlyso malhomaliquc, considérée dans
ce quelle a de plus élevé. Au reste, dans le court espace de
temps qu'il a vécu, il a élevé un monument qui sudira pour
rendre sa mémoire durable et donner imc idée de ce qu'on
aurait pu attendre de son génie, ni fala obsletissent. » — Dans
ces derniers mots, on peut voir, pour ainsi dire, le premier germe
de Texclamation bien connue, proférée dans une lettre à Grelle,
au sujet du théorème d'Abel : Moniimentiim œre pcrenniiis! Et
en mémoire de Legendre, ces mots furent, après sa mort, insérés
dans le Journal, comme fac-similé de son écriture.

Le l^ juin, c'est Jacobi qui prend la parole. «Peu de jours
après l'envoi de ma dernière lettre», dit-il, «j'appris la triste
nouvelle de la mort d'Abel. Notre gouvernement l'avait appelé à
Berlin, mais l'appel ne l'a pas trouvé parmi les vivants. L'espérance
que j'avais conçue de le trouver à Berlin a été ainsi cruellement
déçue! Les vastes problèmes qu'il s'était proposés, d'établir des
critères suffisants et nécessaires pour qu'une équation algébrique
quelconque soit résoluble, pour qu'une intégrale quelconque puisse
être exprimée en quantités Unies (*), son invention admirable de la
propriété générale qui embrasse toutes les fonctions qui sont des
intégrales de fonctions algébriques quelconques, etc., etc. (-),
marquent un genre de questions tout à fait particulières, et que
personne avant lui n'avait osé imaginer. Il s'en est allé, mais
il a laissé un grand exemple. »

Peu de temps après, le 50 juillet, Grelle, ayant reçu de
Holmboe quelques renseignements biographiques, date de ce
jour son nécrologe d'Abel, dont nous allons donner quelques
passages (^).

«Tous les travaux de M. Abel portent l'empreinte d'une

(ij II s'agit ici du mémoire de Freiberg, car le commencement du « Précis, etc. »
d'Abel n'avait été publié à Berlin que quatre jours auparavant.

(^) Dans ce double etc., etc., doit être comprise la création des fonctions ellipti-
ques et tout ce qui s'y rapporte. Cela ne se trouve pas annoncé parmi les découvertes
spécialement énumérées.

(3) D'après une lettre de Grelle à Holmboe, datée du 10 mai, Grelle avait appris la
mort d'Abel quelques jours plus tôt par le professeur Mascbmann.

244 NIELS-HENRIK AHKL. — | XV.

sagacité et d'une force de tête extraordinaires et souvent vraiment
étonnantes, même sans considérer h\ jeunesse de Fauteur. H
pénétrait, pour ainsi dire, souvent jusqu'au fond des choses,
avec une force qui semblait irrésistible, les saisissait avec une
énergie si extraordinaire, il les prenait de si haut et s'élevait telle-
ment au-dessus de leur état actuel, que les difficultés semblaient

s'évanouir devant la puissance victorieuse de son génie

Mais ce ne sont pas les grands talents seuls de M. Abel »,
dit-il en terminant, « qui le rendaient si respectable et qui feront
toujours regretter sa perte. 11 était également distingué par la
pureté et la noblesse de son caractère, et par une rare modestie,
qui le rendait aussi aimable que son génie était extraordinaire.
La jalousie du mérite d'autrui lui était tout à fait étrangère. Il
était bien éloigné de cette avidité d'argent et de titres, ou même
de renommée, qui porte souvent à abuser de la science, en en
faisant un moyen de parvenir. Il appréciait trop bien la valeur
des vérités subliujes qu'il cherchait, pour les mettre à un prix si
bas. Il trouvait la récompense de ses efforts dans leur résultat
même. Il se réjouissait presque également d'une nouvelle décou-
verte, soit qu'elle eût été faite par lui ou par un autre. Les
moyens de se faire valoir lui étaient inconnus : il ne faisait rien
pour lui-même, mais tout pour sa science chérie. Tout ce qui a
été fait pour lui provient uniquement de ses amis, sans la
moindre coopération de sa part. Peut-être une telle insouciance est-
elle un peu déplacée dans le monde. Il a sacrifié sa vie pour la
science, sans songer à sa propre conservation. Mais personne ne
dira qu'un tel sacrifice soit moins digne et moins généreux que
celui qu'on fait pour tout autre grand et noble objet, et auquel
on n'hésite pas d'accorder les plus grands honneurs. Gloire donc
à la mémoire de cet homme également distingué par les talents
les plus extraordinaires et la pureté de son caractère, d'un de ces
êtres rares que la nature produit à peine une fois dans un
siècle! »

Ce nécrologe de Crelle ne fut pas seulement inséré dans son
Journal mathématique; il chercha à lui donner la plus grande

l)ul)licito possible, c( pour (|U(! lii nMioininéo li()iioral)lc j), écril-il
à Ilolinlioo, (( ([\w le (léfunt aurait conquise sans aucun doute,
s'il avait vécu plus longtemps, lui revienne après sa n)oit. »
llolinhoe, dans la mémo pensée, ivdiii,ea une bioj^^rapliie \\n [uni
[)lus complète pour le Magazin for Naliirvidenska/jerne. Les
a[)prcciations de Crelle lurent reproduites en môme temps dans
les journaux norvégiens, afin qu'elles parvinssent à la connais-
sance générale de tous les habitants de notre pays.

Il est inutile de reproduire ici ce que Ilolmboe a écrit; cela
coïncide pour tout ce qui est essentiel, avec ce qu'il dit dans
Tavant-propos des Œuvres complètes , publiées en 1839, aux
frais de TÉtat. Il est cependant d'un intérêt particulier pour notre
récit de mentionner les paroles touchantes, ajoutées par Boeck
au tableau présenté par Holmboe de la vie et de Toeuvre du
mathématicien que nous venions de perdre. Nous allons repro-
duire la fin de ces additions.

« A mon retour de Tétranger, en 18ii8, je le trouvai très
découragé; mais après le départ du professeur Hansteen il le
fut encore davantage. La perspective d'un emploi à Berlin, que
lui avaient fait entrevoir les lettres de Crelle, ne lui rendit pas
son courage, comme on s'y serait attendu — bien qu'il en fût
très content, surtout à cause de sa position de fiancé à une jeune
fille, pour laquelle il avait une aftection plus tendre qu'il ne voulait
le laisser voir à la plupart de ses connaissances. Il lui coûtait
beaucoup d'être forcé de quitter la Norvège. Maintes fois, en. me
parlant de sa position future, il disait qu'il était terrible de se
reléguer ainsi soi-même, d'errer à l'étranger, peut-être pour ne
jamais revoir sa patrie. Quand il parlait de ce sujet, il était
toujours ému ; il ne pouvait dissimuler la douleur de ne pouvoir
dans son pays travailler pour sa science. Aussi y avait-il des
moments où il était décidé à repousser toute proposition do
l'étranger, quoiqu'il vît bien l'incertitude de sa position s'il
restait. Il savait qu'au retour de Hansteen, il se trouverait sans
ressources et sans espoir d'obtenir des émoluments fixes. Il
n'attendait nullement, de Li part de l'Université, qu'elle se

24G MELS-HENRIK ABEL. — | XV.

montrât plus énergique, et qu'elle fît pour lui des démarches plus
décisives, — et une telle crainte n était-elle pas trop fondée? —
N'avait-on pas dit qu'on était embarrassé d'Abel, qu'il était
ou qu'il serait plus tard une charge pour l'Université? Et puis il
lui manquait l'examen d'état. Tandis que les hommes de science
les plus illustres se répandaient en éloges sur ses travaux de
génie, ses découvertes et ses mérites scientifiques; tandis qu'une
Université étrangère, une des plus célèbres de toute l'Europe, con-
sidérait comme un honneur de le compter parmi ses professeurs, et
qu'un État étranger voulait pourvoir plus largement à son bonheur
temporel, en lui assurant une position honorable, — il a trouvé dans
sa patrie à peine la reconnaissance de ses talents et pas le moindre
encouragement. Tout cela était bien fait pour abattre ses espé-
rances et son courage. Dans de telles circonstances, il ne trouva
que dans ses études et dans son activité les moyens de s'assurer un
avenir plus doux. Par ses travaux, il dut chercher à mainlenir et
accroître l'estime et la réputation qu'il s'était acquises, et qui
déjà lui avaient ouvert des perspectives plus riantes. Mais ses efforts
ont contribué à sa mort prématurée. Il prenait peu de repos, il
cherchait peu les distractions; des études excessives ébranlèrent
son système nerveux; une immobilité continue exerça une
influence funeste sur sa poitrine; il suffit d'un seul choc, et il
succomba. Son désir que le pays de ses pères recouvrît sa pous-
sière a été exaucé. Maintenant ses soucis sont terminés, il n'est
pas allé chercher son pain sur la terre étrangère, mais la Norvège
a perdu son fils !

» Sa mémoire vit dans le tendre souvenir de ses amis; la pos-
térité prononcera son nom avec respect; l'homme du Nord sera
fier du compatriote qui n'est plus ! »

Ces publications en l'honneur d'Abel ne furent pas sans
influence, ni ici, ni à l'étranger. Nous ignorons quels rapports
elles eurent avec les plaintes portées contre l'Académie des
Sciences de Paris, qui laissa passer encore bien des années avant
de faire imprimer le mémoire de Paris; mais, en tout cas, elles
contribuèrent à diriger l'attention sur Abel et sur son œuvre.

FROLAND KT LA MORT d'ABEL. 2M

L'année suivante, en IcS.'lO, rAcadémic partagea ('gaiement le
grand prix de 3000 francs, pour les sciences mathématiques,
entre Jacobi et les héritiers d'Abel (^). C'était une marque excep-
tionnelle d'approbation des résultats des travaux des deux mathé-
maticiens.

Mais chez nous aussi il se produisit un peu de mouvement dans
les esprits. Le grand honneur qu Abel venait de recevoir, joint
aux paroles de Boeck, produisit un effet considérable. Une plainte
parut dans nos journaux contre le Sénat de l'Université, et celui-ci
eut à défendre sa conduite. De bonne heure, l'Université avait pris
ouvertement et avec vigueur les intérêts d'Abel, et tout le monde
le reconnaissait volontiers; mais on ne peut nier que, dans les
derniers temps, elle eût faibli.

Nous ne nous arrêterons cependant pas plus longtemps à ces
discussions. Une intervention trop faible et trop tardive apparaît
plus d'une fois dans l'histoire d'Abel. Le sombre (( trop tard »
résonne aussi des hauteurs extrêmes de la société, dans ces paroles
du comte v. Platen au prince Oscar : « Le savant Abel a terminé
sa carrière, juste au moment où j'espérais pouvoir répondre aux
désirs, si encourageants pour lui, de votre Altesse Royale. »

Nous allons, en finissant, retourner encore une fois à Froland.

C'est Keilhau que nous introduirons pour envoyer les derniers
adieux à la tombe d'Abel.

Quelques années s'étaient écoulées. Keilhau avait entrepris un
voyage dans le village, — et il était allé visiter le cimetière.

La vue de cette sépulture, sans clôture et sans pierre tumulaire,
pour abriter un si grand nom, «le révolta». Il écrivit alors à
Hansteen et à Boeck, en exhortant les amis du défunt à s'entendre
pour élever à la mémoire d'Abel un modeste monument. Smith,
conjointement avec un pharmacien d'Arendal, avait déjà formé le
projet d'en élever un de son propre chef; mais Keilhau trouva

(*j Les loOO francs furent acceptés avec reconnaissance par la très pauvre famille,
qui se composait de la mère, de la sœur et des cinq frères du mathématicien défunt.

2^lS mrls-henhik arrl. — | xv.

blessant que cet honneur fût rendu par des étrangers. Il ne doutait
nullement que, par une souscription générale, il fût possible
d'obtenir une somme considérable, d'autant plus quà ce moment
le Storthing était réuni ; mais un tel recours au public, pour se
procurer « des dons forcés et faits de mauvaise grâce » , lui sembla
odieux, et «du moins, dans sa tombe » , dit-il, ce notre ami ne men-
diera pas! »

Aussi ne fut-il pas question d'un pompeux mausolée. Cela n'eût
pas concordé avec les sentiments du défunt. Rien que l'aspect
des lieux et les modestes environs auraient contrasté péniblement
avec un monument d'apparat.

((Le cimetière», ajoute Keilhau, en donnant une description
pittoresque du lieu où repose l'illustre mort, <( le cimetière, qui
d'ailleurs, à l'exception de la famille Smith, ne reçoit d'autres
morts que les habitants natifs de la paroisse de la vallée, entoure
la simple église succursale, située sur une colline, à un détour
du Nidelven. Sur les falaises, en remontant la rivière, on aperçoit,
çà et là, quelques fermes. Du reste le pays est une contrée sauvage,
presque uniquement couverte de sombres forêts de sapin, et tout
à fait dépourvue de l'aspect imposant propre à nos grandes vallées.
Pourtant c'est là justement que notre ami a trouvé un dernier asile
si touchant. Cet asile sera rarement visité par un digne apprécia-
teur de son génie ; mais cela pourra bien arriver parfois dans le
cours des années, et alors ce sera lui qu'on viendra visiter. Que
ce voyageur trouve alors un signe sûr et impérissable, au but de
son pèlerinage! y>

Les amis et les protecteurs du défunt se cotisèrent donc pour
lui élever un monument de souvenir et d'immortalité. Il y avait
en tout huit souscripteurs: Treschow, M'""^ Hansteen, Schjelderup,
Holmboe, Rasmussen, Hjort, Boeck et Keilhau. Le tombeau de
Kôrner fut pris pour modèle. La fonte fut coulée à l'usine de
Froland, et l'emplacement entouré d'une grille.

A l'église succursale de Froland, au milieu de ces sombres et
sauvages forêts, s'élève maintenant un monument de fer qui peut
défier les années. Quelque pèlerin saura en trouver l'endroit!

^FFBNDIOB

A P P K N D I O E

Le départ de Dresde. — Séjour à Prague et à Vienne.

Cest à Dresde que pour la dernière fois « les jeunes savants
voyageurs » se trouvèrent tous ensemble réunis. Abel et Keilhau
venaient de Freiberg, accompagnés aussi par MôUer. Huit jours
après arrivèrent Boeck et Tank.

Mais la prolongation de cette réunion ne pouvait guère à la
longue se concilier avec les intérêts différents des voyageurs. Les
idées de Tank, portées vers la poésie et la philosophie naturelle,
s'accordaient peu avec la manière prosaïque de voyager des autres,
et entre les deux géologues, MoUer et Keilhau, se manifestèrent
des opinions divergentes. Le résultat fut donc que Tank et provi-
soirement Môller resteraient à Dresde, tandis que Boeck, Keilhau
et Abel continueraient leur voyage vers le sud.

Il est vrai qu'Abel devait aller à Goettingue et à Paris. Mais il
avait toujours peu d'envie de visiter la première de ces deux
villes, et il était encore trop tôt pour se rendre à Paris. D'ailleurs,
cr il n'était pas bon de laisser Abel seul ; il aurait pris en haine
lui-même et son prochain, et il aurait été continuellement de
mauvaise humeur )). (n Certainement », écrit Boeck, (( Abel n'aura
rien à apprendre d'une telle vie de voyage. Mais il pourra voir
un peu le monde, il fera de bonnes connaissances et perdra de
vue quelques-unes de ses anciennes relations. »

Et puis c'était aussi un bonheur pour Boeck et Keilhau d^ivoir
Abel avec eux. 11 pouvait les aider à faire des observations avec
les instruments que leur avait donnés Hansteen, et il pouvait leur
donner des avis utiles, s'ils se trouvaient embarrassés dans leurs
calculs.

252 APPENDICE. — I I.

Abel, de son côté, sentait que par une telle dépense de son
temps et de sa subvention, sa position deviendrait fausse.

Quant à ces ccmar/nedca)'), il ne s'y entendait que médiocre-
ment; il ne comprenait pas la méthode d'observation, et par
conséquent il n'osait pas faire des calculs de peur d'arriver à une
formule inexacte. Les services qu'il pouvait rendre n'étaient donc
pas, en effet, bien considérables; car les deux observateurs,
installés suivant l'occasion, étaient toutefois forcés d'avoir recours
à Hanstecn pour éclaircir les difficultés trigonométriques.

Évidemment Abel craignait le mécîontentement de son profes-
seur, au sujet de ces plans de voyage, soit qu'il s'agît de visiter
Leipzig ou les bords du Rhin, ou de partir pour le midi. Holmboe
lui faisait moins de peur; cependant il éprouve aussi vis-à-vis de
lui le besoin de se justifier. Et cette défense présente un intérêt
historique, puisqu'elle témoigne à quelle époque reculée il avait
déjà achevé les principales de ses découvertes, notamment celle
des fonctions elliptiques.

(c Tu n'avais pas cru », écrit-il d'abord — dans sa lellre à
Holmboe, datée du 16 avril — le jour même de son arrivée à
Vienne, — (( tu n'avais pas cru, je pense, que j'arrivasse à Vienne;
mais il me semblait que je ne devais pas laisser échapper
la bonne occasion de voyager avec Boeck et Keilhau. lié bien!
je vais encore plus loin; je passe par Trieste, Venise, Vérone,
Turin (pour voir Plana), et enfin, j'arrive à Paris. Cependant
le plan de voyage n'est pas encore bien fixé. Moi, du moins, je
l'abrégerai bien un peu.

» Il doit te sembler bien horrible», ajoute-t-il, (cde gaspiller
tant de temps en voyages; mais je ne crois pas qu'on puisse
appeler cela du gaspillage. On apprend dans un pareil voyage
maintes choses bien curieuses dont je pourrai tirer plus de profit
que d'une étude acharnée dus mathématiques. Outre cela, il me
faut toujours, comme tu sais, quelques périodes de paresse pour
pouvoir faire rage avec des forces renouvelées. Quand je serai à
Paris, ce qui aura lieu, je pense, en juillet ou en août, je com-
mencerai à travailler avec fureur. Je lirai, j'écrirai. J'élaborerai

DKI'AUT 1)K Dnr.SDK. 2^1)

alors mes affaires d'intégration, la théorie des fonctions ellipti-
ques, etc., ce (\U(\ ^rAce à Crellc, j'espéro Lion voir imprimé à
Berlin, quand j'y retournerai. y>

Dans cette défense, il est donc adirmé qu'avant le iO avril 1826,
Abel avait déjà fait faire un pas très considérable à sa découverte
principale sur la (Jicoric des fondions ellipliqnes. Et cela ne
regarde pas moins la théorie des fonctions abéliennes.

La nouvelle théorie des fonctions elliptiques, fondée sur son
ancienne idée de Tinversion et sur la double périodicité, inventée
aussi depuis longtemps, était alors bien mûrie et considérable-
ment avancée. Car sans cela, il n'aurait pas pu dire qu'il voulait
élaborer ces choses, et qu'il espérait les voir imprimées, non
sous forme de mémoires insérés dans un journal, bien entendu,
mais sous celle d'un Ouvrage de plus grande étendue.

Souvent, il fout s'en souvenir, Abel parle de l'éventualité de
faire imprimer des travaux, trop volumineux pour le Journal. Le
30 janvier de la même année, il en parle encore, et cela précisé-
ment au moment où, grâce à son actif concours, le journal allait
paraître, et où les mémoires arrivaient l'un après l'autre pour être
publiés. Dans sa lettre à llansteen, datée de ce jour, il ne fait
cependant qu'exprimer en général l'espérance d'avoir un éditeur
de ses recherches sur le calcul intégral. Les fonctions elliptiques
ne furent pas cette fois mentionnées expressément.

Abel, Boeck et Keilhau effectuèrent donc leur départ de Dresde,
et maintenant l'intérêt se concentre principalement sur les petits
événements de chaque jour.

Au passage do l'Erzgebirge, dit-il, il tombait de la neige. On
était dans les derniers jours d'avril. Mais quand les voyageurs
furent descendus dans la vallée, ils y trouvèrent le plus beau
temps du monde, et une contrée belle et fertile s'étendait devant
eux. Tout était changé, raconte Abel, depuis qu'ils avaient franchi
la frontière de Bohême; — les gens et le pays. On voyait partout
des statues de saints le long des chemins. Celle qu'on rencontrait

254 APPi'NnfCE. — I I.

le plus souvent était celle de saint Népomucène. Mais à côté de
ces statues, stationnait une foule de mendiants, surtout d'aveugles;
ils restaient sur le chemin toute la journée.

Le premier jour, ils arrivèrent à Teplitz, lieu renommé déjà de
C(i temps par ses bains chauds, et où pendant les mois d'été
affluait une foule énorme de personnes riches, malades ou non.
Plus loin on passa par le Mittclgebirge, d'où s ouvre une large
vue sur la Bohême. Cela avait Tair d'une plaine immense.

Le jour d'après ils arrivèrent à Prague; c'était le troisième
jour depuis leur départ.

Ils avaient projeté de rester deux ou trois jours dans cette ville.
Mais ils y demeurèrent toute une huitaine, Eoeck y ayant trouvé
plusieurs objets d'histoire naturelle qui l'intéressaient.

Abel pendant ce temps parcourait la ville pour en visiter les
curiosités et jouir de la vue du paysage et de la cité. « Une partie
de celle-ci », raconte-t-il, « est située à une grande hauteur; elle
s'appelle le Hradschin. D'une tour qui y est construite, on a une
vue épouvanlahle ; par un ciel clair, on peut voir, dit-on, le
Miltelgebirge, l'Erzgebirge et le Piiesengebirge. » Abel y monta,
nuiis il ne vit rien. Cependant il trouva que Prague n'était pas
(c une laide ville », et qu'elle est fort bien située.

(( Derrière le Hradschin », ajoute-t-il encore, (cse trouve l'Ob-
servatoire dont se servit Tycho Brahe. A présent on en a fait un
établissement militaire. Mais dans une des innombrables églises
de la ville, on voit son tombeau. »

Naturellement Abel n'oublie pas le théâtre de Prague. W aime
l'art dramatique à la folie. Ce théâtre était aussi un des meilleurs
d'Allemagne, et là il vit Eslair dans le rôle de Guillaume Tell.
Eslair était un artiste de Munich, qui était considéré comme le
meilleur acteur de l'Allemagne. Abel aussi fut entièrement
captivé. « Ah ! » , s'écrie-t-il, « tu aurais vu ce que c'est que jouer ! »

Le jeune habitant du Nord trouva le ton des gens de Prague
assez grossier. Garder au théâtre le chapeau sur la tête! Et à

AniUVKK A VIENNE. 25?)

l'estaminet — oui donc, là il n'est pas gentil. Des individus à
mine suspecte se rencontrent partout, et aussi des femmes avec
de grandes cruches à bière devant elles.

« La consommation de bière », dit-il, <( est très grande dans les
États d'Autriche où nous avons été jusqu'ici. La première question
qu'on vous fait dans un lieu public, c'est : Sc/iaa/fens Bicr,
Gnaaden? Mais nous nous en tenons toujours aux vins qui,
d'après mon goût, sont fort bons ici et pas trop chers. Deux
bouteilles de bon vin coûtent environ un mark et demi en argent
de Norvège. Mais on peut aussi avoir du vin à quatre ducats la
bouteille. y>

Abel alla visiter à Prague un professeur d'astronomie, David.
((C'est un vieux grognon j), dit-il, (cet ce monsieur semblait
avoir peur des étrangers, d Abel en conclut que ses connaissances
devaient être très minces. «A Prague», poursuit-il, «il existe
un autre mathématicien, Gerstner, que l'on dit très fort. Mais
apprenant qu'on lui donnait le nom de vétéran, j'eus peur; car
ce nom est ordinairement réservé pour les gens qui ont fait
autrefois quelque chose, mais qui, à présent, ne valent plus rien.
Aussi fis-je bien de ne pas y aller, car, à ce que j'ai entendu dire,
il ne peut presque ni voir, ni entendre. »

(( De Prague, nous sommes partis dans une voiture de louage
qui devait nous conduire à Vienne pour le prix de 2i écus (*), ce
qui n'est pas trop cher, vu que la route est longue de presque
40 milles de Norvège. Nous roulions fort commodément dans une
voiture vitrée (Glasiuagen) . A quelques milles de Prague, nous
voilà tout près de l'Elbe, et nous pûmes voir le Riesengebirge
couvert de neige. Nous avions une chaleur de près de 20 degrés,
ce qui nous gênait particulièrement dans les observations magné-
tiques que nous faisions d'ordinaire deux fois par jour, midi et
soir. Sur la route de Vienne, on voit un nombre prodigieux de

(1) 133 fr. 44 c.

256 APPF.M)irj:. — | i.

villes, et ici Ton ne fait presque pas attention à ces villes qui
chez nous ne seraient pas regardées comme si insignifiantes.
Dans les auberges où il nous est arrivé de passer quelque temps,
nous étions ordinairement très bien, et le prix était modéré;
cependant nous n'avons pas trouvé à beaucoup près la propreté
de TAllemagne du Nord.

» Le pays au sud de Prague n est pas aussi plat que la partie
du nord, mais très fertile. Quand on pénètre en Moravie, le pays
prend, en revanche, une physionomie assez stérile et ressemble
à beaucoup de contrées de la Norvège. Mais quand on entre en
Autriche, il se transforme tout d'un coup. L'Autriche est le pays
le plus fertile que j'aie vu; et si bien cultivé! Pas un endroit
qui ne soit ou un champ ou un vignoble. Il est arrivé souvent
qu'autour de nous, aussi loin que nous pouvions voir, nous
n'apercevions que des champs. Les terres servant de pacage ne
se rencontrent que fort rarement.

)) Après avoir voyagé en voiture pendant quatre jours, nous
arrivons à Yienne peu de temps avant le coucher du soleil. A une
très grande distance, nous pouvions déjà voir le haut de la tour
de saint Etienne, qui est immensément haute. Quelque temps après
toute la ville passa en revue devant nous, et un peu plus tard, nous
traversons une branche du Danube. Après avoir subi une visite
indulgente, nous roulons à travers Leopoldstadt et, passant par
le Ferdinands Brucke, nous entrons dans la ville, et nous descen-
dons à l'hôtel le plus cher, dit l'hôtel « Ziim ivilden Mann ». Nous
sommes encore ici, mais nous délogerons aujourd'hui. Nous avons
retenu des chambres privées, au prix de 30 fl. par mois, environ
15 écus. C'est très cher.

» Il fait cher vivre à Vienne, le séjour coule beaucoup surtout
aux étrangers. Nous payons notre dîner au moins un demi-écu
par tête, et cependant il serait mal de nous accuser de vivre
somptueusement, surtout relativement aux Yiennois qui mangent
énormément.

y> L'autre jour, nous avons été chez un oncle de Môller qui
demeure ici dans la ville, et qui s'est converti depuis longtemps

sf:Joun A vii-NNK. 2')7

au catholicisme. Il nous a reçus fort bien et nous a invités à
dîner chez lui. H a pres(|ue oublié h parler le norvégien, mais il
le comprend fort bien. H est marié, et il a un fils adulte. Nous
avons aussi été chez Tambassadeur de Suède, et nous sommes
tous invités chez lui pour demain. »

«Il se dépense d\\illeurs une ([uantité épouvantable d'argent»,
dit Abel dans un passage précédent. — Il y a en général beaucoup
(ï épouvantable et d'e/froyable dans sa lettre de Vienne. — (iW
faut demeurer dans un hôtel et cela coûte énormément cher. Et
puis, ajoutez à ceia qu'ici, à Vienne, il y a des occasions du

diable de vivre à gogo » — Ici des mots indéchiffrables, —

c( L'autre jour, j'ai observé quelqu'un qui, en commençant son
repas, déboulonna ses culottes. Il s'en donna une terrible charge.

y> Vienne est une grande ville, auprès de laquelle Berlin dispa-
raît. Une foule immense dans les rues qui en partie sont étroites;
rien que des maisons (à cinq, six, sept étages) et une infinité de
boutiques, d'églises, etc. La plus haute tour, celle de Saint-Etienne,
est l'édifice le plus élevé que j'aie jamais vu. Je demeure tout
auprès. L'intérieur (c'est de celui de féglise que je parle) est
magnifique, et l'on s'y tue à travailler pour le catholicisme. Ce
culte a vraiment beaucoup de solennité, et il ne faut pas s'étonner
que la foule y tienne beaucoup.

» Vienne a cinq théâtres, qu'il me faut visiter tous; l'un est
dans la ville, les quatre autres dans les faubourgs. Parmi ceux-ci,
il y en a un qui se distingue; il est situé dans le faubourg de
Léopoldstadt, et l'on y a l'occasion d'y étudier les Viennoises; —
on n'y joue à peu près que des pièces qui concernent la ville de
Vienne, particulièrement ses habitants des classes inférieures. La
foule qui le fréquente y est énorme. Ce théâtre s'appelle Beim
Casperl, parce que le rôle comique a continuellement été celui
d'un Schildknappe (écuyer) nommé Casperl. A présent, on voit
plus souvent le fabricant de parapluies Slaberl, la classe ouvrière
de Vienne en personne, un personnage extrêmement comique. J'y
ai été une fois, et je me suis bien amusé. Les spectateurs sont
furieusement remuants; ils applaudissent et font du tapage sans

258 APPENDICR. — I I.

cesse. La plupart des pièces qu'on y joue ne sont du reste qu'un
tissu interminable des sujets les plus absurdes et des caricatures
les plus exagérées. Mais les acteurs sont excellents.

» J'ai été aussi dans un autre théâtre, le Théâtre Impérial et
Royal, qui est très grand. On y donnait une fort bonne pièce, et,
comme on peut le croire, on Ta jouée extrêmement bien. Quelle
jouissance délicieuse qu'un excellent théâtre! Yoilà quelque chose
qui nous manque tout à fait et que nous n'aurons probablement
jamais. — Il est aussi fort utile d'y aller à cause de la langue. On
y entend ce qu'il y a de meilleur et de plus pur. Je puis dire que
ce que je sais d'allemand, je l'ai appris dans les théâtres de
Berlin, car ailleurs je n'ai eu que peu d'occasions de l'entendre
parler. A présent cela va assez bien, et je puis me tirer d'affaire
partout sans être gêné. Je crains plus le français; cependant cela
ira bien aussi, quand je serai un jour là où il faut le parler.

t> Les étrangers sont ici fort observés, et on est tellement
questionné que cela nous paraît étrange. Keilhau a été interrogé
sur ce qu'était son père, et il a été obligé de raconter toute
l'histoire de sa vie. — Pour avoir la permission de rester à Vienne,
il faut présenter des garanties constatant qu'on a assez pour se
soutenir. »

Quelques jours plus tard, le 20 avril, Abel continue sa lettre.
Il fait froid et il vente, et c'est avec beaucoup de peine qu'il peut
écrire. L'écriture de cette longue lettre, rédigée à la hâte, n'est
pas par conséquent facile à déchiffrer, d'autant moins qu'elle a
été écrite en long et en travers, de manière que le tout forme un
réseau de carreaux.

Il raconte quil avait dîné chez l'ambassadeur de Suède, le
baron Croncberg. Il ne s'y trouvait que les trois Norvégiens, trois
dames, le baron et sa femme. Ce fut un vrai dîner de Vienne. On
mangea énormément, surtout la belle-mère du baron, eine geborne
Wienerin. «Moi, je ne manquai pas l'occasion non plus», dit
Abel, (( mais, à vrai dire, je n'ai nulle envie de recommencer. »

Sl^JOUR A VIENNE. SîiO

Croîle, comme nous Tavons dit plus liaut, av.iit muni Aboi de
lettres de reconnnandation auprès de Biirg et de Littrow. Biirg
n'était encore que professeui' à TEcoIe Tolytechnique, mais il était
sur le point dVHre nommé professeur à TUniversité. En ce moment
il n'était pas à la ville, mais Abel espérait cependant lier connais-
sance avec lui cliez Littrow. Celui-ci aussi était impossible à
trouver. Abel le découvrit enfin à force de questions; il se
présenta un jour de très bonne heure chez lui, — à sept heures
du matin.

Littrow était très afliible et il le reçut de la manière la plus
obligeante; ils causèrent de différentes choses, et Abel fut invité
à venir le voir souvent, et surtout à dîner chez lui le dimanche
suivant.

Abel le dépeint comme un homme fort affable. Il avait la taille
de Hansteen, à qui il ressemblait aussi beaucoup. «Mais on dit
aussi qu il a la tête près du bonnet», écrit-il à son correspondant.
« Quand il est contrarié, il est vif comme la poudre. »

Abel voyait très souvent Littrow, et il se trouvait certainement
fort bien au milieu du nombreux cercle qu'il y rencontrait. Car
ici tout le monde était plein de vie et de gaieté. On y trouvait
toujours Toccasion de discuter «des sujets énormément intéres-
sants. ))

«C'est un homme tout à fait excellent)), dit-il — dans une
lettre envoyée plus tard à Hansteen — « et il a une femme on ne
peut plus affable, avec laquelle il a eu douze enfants quoiqu'elle
n'ait que trente-quatre ans.

» Elle est Polonaise)), poursuit-il, — en esquissant à petits traits
cette agréable vie de famille, « et elle prise beaucoup. Dans sa
jeunesse, elle a aussi fumé comme un turc. x\insi s'exprimait son
mari. En revanche, elle raconta maintes jolies histoires sur lui. ))
Il n'est peut-être pas sans intérêt de noter qu'il fut invité par
Littrow à envoyer des articles aux Annalen der Sternwarte. A
cela, il répondit que naturellement il voulait profiter de cette
bonne occasion. Selon toute probabilité, il n'a eu dans la suite
aucune relation avec Littrow ; toutefois c'est un point sur lequel

260 APPENDICK. — I I.

on n'a pas une complète certitude. Aboi se prononce d'ailleurs
avantageusement sur un cours d'astronomie élémentaire et popu-
laire que Littrow venait de publier, et il annonce que la troisième
partie de son cours d'astronomie théorique, embrassant la partie
physique, allait bientôt paraître.

Revenons de nouveau sur la lettre de Vienne : il y est encore
dit une chose qui n'est pas sans intérêt. Holmboe demande la
permission d'Abel pour faire insérer dans le Magasin quelques
uns des mémoires qu'il avait laissés à Christiania. Il désirait
aussi avoir l'opinion d'Abel sur quelques expériences scientifiques
qu'il avait entreprises. Abel y répond ainsi :

« Quant à tes recherches sur les formules pour l'expression
de % et d'autres arc tang, je n'ai pas encore vu les formules
dont tu parles. Je crois que le tout, bien lié ensemble, sera d'un
bon effet. Quant à mes mémoires, je pense que ce qu'il y a de
mieux à faire, c'est de ne pas s'en servir trop, vu qu'ils ne
s'accordent pas précisément avec le Magasin.

7> D'ailleurs, ce que tu as déjà et plus encore est avec le plus
grand plaisir à ton service. »

Dans l'enveloppe de la lettre de Vienne, il est écrit : ce Frauen-
hofer est très malade et probablement mort. » Le cachet porte le
monogramme B. M. K., et il est donc celui de Keilhau. Du reste,
la lettre a été envoyée entre le 20 et le 30, elle est arrivée à
Berlin le 30, à Stralsund le 4 mai, et a été reçue à. Christiania
le 13 mai. Il a donc fallu à peu près un mois pour que cette lettre
parvînt, et elle n'a pas passé par Hambourg, ainsi qu'elle aurait
dû le faire.

LKTTIŒ DE BOTZIÎN. 201

II.

Âbel à Holmboe.

« Bolzano (Botzen, flans le Tyrol italien), le 15 juin 1820.

y> En ce moment, je viens de recevoir ta lettre datée du 2:2 mai,
et je t'en fais mille remercîments; car tu ne peux pas croire quel
plaisir j'ai à recevoir des nouvelles du pays et surtout de toi.

D J'ai reçu la lettre ici à Botzen; à mon passage à Venise, il y
a huit jours, elle n était pas encore arrivée. Tu peux juger par
là avec quel soin je compte le temps.

» Je suis bien content qu en somme tu prennes plaisir à mon
voyage, et je crois aussi que le plan n'est pas trop mal conçu. Tu
ajoutes que cela doit être une vie bien heureuse; or, je ne vou-
drais pas pour beaucoup avoir manqué ce voyage ('); mais tu seras
peut-être étonné quand je te dirai que je suis fort satisfait d'être
arrivé à ce point et de me trouver hors de l'Italie.

y> Ce que je viens de voir m'a intéressé infiniment, mais c'est
un pays du diable pour les voyageurs. Je vais te raconter mon
voyage en peu de mots.

» Je quittai Vienne en compagnie de Moller et de Tank, le 25
du mois passé, à dix heures du soir, par la soi-disant Eilpost —
(ainsi appelée, parce qu'elle marche assez vite, pas aussi vite
cependant qu'on va d'ordinaire en Norvège. Dans l'Allemagne du
Nord on donne à un tel véhicule le nom de Schnellpost ou, par
moquerie, celui de Sneelpost, parce que là elle se traîne un peu
plus lentement) — pour me rendre à Graz, ville située à vingt et
quelques milles (de Norvège) de Vienne. C'est un sentiment bien

(*) Le texte original contient une erreur d'écriture qui fait dire à l'écrivain le
contraire de sa pensée. Nous l'avons corrigé d'après l'évidence du sens.

262 APPENniCK. — I il.

étrange que celui de quitter pour toujours une ville aussi grande
et assez variée, surtout quand on s'y est bien amusé. J'étais de
mauvaise humeur et je passai une nuit fatale, presque sans dor-
mir, ainsi que tu peux bien te l'imaginer. La première chose que
je fis, quand le jour vint à poindre, fut d'observer mes compa-
gnons de voyage, et après quelques méditations je découvris
que, sans compter nous trois, il se trouvait dans la voiture deux
Allemands, trois Italiens, d'affreux drôles, surtout un « Kaufmann
von Venedig » qui faisait un tapage terrible.

» Entre Vienne et Graz, à peu près à mi-chemin, on traverse un
col des Alpes, le Simmering, et c'est par là que communiquent
l'Autriche et la Styrie. Ici le paysage commence à devenir fort
beau; je croyais être en Norvège, tant est grande la ressemblance
entre notre pays et la Styrie. Le chemin traverse une vall'e assez
étroite arrosée par la Mur, qui contribue beaucoup à animer la
scène. A chaque moment un nouveau site charmant ; mais si le pays
était beau, les habitants ne l'étaient guère. Partout on rencontre
des individus couverts de goitres. C'est horriblement dégoûtant.
On dit que cela vient de l'eau. Au sud de Graz, cette maladie ne se
voit que rarement.

» A huit heures du soir nous arrivâmes bien fatigués à Graz,
et après avoir soupe on se mit au lit. Le lendemain, Môller et
moi, nous allâmes contempler le paysage, qui est extraordinaire-
ment beau; on a surtout une vue charmante d'une montagne située
tout près de la ville. Au moment où je m'asseyais pour dîner,
Boeck et Keilhau se présentèrent à la porte (*). Ils étaient partis
à pied de Yienne quelques jours avant notre départ. Ils avaient
pris une autre route et s'étaient amusés magnifiquement; mais ils
avaient été très incommodés par la neige. Cette rencontre nous
fit grand plaisir, car nous ne savions pas ce qu'ils étaient devenus,
et ce ne fut que par un coup de hasard qu'ils arrivèrent à nous
rejoindre.

» Graz est une belle ville qui a 40000 habitants, un nouveau

(1) L'écrivain fait ici un jeu de mois impossible à traduire.

LETTRE DE BOTZEN. 203

joli thcàtro, où nous allions tous les jours, car il fallait mainte-
nant faire nos adieux au théâtre allemand qui nous avait donné
beaucoup de jouissances.

3) Le 29 mai, j(^ quittai Graz en compagnie de Bocck, de
Keilhau et de .Môller. Nous avions loué un Lohnkuiscker qui devait
nous conduire à Triestc en quatre jours et demi, moyennant
M 11. (environ 21 spd. de Norvège). Nous fîmes un très agréable
voyage. Le paysage est fort beau. Des champs fertiles, de grands
fleuves (la Mur, la Save et la Drave) et de hautes montagnes
font beaucoup d'effet. Les nuits que nous passions n'étaient pas
au contraire aussi agréables; car les auberges sont mauvaises.
Tout est si sale! et à bon marché cependant. Ce que nous vîmes
de plus remarquable pendant le voyage, ce fut la galerie souter-
raine bien connue auprès d'Adelsberg, à quelques lieues de Trieste.
Cette cavité s'étend à plusieurs lieues dans la montagne, et il faut
24 heures pour arriver à la limite où Ton est parvenu jusqu'à
présent. Elle s'étend encore plus loin, mais là on est arrêté par
un profond et large trou. Nous n'y fîmes qu'un petit bout de
chemin. Au travers de la même montagne passe aussi un fleuve
qui coule pendant trois lieues sans être visible à Toeil humain.
Nous le vîmes entrer et sortir.

» Le cinquième jour nous entrâmes en Italie et nous dînâmes
dans la première ville italienne, Sissena. Les habitants étaient
allemands, mais le dîner était italien, du macaroni, etc. Il fallut
nous contenter de plats maigres, vu que c'était un vendredi.

» Le vin rouge s'appelle ici vin noir, et peu s'en faut qu'il ne
mérite ce nom. Il a l'air d'être colossalement bon; mais c'est
presque toute sa qualité.

;) Nous n'étions pas loin maintenant de la mer, et bientôt nous
arrivâmes près d'un endroit d'où on pouvait l'embrasser d'un
coup d'œil. Nous descendîmes de voiture pour mieux jouir du
paysage. Tout à coup, sans y penser, nous avions les flots d'Adria
s'étendant devant nos yeux. Bien au-dessous de nous Trieste, et là,
dans le golfe, toute une foule de navires. D'une part nous voyions
la côte d'Istrie, d'autre part celle de la Vénétie. La vue était en

264 APPENDICE. — § II.

effet très belle, cela ne peut être nié; cependant il s'en faut de
beaucoup qu'elle puisse être comparée à celle de l'Egeberg (i). Mais
sur nous, privés depuis si longtemps de l'aspect de la mer, elle
faisait naturellement une impression de plaisir, d'autant plus que
c'était l'Adria que nous contemplions.

)) Nous descendîmes la falaise et peu de temps après nous
étions à Trieste où nous nous logeâmes aW Albergo alV Aquila
nera (Ziim schwarzen Adler). Pour nous tirer d'affaire,
il nous fallait caqueter en quatre langues, en norvégien, en
allemand, en français et en italien, et de ces quatre langues nous
nous sommes servis à tour de rôle tant que nous sommes restés
en Italie.

)) La première chose que nous fîmes c'est d'aller prendre un
bain de mer. Pour nous procurer un bateau nous eûmes beaucoup
de difiiicultés, car personne là-bas ne comprenait ni l'allemand ni
le français, et nos connaissances en italien étaient fort minces.
Enfin une cinquième langue nous tira d'embarras ; nous tomba-
mes par hasard sur un matelot anglais, et Môller parle anglais.

)) Trieste est une fort belle ville de 36000 habitants et d'un
commerce très actif. 11 y fourmille des gens de nations sans
nombre. On y trouve bien tous les peuples de l'Europe, y compris
des Turcs et des Grecs, puis des Arabes et des Egyptiens. Dans
le port étaient aussi quatre bâtiments norvégiens chargés de
poisson, deux de Bergen et deux de Drontheim. Nous sommes
montés à bord de trois d'entre eux ; nous avons invité un des deux
capitaines de Bergen, ainsi qu'un autre Norvégien nommé Larsen,
et nous avons nagé dans les plaisirs de la dégustation des vins
classiques.

» J'ai remis un bout de papier par le patron de Bergen à
l'adresse du lecteur Bohr, en lui envoyant quelques livres avec
prière de te les remettre. Je te prie de les recevoir et de les
garder jusqu'à mon retour.

)) A Trieste j'ai vu pour la première fois une comédie italienne

(i) Christiania est situé au pied de l'Egeberg.

LETTriE DE BOTZEN. ^265

«// Dottore e la Morte)). A rcxtéricur du théâtre on avait fait
peindre les scènes les plus remarquables avec les titres en
lettres longues d'une aune.

» Le 7 juin à minuit nous quittâmes tous les cinq Trieste par
le bateau à vapeur pour nous rendre h Venise. A huit heures
nous en aperçûmes légèrement les tours, et peu de temps après
nous étions à fancre dans cette ville singulière. Je ne pouvais
me figurer que je me trouvais réellement à Venise. Nous étions
tout près de la célèbre place Saint-Marc. Nous fûmes bientôt
entourés d'une infmité de gondoles, qui toutes voulaient gagner
quelque chose. Ces gondoles sont longues et étroites; elles ont
comme une petite maison placée au centre, dans laquelle on est
assis et où Ton est conduit à l'aide d'une rame.

y> Nous prenons Tune de ces embarcations, après avoir traité
du prix cependant, car sans cela on serait rançonné; tout le
monde à Venise ne songe qu'à marchander. Il y a une telle
infinité de fainéants, de mendiants et de filous qu'il faut toujours
être sur ses gardes. Nous descendîmes à l'hôtel de l'Europe, qu'on
nous avait recommandé comme un des meilleurs, mais il était
suffisamment mauvais et passablement cher.

» Nous fîmes venir un domestique de louage pour nous
conduire dans la ville et nous en faire voir les curiosités. Nous
louâmes deux gondoles et nous nous mîmes en route; car comme
en d'autres villes on va en voiture ou Ton se promène à pied dans
les rues, ici l'on parcourt des canaux, qui remplacent les rues.
On peut cependant à Venise arriver aussi partout à pied, mais les
rues étant très étroites et très tortueuses, on préfère aller en
bateau.

» C'est une vue mélancolique que la traversée de Venise. Partout
on voit les traces d'ancienne magnificence et de misère présente.
De superbes palais entièrement déserts, et beaucoup sont presque
en ruines; des maisons horriblement laides dans lesquelles une
ou deux chambres peut-être sont occupées; des ruines de bâti-
ments tombées à terre ou démolies et qui ont été belles dans
leur temps. Tout porte le témoignage de la décadence. On compte

266 APPENDICE. — I II.

que plus de la moitié de la ville reste déserte. Venise n'a
plus maintenant que 80000 habitants. Le lieu le plus remar-
quable de la ville est la place Saint-Marc. C'est une place magni-
fique, entourée des plus beaux édifices avec des colonnes à l'infini.
Cette place est surtout animée le soir et bien avant dans la nuit.
Le public visite alors les innombrables cafés qui se trouvent sous
les colonnades. D'un côté j'en comptai 25, dont plusieurs très
grands. De l'autre côté, il y a de splendides boutiques.

» Sur la place Saint-Marc il y a une tour isolée très haute, la
tour Saint-Marc. Nous en avons fait l'ascension jusqu'au sommet,
nous avions là une vue ravissante de la ville. C'est une vue sans
doute la seule de son espèce; car partout on voit de l'eau et
pas de terre, si ce n'est dans le lointain. Vis-à-vis de la tour est
située la pompeuse église de Saint- Marc, construite toute en
marbre avec les ornements les plus splendides. Presque tous les
murs sont incrustés de mosaïques, le sol également, etc. Tout à
côté de l'église se trouve l'ancien palais des Doges, sous le toit
duquel on voyait autrefois les Plombs de Venise, connus par
l'histoire de Casanova. Ils ont été détruits par les Français.

» Je pourrais te raconter encore beaucoup de choses sur Venise ;
mais il faut me résumer, puisque j'ai encore à écrire aujourd'hui
à ma fiancée.

)) Le 10, nous quittâmes Venise et nous nous rendîmes sur deux
gondoles à Fussina, où nous avons loué un vetturino pour nous
conduire à Padoue. Peu de temps après nous y étions installés et
nous nous trouvions à l'aise maintenant dans une voiture excel-
lente, grande et spacieuse. Nous suivions le cours de la Brenta, à
travers le pays le plus fertile et le mieux cultivé qu'on puisse
imaginer. Toute cette contrée était plate comme la mer et ressem-
blait à un grand jardin. Partout des champs labourés, des vignes
et des arbres fruitiers.

y> Après un voyage de six heures nous étions à Padoue, une ville
horriblement laide, la plus laide que j'aie jamais vue. Après avoir
visité quelques églises, etc., — nous vîmes entre autres choses la
maison habitée par Tite-Live, et qui a été conservée jusqu'à

LETTRR DE BOTZEN. 267

présent — et après y avoir passe un jour et une nuit chèrement
payes dans une mauvaise aiilierj^e, nous partîmes le lendemain pour
Vicence, située dans un charmant paysage. Nous y avons dîné et
le soir, après un agréable voyage, nous sommes arrivés à Vérone.

)) iNous sommes allés voir plusieurs des curiosités de la ville,
par exemple, une porte du lemps des Romains, un pont construit
par Vitruve sur TAdige qui traverse la ville et avant tout un
immense amphithéâtre de l'antiquité, pouvant contenir ^.'UiOO
spectateurs. — Le 12 nous avons quitté Vérone, et en suivant
des lors le cours de TAdigo à travers une vallée étroite, bordée
de montagnes d'une énorme hauteur, nous descendons dans le
Tyrol. Hier l/<' juin, nous sommes arrivés à Botzen. A présent
nous allons faire pendant quelques jours une excursion à la vallée
de Fassa et dans les régions montagneuses. Puis nous nous ren-
drons en toute hâte à SchatThouse, d'où nous partirons, Moller et
moi, directement pour Paris, et j'espère y arriver dans un mois
ou plus tôt. Pour Paris, j'ai reçu une lettre de recommandation de
Litlrow adressée à Bouvard, et cette lettre, je pense, me sera fort
utile, car elle est bonne.

3) N'oublie pas maintenant, je te prie, de m'écrire tout de suite
et de m'envoyer autant de nouvelles que cette fois, à l'adresse
suivante: Mallet frères, à Paris. J'aurais voulu t'écrire encore
beaucoup d'autres choses, mais je suis pressé, et il faut donc que
je finisse. Quand je serai à Paris, je le ferai mieux (quand j'aurai
reçu ta lettre).

)) Salue bien Hansteen et madame Hansteen de ma part. Si la
lettre est en route, je la recevrai bien. Fais-lui aussi compliment
de sa décoration, il fallait bien qu'elle arrivât un jour.

)) Salue mes amis que tu verras, et n'oublie pas absolument
de m'écrire tout de suite.

y> Ton ami,

)) N. H. Abel. ))

(') Le cachet porte une forge derrière une maison avec l'épigraphe: Bene qui
caluit bene vixit, et avec les initiales N. B. M. (MôUer).

268 APPENDICE. — § III.

III.

Voyage à Paris. Séjour dans cette ville.

Abel, avec Môller qui était venu le rejoindre, poursuivirent
maintenant leur voyage de Botzen vers Paris. Ils allèrent par
Innsbruck au lac de Constance; puis ils tirent une pointe de quel-
ques jours en Suisse en passant par Zurich, Zug, le lac des
Quatre-Cantons, et gagnèrent Bâle par Lucerne. Chemin faisant, ils
firent l'ascension du Rigi pour jouir de la vaste perspective que
Ton a de son sommet sur les Alpes Suisses. De Bâle enfin, après
un voyage sans interruption de trois jours et quatre nuits, ils
arrivèrent à Paris le 10 juillet.

Keilhau resta dans le Tyrol. Mais il avait fintention de se
rendre à Paris, tandis que Boeck alla par Zurich à Munich pour
y reprendre ses études physiologiques. Tank, comme nous
l'avons vu, avait déjà quitté la compagnie.

Cependant Abel ne demeura pas longtemps avec Môller.
Fatigué de la vie de voyage, qui durait depuis longtemps, celui-ci
retourna au milieu d'août, ou peut-être un peu plus tard, en
Norvège. C'était à cette époque que Keilhau était attendu à Paris,
et avec lui Abel avait espéré ((de camper pendant l'hiver » ; mais
cet espoir ne fut pas de longue durée.

La vie distrayante des vacances, qui se prolongea jusque dans
les premiers temps du séjour à Paris, avait essentiellement
contribué, sans doute, à mettre Abel en état de se remettre au
travail avec de nouvelles forces. Et c'était un travail d'une haute
importance qui l'attendait à présent. Assez de temps toutefois
avait été perdu; car le but de son séjour à l'étranger était d'étudier,
et c'était pour cela que des moyens lui avaient été accordés aux
frais de l'État. Aussi, après tant de voyages, les embarras écono-
miques devaient certainement recommencer, Hansteen ne pouvait

amrivkf: a paris. 260

donc voir avec plaisir une lolle dépense de temps et d'argent.
Vivant au loin, exempt de tous som^is, il ne pouvait bien juger à
quel point cette vie de vacances ét;nt alors utile et môme néces-
saire pour Abel. Il ne soupçonna pas que cela dût porter bonheur
à la science qu'Abel fût ainsi entraîné par des amis prévoyants,
qui ne voulurent pas le laisser seul avec sa tristesse.

A présent il se défend de nouveau contre les reproches que
Ilansteen lui adresse et lui avait déjà adressés depuis longtemps.

« Me voici enfin au centre de tous mes désirs mathématiques,
à Paris» — écrit-il à Hansteen, le 12 août 182G. «J'y suis déjà
depuis le 10 juillet. 11 vous semble sans doute que cela arrive
un peu tard, et que je n'aurais pas dû faire le long détour par
Venise. Cher professeur, je regrette beaucoup d'avoir fait quelque
chose qui ne vous plaise pas; à présent que c'est fait^ je n'ai qu'à
recourir à votre bonté; j'espère que vous avez assez de confiance
en moi pour croire qu'en somme je saurai profiter de mon
voyage. Je le ferai certainement. Je ne puis donner d'autres
raisons pour m'excuser que la grande envie de connaître un peu
le monde; et voyage-t-on seulement pour étudier la science dans
toute sa rigueur? A partir de maintenant je travaillerai avec
d'autant plus de zèle. »

Cependant Abel dut bientôt abandonner l'espoir de trouver à
Paris un séjour fort agréable. 11 lui était difficile de lier des
connaissances intimes, ce qui lui avait été beaucoup plus aisé
en Allemagne. L'ancienne vie avec de bons camarades était
presque interrompue; jusque bien avant dans l'automne, le
monde savant était resté inabordable pour lui, et plus tard il ne
réussit pas non plus à s'y introduire; à la réserve que gardent
les Français avec les étrangers s'ajoutait aussi, comme en un
obstacle assez grave, sa grande discrétion, et puis, au commen-
cement, la difficulté de se faire comprendre. H no faut donc pas
s'étonner de ce que le mal du pays se soit manifesté de bonne
heure. Abel de plus en plus se renferme ainsi en lui-même et ne
vit que pour ses travaux.

Pendant quelque temps il n'avait pas senti la gêne; à présent

270 APPENDICE. — I III.

les embarras pécuniaires s'annoncèrent. La vie de voyage avait
retranché beaucoup sur les moyens qui étaient à sa disposition,
et l'empressement qu'il mit à se procurer des livres utiles contri-
bua également à cette baisse des fonds qui devait bientôt lui
donner tant de soucis.

«J'ai acheté plusieurs livres nouveaux de mathématiques, et
j'ai pensé à en acheter encore d'autres, surtout quelques mé-
moires, qu'on ne peut pas avoir si l'on n'est pas sur les lieux;
mais puisque cela va coûter cher, j'ai eu l'idée de proposer à
Holmboe de faire l'achat de concert avec moi. Entre autres, il me
faut absolument la partie mathématique du Bulletin de Férussac. »

Par bonheur, Gôrbitz s'intéressait à lui. Gorbitz, artiste-peintre,
était le compatriote d'Abel, et il habitait Paris depuis longtemps.
Il connaissait fort bien la grande ville, et il était toujours prêt à
secourir ceux de ses compatriotes qui la visitaient. Pendant un
séjour passager à Paris, quelques années auparavant, Hansteen
était allé le voir. Abel, qui dans ce lieu étranger se trouvait dans
un embarras d'où il semble qu'il n'ait pu sortir sans le secours de
quelqu'un, se souvint de cette visite. Ainsi il se lia de bonne
heure avec Gorbitz, qui s'empressa de lui prêter l'assistance dont
il avait besoin. Abel allait très souvent le chercher.

C'est à cette circonstance qu'on doit l'excellent portrait de
notre mathématicien, fait par cet habile artiste, qui, de son côté,
a étudié sans doute avec intérêt les traits caractéristiques d'Abel.

Du reste, on n'entend parler que fort peu de quelque intimité
avec des compatriotes. En passant il mentionne, — mais seule-
ment pour la curiosité du fait, — un musicien nommé Skramstad.
C'était un paysan compositeur, assez connu dans ce temps-là. Il
demeurait dans un coin de la ville avec deux Suédois, et « il
s'habillait en paysan de Hedemarken (') avec des bas de laine
verts et un gilet rayé. » ce Je ne l'ai pas vu », dit Abel, « mais j'en
ai entendu parler. Il parle suédois. ))

Un jour il était avec Keilhau chez l'ambassadeur à un « dîner

(}) District norvégien.

sftjoim A PARIS. 271

diplomatique)). Tous deux curent leur 'plumet, raconte-t-il, «mais
un tout petit ». Du reste, il pouvait s'attendre à une [)MreilIe
réunion diplomati(jue. Car le Vi décembre de chaque année, le
comte Lowenhjelm réunissait chez lui tous les Suédois et Norvé-
giens qui demeuraient à Paris, et alors ils étaient tous mis, en
bonne forme, sous la table.

Abel vivait donc tranquillement et n'avait guère le loisir de
prendre qu'une très mince part aux divertissements qu'offre la
grande capitale. De loin en loin il alla au théâtre : c'était, nous le
savons, sa passion favorile. Cependant, à peu près un mois après
son arrivée, il n'avait pas encore été à la comédie.

Quand il était las de travailler, il se promenait dans le jardin
du Luxembourg ou bien il allait au Palais-Royal, ce « lieu de
perdition », comme le surnommaient les Parisiens, a On voit des
femmes de bonne volonté en assez grand nombre», poursuit-il.
«Elles ne sont pas indiscrètes du tout; la seule chose qu'on
entende, c'est: «Voulez-vous monter avec moi, mon petit ami?
petit méchant». Naturellement, en ma qualité de fiancé, etc., je
ne prête pas l'oreille à leurs discours, et je quitte le Palais-Royal
sans la moindre tentation. 11 y en a qui sont fort belles. »

Il y avait alors bien peu de faits d'un intérêt universel. Talma
avait été malade à la mort, écrit-il au mois d'août, mais à
présent il est hors de danger. Toutefois ce rétablissement de sa
santé ne dura pas longtemps. La mort du grand tragédien, qui eut
lieu vers la mi-octobre, fut un événement. Force gens assistèrent
à son convoi funèbre, et le Théâtre-Français, ainsi que les autres
théâtres, furent fermés pendant deux soirs.

» Le corps fut porté au cimetière», dit Abel, «sans entrer à
l'Église, ce qui est d'ailleurs l'usage. En comédien, il était
exclu de la communion des fidèles. Ridicule, mais indifférent! »
« Les jésuites veulent tout diriger », écrit-il, « et les feuilles
publiques sont remplies de controverses à leur propos. C'est une
diable de canaille! » Et puis il raconte l'histoire d'un jeune
jésuite « qui avait dénoncé un grand nombre d'entre eux et qui
voulait encore en dénoncer trois cents autres. D'après sa descrip-

272 APPENDICE. — ^ III.

tion, il faut qu'ils soient les hommes les plus détestables de la
terre. Ils ont voulu regorger, mais il Ta évité. »

Les travaux et les études d'Abel furent souvent interrompus par
une correspondance fort développée, dont il ne nous reste cepen-
dant que bien peu de fragments, Il donna à pleines mains des lettres
détaillées à ses amis; en même temps accablé sous le poids de la
solitude, il pouvait y glisser un mot sur leur long silence. 11 reçut
cependant souvent des lettres de Grelle, aussi souvent, dit-il, que
de sa fiancée. Quel dommage que ces lettres de Grelle et surtout
celles d'Abel à ce dernier — desquelles sans doute on aurait pu
tirer tant de détails sur Fhistoire du développement de la science
à cette époque — aient à peu près toutes disparu sans laisser de
traces! Des communications d'Abel avec Grelle il ne.nous reste que
quelques extraits, insérés dans le Journal après la mort d'Abel.

De même qu'Abel menait une vie solitaire sans être remarqué
du monde scientifique, qui ne le connaissait pas encore, de
même son habitation, qu'après assez de peine il avait trouvée avec
l'aide de Gorbitz, était d'une apparence fort modeste.

Pour mieux apprendre le français, il s'était installé dans une
famille, rue Sainte-Marguerite, 4-1, faubourg Saint-Germain, où
il avait tout dans la maison, le blanchissage compris, moyennant
120 francs par mois. On y était très prévenant, mais la chambre
était mauvaise, dit-il. Le ton était lascif; toutes sortes d'équivo-
ques étaient débitées sans la moindre crainte et par les hommes
et par les femmes. Et on péchait sans doute passablement contre
la décence, puisque Abel même, qui n'était pas prude à Texcès,
s'en trouvait scandalisé. Le maître de la maison était un savan-
tasse. Il était même un peu mathématicien, mais fort sot; sa
femme était une étourdie de trente-cinq ans ou bien davantage.

Accompagné de son hôte, Abel alla rendre visite à Legondre.
Il se peut aussi qu'ils aient songé à visiter en compagnie d'autres
mathématiciens. Or Legendre sortait pour se promener en voiture
et quelques paroles seulement furent échangées. Abel dit d'ailleurs
de lui à sa manière stéréotypée : ce G'est un vieillard, le plus excel-
lent homme du monde, dit-on; comme mathématicien, on sait

SI-JOUR A TA lus. 273

assez qu'il est renommé. » Cependant Tespoir de lier une connais-
sance ne se réalisa pas. Legendre recevait une fois par semaine,
ce qui ouvrait une chance à Abel. Mais bien que celui-ci doive
avoir rencontré Legendre au moins une seconde lois, il faut croire
que cette rencontre fut très rapide. Sans cela, Abel n'aurait pas
manqué d'occasion pour en parler, et, de son coté, Legendre ne
Taurait pas si ûicileinent oublié, s'il avait existé entre eux quelque
chose de plus que des entretiens fortuits.

11 est plus vraisemblable qu'Abel eut un accès plus ou moins com-
plet chez le baron de Férussac, Téditeur d'un BitUctin qui traitait
aussi la branche des mathématiques. Abel avait été voir le baron
en août, mais sans le trouver chez lui. Il pouvait cependant aller à
ses soirées, dit- il, une fois par semaine; il avait alors l'occasion
d'avoir des revues et des livres nouveaux. Et en cette saison, où
les bibliothèques étaient fermées et tout le monde en villégiature,
cela était un assez grand avantage. On sait aussi qu'Abel fournit
des articles pour le Bulletin, « un diable de travail et bien
ennuyeux», comme il dit, «quand on n'a pas écrit soi-même le
mémoire. »

Mais que n'aurait-il pas fait pour Grelle, (c l'homme le plus
honnête qu'on puisse imaginer » !

Abel avait apporté une lettre de recommandation de Litrow à
Bouvard, directeur de l'Observatoire. 11 n'en résulta pourtant
aucune liaison suivie. Bouvard le reçut amicalement, lui fît voir
l'Observatoire et s'offrit à le présenter aux mathématiciens les
plus célèbres, s'il voulait se rendre à l'Institut. Mais Abel ne
pouvait pas accepter cette offre tout de suite, « car il fallait
donner d'abord un peu de mouvement à sa langue française;).

De longtemps il n'eut donc que très peu d'occasions de faire
connaissance avec les mathématiciens. Quant à Poisson, il ne fît
que l'entrevoir dans une promenade publique ('). Du reste, tout le
monde scientifîque était invisible.

(^) « H me paraît être un peu entiche de sa personne », dit Aboi, « mais il n'en
doit pas être ainsi, j»

274 APPENDicn: . — § iv.

IV.

Comment les travaux de Paris forment une série de travaux
ayant leur origine dans ceux qu'Abel rédigea à Christiania,
antérieurement à son départ.

Nous le savons, déjà à Christiania, avant de partir pour
rétranger, Abel avait découvert les fonctions inverses des
transcendantes elliptiques. Il avait découvert, en outre, son
théorème d'addition, et cela, dans toute sa généralité. Nous en
avons la preuve dans le mémoire préUminaire : Sîir la comparai-
son des fonctions transcendantes.

De Vienne, dans sa lettre à Holmboe, il avait aussi annoncé
qu'en arrivant à Paris il composerait (( ses choses intégrales, la
théorie des fonctions elliptiques, etc. ».

Il peut donc y avoir de l'intérêt à considérer un peu plus
attentivement que nous ne l'avons fait jusqu'à présent quelques-
uns de ces travaux préliminaires. On y reconnaîtra le développe-
ment des idées d'où devaient naître bientôt des branches toutes
nouvelles des mathématiques, et l'on y verra comment ces idées
ont mûri, d'année en année, avant que l'auteur les eût exposées
dans une série d'importants mémoires. Il en ressortira également,
d'une façon plus claire, comment Abel s'était créé de bonne
heure, pour ses recherches, une méthode excellente, qui l'a puis-
samment aidé dans l'élaboration de ses conceptions successives.

Il se proposa d'abord d'approfondir les questions relatives,
d'une part à la résolution des équations algébriques, et de l'autre
à Y intégration des différentielles algébriques. Cependant, dans
cette vague généralité, il n'y avait encore rien de nouveau. On

TRAVAUX PRI^IPAUATOIKKS DE 1823. 27;)

devait plutùt n'y voir qu'un premier essai criinnginer des pro-
blènios à force de travail, et de provoquer des pensées, qui
naîtraient pendant rellbrl. Il pouvait rneme paraître peu original,
et certainement peu sensé, de vouloir essayer de résoudre les
équations du cinquième degré; et quant à l'aire avancer sensible-
ment la question d'intégrer des expressions différentielles ayant
un très haut caractère algébrique, il n était guère probable qu'il
y eût, de ce côté, grand'chose à espérer pour la science. De part
et d'autre, en tout cas, il s'agissait primitivement de problèmes
trop peu circonscrits pour être pratiques, à moins qu'ils ne
tombassent aux mains d'un investigateur hors ligne.

Mais aux mains d'un ingénieux et sévère penseur, sachant poser
à la nature une série de questions méthodiques, dont chacune
pût recevoir une réponse déterminée, les choses devaient se
transformer rapidement à mesure qu'il avancerait son travail et
qu'il apprendrait à mieux distinguer le possible et l'impossible du
milieu de ses premières illusions.

Un livre manuscrit, écrit en norvégien, tout récemment décou-
vert (au commencement de l'année 1884), et antérieur à l'été de
18"23, prouve qu'Abel fit un premier pas dans l'étude de très
hautes différentielles algébriques, en effectuant les réductions qui
conduisent aux intégrcdes hyper elliptiques. Dans un très court
article, il considère la différentielle la plus générale s'exprimant
rationnellement au moyen de la variable indépendante et d'un
radical quelconque du second degré, dépendant de la même
variable; il montre (ce qui naturellement ne présente encore
aucune difficulté) que, si Ion ne s'occupe pas de certaines parties
algébriquement et logarithmiquement intégrables, qui peuvent
être séparées comme des parties additives, alors le problème se
réduit à un plus simple, à l'intégration d'une différentielle, dont
la fonction numérateur est une fonction rationnelle P de la varia-
ble, tandis que le dénominateur est le radical de second degré,
dont le carré R est une fonction entière quelconque. Jusqu'à ce

27G APPENDICE. — I IV.

point, rien n'était donc encore remarquable, sinon le fait même
d'avoir commencé à soulever une très grande question.

Abel continua, en plusieurs sens, ses études sur fintégration
des différentielles algébriques. 11 se proposa, conformément au
conseil de Degen, d'étudier plus particulièrement le cas elliptique,
cas où le degré de R monte à 3 ou 4; dans le cas élémentaire,
cas algébrique et logarithmique, ce même degré ne dépasse pas
le nombre 2. 11 se proposa aussi d'approfondir les questions
relatives aux intégrales plus générales dont il était parti, les
intégrales JujperelliptiqueSy correspondant à un degré quelconque
de R, savoir à un degré plus haut que A. Et s'efforçant toujours
de considérer les questions du point de vue le plus élevé, il
voulut aborder tous les problèmes accessibles aux investigations,
lors même que les différentielles à examiner eussent le caractère
algébrique le plus général possible.

Abel se mit donc à étudier les transcendantes elliptiques. Il
avait à sa disposition les Exercices de calcul intégral de Legendre.
Ce fut dans le cours de ces études, mais sans qu'on sache exacte-
ment à quelle époque de la période qui finit à son départ pour
l'étranger, qu'il acheva une espèce de traité sur les dites trans-
cendantes. Ce traité, intitulé (c Théorie des transcendantes ellip-
tiques^^, se trouve inséré, comme un de ses travaux posthumes,
dans le second volume des « Œuvres complètes » .

Pour certains chapitres, il se contenta de renvoyer aux écrits
de Legendre. Ce sont ceux où devait être employée la forme
trigonométrique, et ceux où il s'agit de la «comparaison des
transcendantes elliptiques», ou de leur «évaluation par approxi-
mation D .

Dans les chapitres développés de ce mémoire de début, chapitres
non destinés encore à la publication, et hérissés d'une multitude
de calculs et de formules, non seulement on reconnaît les premiers
germes de travaux futurs, mais on y voit très bien, malgré le
caractère préparatoire du travail, se manifester déjà la manière

TRAVAUX rni-PARATOIUI-S DK 1823. 277

do jwscr les (|iiostions qui distin^nic Abel. On y voit utilisée, en
quelque sorte, toute une méthode expérimentale, appropriée à
l'esprit des reclierches nn;dyti(|ues; on y remarque surtout ces
réductions à la dernière limite compatible avec la nature des
choses, et cet esprit, si rigoureux dans ses classifications, qui ne
s'arrête jamais avant d'avoir découvert les vraies lignes de démar-
cation des choses.

Ainsi il part ici des deux formes, de caractères essentiellement
diiïérents, auxquelles on parvient en effectuant seulement une
décomposition de la fonction rationnelle P : formes dont Tune
correspond à une puissance d'exposant positif, l'autre à une
puissance d'exposant négatif.

Alors il se propose d'abord, pour chacune des formes du
départ, de trouver les réductions les plus gén'irales possible par
voie algébrique, et, de cette manière, il arrive à quatre formes
plus simples, et qui maintenant sont irréductibles, c'est-à-dire
irréductibles dans le sens indiqué. Il dit lui-même, vers la fin du
chapitre dont il sagit : «Nous avons maintenant épuisé le sujet

de ce chapitre, à savoir de réduire l'intégrale, autant que

possible par des fonctions algébriques. »

Arrivé ainsi à ces quatre formes, il se propose, dans le chapitre
suivant, d'établir les relations qu'on peut trouver entre elles par
des fonctions logarithmiques.

Dans ce chapitre, on voit aussi le commencement de son futur
travail de Frei^er^/, travail se rattachant à un problème généralisé^
à celui des intégrales hyper elliptiques.

On y voit, de plus, une application continuelle des procédés
qui mènent au principe des transformations pour les fonctions
elliptiques.

Mais quant à l'objet lui-même de ses études présentes, il
montre (\\xune des intégrales est irréductible dans tous les cas,
et qu'elle constitue ainsi «une transcendante particulière». En
môme temps, il donne la formule de réduction pour les autres,
en tant qu'une telle réduction est possible, et applique ensuite
cette formule à cinq problèmes spéciaux.

278 APPENDICE. — I IV.

Ayant ainsi démontré qu'en principe la réduction logarithmique
est impossible et ne peut se faire que dans des cas particuliers,
il s'efTorce de trouver toutes les intégrales de telle ou telle forme,
susceptibles de s' exprimer logarithmiquement.

Dans le troisième chapitre, il fait voir, en outre, comment
peut s'établir une relation entre les mêmes quatre intégrales,
quand on les prend entre certaines limites, etc.

En conséquence, et bien qu'on n'ait encore affaire qu'à un de
ces premiers travaux qu'Abel lui-môme jugea plus tard si sévère-
ment et garda par devers lui, sans songer à les publier, on voit
cependant déjà quelle pénétration il apportait dans ses recherches.
Les résultats auxquels il était arrivé étaient bien ordonnés et
importants pour ses investigations futures.

Abel n'en continue pas moins ses recherches plus générales
sur les intégrales hyper elliptiques, mais de telle sorte que les
intégrales elliptiques, ou même des intégrales plus élémentaires
encore, ne fussent pas d'abord exclues.

Dans un autre mémoire préalable, « Propriétés remarqua-
bles, etc.», il fait une inversion des transcendantes que repré-
sentent les intégrales, et il remarque le caractère muUiplement
périodique de cette fonction inverse.

Pour réclaircir, il prend, caractéristiquement, l'exemple à la
fois le plus simple et le plus instructif, en considérant l'intégrale
élémentaire dont la fonction inverse est sinus. Le choix de ce
terme de comparaison permet d'entrevoir qu'il s'agit déjà là des
grandes généralisations de nos fonctions trigonométriqucs.

En se bornant de nouveau au cas des transcendantes elliptiques,
et spécialement à celles de la première espèce, et en procédant
ensuite ici de même que pour l'intégrale dont la fonction inverse
est un sinus, il fonda la théorie des transcendantes elliptiques
inverses, ou, pour parler plus simplement, la théorie des fonctions

TUAVAIIX PUl-,l'ARATOIRi:S DK 1823. 279

elliptiques; f()nctions qui, à un si haut degré, sont analogues à
cette l'onction des éléments. Ces fonctions cllipti(jues (conlbrnié-
ment au résultat plus général qu'il venait d'obtenir, mais qui
avait aussi besoin d'une explication ultérieure) présentaient la
propriété caractéristique d'être doublement périodiques.

Dans l'été de 1823, comme nous le savons, cette découverte
était déjà Iliite dans ses grandes lignes, puisque Abel parle, dans
une lettre à Holmboe, de ces « fonctions inverses aux transcen-
dantes elliptiques». On ignore, cependant, à quel point il en
était alors arrivé. Il avait été induit à une erreur qui l'arrêta. On
ne sait pas davantage si c'est le petit mémoire « Propriété
remarquable, etc.», auquel il fait allusion en cette occasion
(sans en indiquer exactement le titre), ou s'il en vise un autre
plus développé (comme nous sommes à présent disposés à le
croire), — petit mémoire que l'éditeur des Œuvres complètes n'a
pas pris en considération, le regardant comme un travail trop
inférieur aux cbefs-d'œuvre qui l'ont suivi.

Après avoir fait la découverte de l'inversion et posé ainsi une
nouvelle base pour l'étude des fonctions elliptiques, Abel dut
rédiger, avant la fin de l'année 1823, un autre travail important,
au moins relativement à ce temps; mais il ne subsiste plus de ce
travail qu'un petit fragment. Il avait été transmis au Sénat de
l'Université, et ensuite au ministère du culte.

Sans doute, ce fut un mémoire qui faisait connaître l'état des
investigations d'Abel à cette époque; car il l'écrivit dans le dessein
de montrer, par un travail soigné, sa reconnaissance pour la
subvention qu'il recevait depuis deux années, et qu'il continua
encore à recevoir de quelques professeurs. Il avait aussi l'espoir
d'obtenir par cette preuve de son habileté une subvention
publique; ce qui lui réussit d'ailleurs dès le commencement de
l'année 1824.

Sans parler de ce qu'Abel avait déjà découvert l'inversion des
transcendantes elliptiques, et en avait tiré des conséquences

280 APPENDICK. — I IV.

imporlantes, il est certain que lorsqu'il présenta son travail, vers
la fin de 1823, il était déjà à plusieurs égards un mathématicien
distingué. On peut évidemment conclure de ce fait que dans le
cours de Tannée qui suivit immédiatement (1824-), où il put
continuer ses études dans des conditions plus heureuses, il arriva
à résoudre le problème poursuivi avec tant d'acharnement et par
lui et par les plus célèbres savants, le problème relatif à Tinsolu-
bilité algébrique des équations générales du cinquième degré.

Qu'il ait eu, en outre, lui-même Topinion d'être parvenu, dans
les dites années, à des résultats importants, c est ce qui ressort de
certaines autres circonstances, circonstances qui paraîtront
d'autant plus significatives qu'on les rapproche de certains faits
antérieurs. Il est bien caractéristique que, dans l'année 4823,
Abel ait écrit en français son petit Mémoire sur les fondions
inverses aux transcendantes elliptiques, et quon ne se borna plus
alors à l'aider de la manière ordinaire, mais qu'on le mit en
état, au moyen d'une subvention privée additionnelle, de faire
un voyage scientifique à Copenhague.

Le second travail dont nous nous occupons maintenant, soit le
Mémoire d'intégral qui fut transmis à l'Université, était aussi
écrit en français, tout comme le travail, de la fin de l'année 1823.
L'importance de ce troisième travail, traitant des équations, et
publié en langue française, dans le cours de 1824 (et cela aux
frais du pauvre auteur), est maintenant hors de toute contestation.
Ce petit mémoire existe encore, en effet, et se trouve publié dans
la nouvelle édition des « Œuvres complètes y>.

Mais revenons-en au Mémoire d intégral. Il est possible que ce
mémoire, aujourd'hui perdu, n'ait pas encore contenu la décou-
verte du grand théorème d'addition, et que cette découverte,
dans toute sa généralité, n'appartienne qu'à la fin de l'année
1824 ou à l'année 1825, à l'époque qui précéda le départ d'Abel,
au mois d'août. Si les suppositions que nous émettons plus bas
sont justes, il est même probable que ce théorème, s'il y était
contenu, n'était pas encore arrivé à toute la généralité qui put
lui être donnée. Quoi qu'il en soit, le travail dut avoir beaucoup

THAVAiix rni'i^AUATOinr'S m J8'2'î. 281

d'importance pour ce temps. Aussi fut-il jugé de la manière la
plus favorable par rUniversito. Nous avons dit plus haut que, sur
les indications de Ilansloon, Ab(*l y avait essayé de Irailcr le
calcul intégral (F a près une nouvelle méthode.

Jusqu'à sa mort — comme on peut le voir dans une note du
Précis — Abcl a attaché un grand prix à cet objet de ses études.
Il y dit qu'il avait créé une nouvelle théorie de Tintégration des
formules dilTérenti elles algébriques; mais que les circonstances
ne lui avaient pas permis de la publier. « Cotte théorie dépasse
de beaucoup les résultats connus; elle a pour but d'opérer toutes
les réductions possibles des intégrales des formules algébriques ^
à l'aide des fonctions algébriques et logarithmiques. On parvien-
dra ainsi à réduire au plus petit nombre possible les intégrales
nécessaires pour représenter sous forme finie toutes les intégrales
qui appartiennent à une même classe. »

On aurait donc pu, sans doute, tirer de l'écrit perdu les
renseignements les plus précieux sur le développement des idées
d'Abel, depuis leur naissance jusqu'à leur maturité.

Holmboe ne parle pas d'ailleurs de ce travail, qui ne présentait
pour lui qu'un intérêt secondaire, pourvu que le contenu (comme
c'est vraisemblable), s'en trouvât complètement et sous une
forme plus parfaite dans les mémoires postérieurs. Pour Holmboe,
l'étude de V enchaînement des idées d'Abel et de leur naissance
ne présentait pas encore l'intérêt qu'une génération suivante
trouve à étudier les œuvres d'un grand homme au point de vue
historique.

Dans la première édition des « Œuvres complètes » ne fut pas
publié davantage le premier mémoire sur les équations du
5® degré : Holmboe s'est borné à mentionner la découverte qui
y est exposée, tout inattendue et extraordinaire qu'elle ait été.

Néanmoins, il subsiste, peut-être, un petit fraguient de cet
écrit, et ce fragment, rédigé pareillement en langue française,
est bien caractéristique. L'auteur s'y propose d'examiner les
différentielles algébriques de la forme htjper elliptique. Et il tâche
de les traiter au moyen des fonctions algébriques et logarithmi-

282 APPENDICE. — I IV.

ques; mais il ajoute (ce qui est bien remarquable) par les
fonctions exponentielles. Cela semble indiquer qu'il se cache,
dans le plan de l'auteur, un emploi de l'inversion, qu'il étudiait
alors au moins depuis une demi-année. En tous cas, dans l'indi-
cation même du sujet, on découvre la méthode à la fois ration-
nelle et expérimentale, dont se sert Abel et qu'il explore
toujours avec tant de fruit pour ses recherches.

Pendant son séjour à Christiania, avant son voyage, entrepris
en août 1825, il réussit certainement aussi à développer beaucoup
sa théorie des transcendantes elliptiques et des fonctions inverses
à ces transcendantes.

En effet, bien qu'il ne se soit pas occupé de ces théories en
Allemagne, et qu'il en ait seulement parlé comme des choses
connues d'Holmboe (ajoutant qu'il rédigerait à Paris ces recherches
sur ce point), Abel les mania de telle sorte, ainsi que nous le
verrons plus tard, qu'il se révéla soudainement comme un véri-
table maître.

L'idée de l'inversion étant introduite avec la double périodicité
et l'analogie avec les fonctions trigonométriques étant, en outre,
bien observée, l'auteur, avec ses études profondes et simultanées
de la théorie des équations, pouvait achever un grand travail avec
une facilité relative. Car alors plusieurs questions se réduisaient à
celles de trouver certaines racines, dont la découverte ne présen-
tait pas de difficultés. Il en était ainsi, même quand il s'agissait
du problème général de la transformation rationnelle. Celui-ci
fut singulièrement facilité par l'introduction de la nouvelle pensée
fondamentale. Pour achever la démonstration, il n'y avait qu'à
reprendre les procédés qu'Abel avait employés si souvent dans
son mémoire préalable sur les «transcendantes elliptiques», et
dont il devait se servir de nouveau après son départ, dans le
Mémoire de Freiberg.

Cependant, nous connaissons seulement avec certitude Vétat
général où se trouvait son esprit; c'est-à-dire qu'il possédait dès

TRAVAUX DE 1825. 283

lors les moyens les plus ciïicaces pour faire les découvertes d'appli-
cation découlant des principes révélés par lui; mais on ne saurait
déterminer exaclement à quel point il était arrivé pendant cette
première époque.

Mais il ne s'arrêta pas, dans ses recherches précoces de Chris-
tiania, à rétudc des transcendantes des fonctions elliptiques, ni
à rétude préalable des intégrales hyperelliptiqucs. Il se mit à
méditer les inlograles des différentielles algébriques dans toute
leur généralité; et il se laissa guider dans ses réflexions par
certaines analogies communes à des fonctions d'un rang inférieur.

Dans la préface de son Mémoire de Paris, il raconte lui-même
comment il fut amené à faire ces anciennes découvertes; et il
complète ainsi, par ses propres explications, nos connaissances
sur la marche de ses idées : il fournit, en quelque sorte, lui-même
de nouveaux renseignements sur ses études antérieures à son
départ pour l'étranger.

11 y dit : « Quant aux fonctions dont les dérivées sont ration-
nelles, la somme d'un nombre quelconque de fonctions semblables
s'exprime par une fonction algébrique et logarithmique, quelles
que soient d'ailleurs les variables de ces fonctions.

)) De même, une fonction elliptique quelconque, c'est-à-dire
une fonction dont la dérivée ne contient d'autres irrationalités
qu'un radical du second degré, sans lequel la variable ne passe
pas le quatrième degré, aura encore la propriété qu'on peut
exprimer une somme quelconque de semblables fonctions par une
fonction algébrique et logarithinique, pourvu qu'on établisse
entre les variables de ces fonctions une certaine relation algé-
brique. y>

« Cette analogie entre les propriétés de ces fonctions » , conti-
nue-t-il, (( m'a conduit à chercher s'il ne serait pas possible de
trouver des propriétés analogues de fonctions plus générales».

Et il était parvenu ainsi à son théorème d'addition général.

284 APPENDICR. — I IV.

Arrivé à Paris, Abcl (ainsi qu'il l'avait annoncé) se mit à la
rédaction de ses découvertes.

En premier lieu, il reprit ses recherches dintcgralesy basées
sur la découverte du « théorème d'addition )) , théorème relatif à
toutes les transcendantes dont les dérivées sont algébriques. Dans
un mémoire composé pour l'Institut, il voulut démontrer et
discuter ce théorème, que jusqu'alors il n'avait pas publié lui-
même. Plus tard, il voulut en faire des applications. Et, comme
il était déjà depuis longtemps maître de son sujet, on croit qu'au
lieu de commencer par des recherches préliminaires, il plaça en
tête de son travail une ébauche d'introduction, rédigée au courant
de la plume, mais fort instructive et très semblable à la préface
définitive du Mémoire.

Suivant un ordre naturel, il s'occupa, ensuite, des recherches
sur les fonctions elliptiques, comme formant un premier champ
d'application. Ici encore, nous renccfntrons le théorème d'addition ;
mais dans sa forme restreinte, et depuis longtemps connue des
savants. Abel voulut, cependant, le présenter cette fois avec une
transformation fondamentale, en le liant à l'idée de l'inversion.

Ces travaux finis, il se proposait (ainsi qu'il faut le conclure de
l'indication que nous mentionnerons plus bas), de passer aux
applications de la seconde série : à celles qui se rapportaient aux
p/w5 simples transcendantes hyperelliptiques . Il exposa, en effet,
explicitement et complètement, les propriétés fondamentales de
celles-ci, dans une courte communication à Grelle; et, chose
à noter soigneusement, il le fit justement le 9 août, jour où il
entreprit le Mémoire de Paris.

MftMoinK i>r, l'Auis. 285

Abel commence son Mémoire de Paris. Communication à Crelle
et son importance pour le futur travail de l'application.

On possède quelques cahiers d'Abel avec des calculs prépara-
toires et des ébauches pour ses mémoires; mais il n'en existe
qu'un seul se rapportant à son séjour à l'étranger; c'est celui
dont il se servit à Paris, et plus tard à Berlin.

Ordinairement, pour déterminer l'âge de ses manuscrits ou
d'autres débris de papiers laissés par lui, il faut se livrer à des
comparaisons fondées et sur leur contenu et sur d'autres indices
divers qu'on a recueillis grâce à des études prolongées. j\lais ici,
tout est immédiatement clair. En effet, le cahier est daté du
9 août 1826, et porte encore la marque du marchand : « Magasin
de papier de France et de Hollande : M. Lhermitte, rue de
Bussy». Il est d'ailleurs intitulé : a Mémoires de mathématiques,
par N.-H. Abel. »

Près du titre, avec une série d'abréviations, sont répétés les
mots : (( l'Institut)).

Les préoccupations de l'auteur apparaissent ainsi et elles
ressortent également de ce que sur la première page on rencon-
tre le nom de Legendre avec l'indication de sa demeure (^). A la
vérité, cette célébrité française y figure à côté d'un très humble
compatriote d'Abel, le paysan musicien du faubourg du Roule.

Abel se mit donc à rédiger en premier lieu ses a: choses
intégrales». Dans cette pensée, il en fit d'abord une ébauche

(*) Hue Saiiit-GuilUiume, n'' 9.

286 APPE^DICli. — %\.

complète sur son cahier. Rappelons-nous, du reste, que le jour
même de Tachât de ce cahier, il commença par adresser à Grelle
une courte communication relative au même sujet et à la
première applicalion qu'il comptait en faire.

Dans sa lettre, il expose en peu de mots — comme nous l'apprend
un extrait publié dans les « Œuvres complètes)) — (')son théorème
d'addition .

«Une propriété générale», dit-il, «des fonctions dont la
différentielle est algébrique consiste en ce que la somme d'un
nombre quelconque de fonctions peut être exprimée par un
nombre déterminé des mêmes fonctions. Savoir, etc. »

La formule qu'il écrit est maintenant composée comme il suit.
On s'imagine formée des fonctions 9 dont il s'agit une somme
de y. fonctions semblables, chacune correspondant à sa propre
variable indépendante. On se figure aussi une somme formée de
n fonctions, chacune correspondant à sa propre variable dépen-
dante; et ces n dernières variables doivent dépendre des premiè-
res fA suivant une certaine loi algébrique. Alors, quand on ajoute
les deux sommes partielles de fondions transcendantes ^ on aura
pour résultat une fonction algébrique et logarithmique.

Abel remarque ensuite que « n est un nombre déterminé, indé-
pendant de \}.. Si, par exemple, 9 est une fonction elliptique, on
a. comme on sait, ?i = 1. Si la fonction n'est pas elliptique, on
n'en connaît jusqu'à présent aucune propriété. Gomme un des cas
les plus remarquables, je vais rapporter le suivant. »

Ici la fonction 9, qu'il prend, est ^intégrale hyper elliptique la
plus simple : c'est-à-dire — en adoptant les notations du chapitre
précédent — qu'elle correspond à une fonction R (sous le radical)
dont le degré est égal à 6; et, quant à la fonction numérateur, P,
elle est choisie comme une fonction linéaire.

Cela posé, la dite fonction algébrique et logarithmique v se
réduit à une constante. Et, pour pouvoir passer à la formule
la plus générale, il suffît de montrer comment une somme de

(*) Ancienne édition, p. 253-254. — Nouvelle édition, p. 267.

COMMIJNICATIOIN A chki.lk. 287

trois fonctions o avec fies variables indépendantes, peut être
réduite à une somme de deux fonctions ç mais avec des variables
dépendantes; le nombre caracléristique n est, en effet, alors égal
i\ 'i. Les deux variables dépendantes , appartenant ainsi à cette
somme réduite, sont maintenant racines dans une équation dic
second degré; et les coe/J'icienls de celle-ci s'exprimeront comme
des fonctions algébriques des trois variables indépendantes se
trouvant dans la somme donnée.

Ces coefficients algébriques sont pareillement exposés en détail
dans les formules de cette lettre.

Toute la théorie de la fonction 9, dit enfin Abel, est comprise
dans ses formules; c'est-à-dire qu'elle est entièrement donnée
par la théorie d'addition relative à cette fonction, car on peut
démontrer que par là la fonction sera complètement déterminée.

Abel ne dit rien, dans cette lettre, des plus hautes fonctions
inverses; du moins Grelle n'en parle pas. Gela devait d'ailleurs
être très peu compréhensible à une époque où l'inversion la plus
simple, celle qui se rapporte aux transcendantes elliptiques, était
encore inconnue. Rien, en effet, n'avait été publié jusqu'alors sur
cette matière.

Mais, maintenant, on voit très clairement les premières consé-
quences à tirer de ce qu'expose Abel, et nous les rappelons ici à
cause de l'importance qu elles ont, et parce que, à cette place,
elles seront plus aisément comprises après la courte exposition
du théorème d'addition se rapportant à ce cas spécial.

1° La somme irréductible composée de deux fonctions sembla-
bles devait être considérée, par Abel, comme une nouvelle trans-
cendante, une transcendante linéaire.

2^^ Cela posé, passons du cas fondamental, se rapportant à trois
fonctions simples, au cas voisin où le nombre de ces fonctions est
quatre. Alors on aura, en même temps, une formule bien symé-
trique et bien analogue à la formule fondamentale de la théorie
des transcendantes elliptiques. On trouve qu'ttne somme de deux
fonctions binaires données (quatre fonctions simples) se réduit à
une fonction binaire unique (deux fonctions simples).

AI'PKNDICR. — § V.

S'^ Enfin, les deux coefficients a et p, dans la fonction numéra-
teur et linéaire P, ne se présentent pas dans l'équation du second
degré qu'expose Abel. Ils ne peuvent donc se présenter davantage
dans la nouvelle équation du même degré, à laquelle on arrive
en poursuivant ce premier cas voisin. Mais cette équation déter-
mine comment les variables z^ et z^ de la fonction binaire réduite
dépendent algébriquement des variables indépendantes ^, et x,,
Vi ^t 2/t appartenant à la somme des deux fonctions binaires
données. D'après cela, on peut donc particulariser de deux
manières distinctes les fonctions que Ton traite, sans exercer
d'influence sur les relations algébriques. Et l'on aura un couple
de formules d'addition : l'une correspondant à une fonction
binaire o,, (oii par exemple a et ^ ont les valeurs et 1); fautre
à une fonction binaire cp2i (où a et p auront les valeurs 1 et 0).

On aura donc un parallélisme complet entre la transcendante
elliptique et les nouvelles transcendantes hyper elliptiques binaires,
transcendantes de deux espèces distinctes.

Soit 9 une transcendante elliptique. La somme de deux fonc-
tions semblables, correspondant aux variables indépendantes x et
y y se réduit à une fonction pareille, correspondant à une véritable
dépendante z. Cette dernière quantité est donnée par une équation
de premier degré, dont les coefficients sont fonctions algébriques
des variables données x et y.

Soient, d'autre part, 9,2 et 9^, deux transcendantes hyperellip-
tiques et binaires. Considérons d'abord 9,2, et formons la somme
de deux fonctions pareilles, Tune correspondant au couple de
variables indépendantes x^ et x^, Fautre au couple de variables
indépendantes ?/, et y^. La somme peut se réduire alors par la
voie algébrique à une nouvelle fonction semblable, correspondant
aux variables dépendantes z^ et z^. Il en est tout à fait de même
quant à la fonction 921. Or, 2, et z^ sont maintenant donnés
comme racines d'une équation du second degré, et les coefficients
de cette équation sont fonctions algébriques des variables indé-
pendantes x^J a^2 et 2/,, ^0.

Ainsi l'analogie demande que, si ïon intervertit , dans le cas

COMMUNICATION A ciu«:lli:. 28!)

ellîpti<ine, la fonction ç, on invertira, dans le cas ItypercUiplique^
simultanément les fondions 9,^ et 9.^,.

C'est lii ce qui ressort des formules d'Aboi exposées diins la
lettre du 9 août, à Crelle, sans qu'on ait besoin de résoudre de
nouvelles didicuUés niathéinatiques. Qu'il se posera des questions
philosophiques quand on déviera de la marche que fit entrevoir
ici Abel, connue un résultat de longues études, ou quand on ne
connaît pas encore quelle est la marche à suivre, cela est une
autre chose. Et Abel n'a rien laissé, à ce que l'on sache, d'où
l'on pourrait conclure de quelle manière il a raisonné quand il
arriva, en premier lieu, à son résultat d'une périodicité multiple,
provenant d'une inversion directe des intégrales hyperelliptiques.

290 APPENDICE. — I VI.

VI.

Position d'Abel parmi les savants de Paris.

(( Je viens de finir un grand traité sur une certaine classe de
fonctions transcendantes pour le présenter à Tlnstitut, ce qui aura
lieu lundi prochain. Je l'ai montré à M. Gauchy, mais il a daigné
ù peine y jeter les yeux. Et j'ose dire sans me vanter que c'est
un bon travail. Je suis curieux d'entendre l'opinion de l'Institut
là-dessus. Je ne manquerai pas de t'en faire part. »

C'est en ces termes qu'Abel, dans sa lettre à Holmboe du
24 octobre, raconte la présentation prochaine de son « Mémoire
sur une propriété générale dune classe très étendue de fonctions
transcendantes. » Nous allons expliquer maintenant, après cette
appréciation si peu encourageante, quelle était alors sa position
parmi les savants de Paris.

Nous avons déjà dit qu'Abel avait été recommandé par Littrow
à Bouvard, directeur de l'Observatoire. Et c'était une très bonne
recommandation, dont il se promettait beaucoup pour son séjour
à Paris.

Mais il ne s'établit pas de relations étroites entre le jeune
mathématicien de Norvège et l'astronome français. Aussi à la fin,
ce ne fut pas Bouvard, mais Hachette qui se chargea de le
présenter aux mathématiciens de l'Académie.

Comme collaborateur distingué du Journal de Crelle, le seul
journal mathématique que possédât l'Allemagne, Abel était déjà
bien connu parmi ses collègues dans ce pays, et on en sentait,
même à Paris, quelques conséquences. Il correspondait avec le
mathématicien Kùlp, de Darmstadt, qui lui avait demandé

AIIEL ET I.KS SAVANTS Î)E PAHIS. î^91

quelques éelaircissemcnts à roccasion de certains passages de
ses mémoires. Le mriuc jour qu'il écrivit à Ilolmboo, il lui
donna une réponse. Un autre jour, un jeune Prussien Tavait
cherché dans sa chambre, croyant qu'Abel fût un de ses compa-
triotes. C'était Lejeune-Dirichlet. (c C'est un mathématicien très
fin», dit Abel. a: Il a prouvé, avec M. Legendre, l'impossibilité
de résoudre en nombres entiers l'équation..., et d'autres fort
belles choses. »

Mais, rien ou peu s'en faut, de ce qui se rapportât aux travaux
d'Abel n'était encore parvenu à la connaissance des mathémati-
ciens français, du moins de ceux qui jouissaient de quelque
autorité. 11 avait fait sa visite chez Legendre, « le gentil vieux
géomètre»; mais il ne réussit pas, comme Dirichlet, à entrer en
rapport avec lui, bien que de grands intérêts eussent dû les
réunir. Sa connaissance avec Cauchy ne devait pas lui promettre
beaucoup. Il ne restait donc que Bouvard et Hachette. Mais
Bouvard ne pouvait pas lui être bien utile, et Hachette ne cultivait
que lui.

Telles étaient à ce moment, vers la fm d'octobre, toutes les
connaissances d'Abel parmi les académiciens, et, en dehors de
ceux-ci, il y avait deux ou trois mathématiciens avec lesquels il
avait échangé quelques mots. C'étaient des personnes ce très
habiles», mais d'un rang inférieur, et il n'en nomme qu'un :
M. Saigey, rédacteur du Bulletin des Sciences.

Abel ne fut donc pas aussi favorisé de la fortune qu'en Allema-
gne. Et néanmoins, il lui semblait qu'après avoir obtenu des
succès à Berlin (succès qui lui avaient procuré les meilleures
réceptions à Vienne), il ne devait pas être exposé à être considéré
par ses collègues de Paris comme un homme absolument nouveau
et inconnu. Au moment dont il s agit, il avait déjà paru six
mémoires de lui dans le journal de Crelle, et parmi eux, il y en
avait au moins deux qui étaient éminemment remarquables; celui
sur les équations était môme d'une portée extraordinaire.

Toutefois, les publications en allemand n'étaient pas facilement
accessibles aux Français, qui connaissaient peu cette langue

292 APPENnicFî. — I VI.

étrangère, et, en outre, la puLlication du Journal de Crelle àiml
bien trop récente pour que la connaissance de son existence et de
son contenu fût alors assez répandue parmi les lecteurs français.

De plus, dans les grands centres tels quêtait déjà alors
Paris, on ne se soucie guère de ceux qui viennent et qui s'en
vont. Il s'y développe de tout autres mœurs que dans les villes
universitaires de F Allemagne, y compris môme le Berlin de
ces anciens jours, ville beaucoup moins importante et moins
populeuse que la capitale de France. La différence était encore
plus grande en comparaison d'un pays aussi lointain et aussi
neuf que celui d'où Abel était parti. 11 est aussi fort douteux
qu'Abel ait su tenir compte des nécessités qui se présentaient à
lui; qu'il ait pu, sans gêne, se conformer aux circonstances.

La lettre de recommandation à Bouvard dont nous venons de
parler, ne lui procura que l'avantage de voir l'Observatoire, et
nous avons vu que la visite chez Legendre ne réussit que médio-
crement. De bonne heure, d'après le désir de Grelle, il avait
sans doute cherché le baron de Férussac ; (( mais il n'était pas
chez lui», — malheur qui se répète souvent. Enfin, quant à
Poisson, « il l'avait vu sur une promenade publique. »

Tel était l'état des premières connaissances d'Abel, un mois
après son arrivée. A cette époque cependant, il avait conservé ses
espérances; mais il se tenait à l'écart, comme il le dit (peut-être
pour s'excuser), à cause de la difficulté de la langue.

Plus tard, vers la fin d'octobre, son cercle de connaissances
s'était étendu un peu, comme nous l'avons déjà remarqué; mais
très peu. La rencontre avec Gauchy avait été malheureuse et ses
rapports avec les jeunes mathématiciens étaient toujours très
restreints.

Pour Abel — homme de cœur avant tout, et d'un tempérament
tantôt vif et gai, tantôt profondément mélancolique — cet état
d'isolement forcé était à un très haut degré déprimant et, de
plus, fortement nuisible pour ses intérêts scientifiques. Aussi se
plaignait-il très vivement de cette «immense réserve des Français
envers les étrangers. y> a 11 est difTicile de faire avec eux des

Ani:i. KT l.KS SAVANTS I)K PARIS. 293

connaissances intimes; et jo n'ose (aire coiupto sur cela. Gliacun
travaille pour soi-nièine, sans se soucier des autres. »

Et il ajoute ces mots graves, par lesquels il explique lui-mômc
en grande partie les événements qui allaient lui arriver prochai-
nement : «Tous veulent instruire, et personne apprendre. »

Abel ne possédait pas, du reste, les qualités personnelles qu'il
lui aurait fallu pour s'ouvrir un chemin dans le grand Paris, et
pour y obtenir au moins une faible et première reconnaissance
de sa valeur. Il avait eu besoin de Tassistance de Gorbitz pour se
tirer d'aflaire à l'arrivée, et, par rapport à ses intérêts scienti-
fiques, il était certainement trop timide pour pouvoir s'arranger
vite et d'une manière satisfaisante, au milieu des conditions
nouvelles où il se trouvait. Ni le bienveillant peintre norvégien,
ni ce savantasso de mathématicien chez lequel il demeurait, et
qui l'accompagna dans sa visite à f.egendre, ne pouvaient lui être
ici de quelque utilité appréciable. Ce qui lui manquait, à lui qui
ne savait ni même ne voulait fortement se faire valoir, c'était de
trouver à Paris un autre Crelle ou un autre Littrow, c'est-à-dire
des amis plus âgés, et en situation de lui servir d'intermédiaires
auprès de leurs collègues français.

Ce rôle eût convenu à Legendre, qui eût mis Abel en avant dans
son milieu, comme il le fit plus tard pour Jacobi, et même à la fin
pour notre mathématicien absent et oublié. Mais le sort ne voulut
pas que le a gentil vieux géomètre» plaidât déjà la cause d'Abel.

Mais il y eut aussi d'autres circonstances plus générales, qui
concoururent à rendre sa position difiicile, et à l'isoler parmi les
savants français. Nous avons fait déjà allusion à ce que nous
allons dire, en citant les fortes paroles de regret qui lui échap-
pèrent lorsqu'il comprit combien, pour un étranger «débutant))
comme lui, il était difficile de se faire entendre à Paris.

Il y avait une dizaine d'années que la France était sortie de
cette période que signalèrent d'abord la grande Révolution et
puis de longues et glorieuses guerres. Or, l'exaltation qui était

204 APPKNDICE. — I VI.

née d'un mouvement puissant dans le monde des idées, avait
aussi laissé des traces profondes dans la science entière. Des
découvertes fécondes sur certains points, et même fondamentales,
venaient d'ouvrir une longue série de travaux d'application, tout
comtne elles devaient produira aussi de forts ébranlements dans
les conceptions traditionnelles.

Les grands événements de toute espèce qui s'étaient accomplis
ne pouvaient rester sans influence ni sur l'état de la société, ni
sur l'avenir de la science, ni même sur la direction des esprits
dans les investigations scientifiques.

Pour ne parler que des mathématiques, la période qui venait
de s'accomplir ou qui s'achevait avait rendu célèbres des noms
comme ceux de Monge et de Lagrange, ou comme ceux des
survivants du temps passé, Laplace et Legendre. A ces grands
morts ou à ces illustres vétérans de la science, on pourrait
ajouter des savants comme Fourier et Ampère, comme 1 acroix,
comme Poisson et Cauchy; les deux derniers dans la pleine
force de Tâo-e.

Parmi les plus éminents devait aussi être compté l'illustre
Poncelet. Plus que tous les autres, il pouvait être comparé à son
jeune collègue de Norvège, ayant été forcé, pendant sa vie solitaire
de prisonnier de guerre en Russie, de refaire ses connaissances
mathématiques; ce qui l'avait conduit à créer toute une nouvelle
géométrie. Mais Poncelet avait aussi à lutter pour arriver à se
faire rendre justice, justice qu'il méritait hautement, bien qu'il
pût rester des points faibles dans ses grandes conceptions. Écrasé
sous l'autorité de Gauchy, le célèbre représentant des études
sévères, le futur juge d'Abel, il perdit son prestige et dut renoncer
pour longtemps à se faire entendre.

Poncelet se trouvait donc relégué parmi les savants de second
ordre. Aussi Abel, qui s'occupait de tout autre chose que de
géométrie, ne paraît pas avoir pensé plus à Poncelet que celui-ci
ne semble avoir fixé son attention sur Abel, qui ne mentionne
pas même son nom.

Au temps dont nous nous occupons, on était donc encore dans

ABEL ET LES SAVANTS DE PARIS. 205

une poriodo éininomrnont riche en investigateurs et écrivains
s\Uant illustrés dans les niath6niati({ues. Toutefois, cette richesse
était sans doute trop pjrande pour pouvoir se conserver longtemps,
même dans un pays comme la France. En ce qui regarde les
mathématiques 'pures, ou, pour parler avec plus de précision, la
pure anaUjse, on avait dépassé le point culminant. Telle était du
moins Topinion d'Abel lorsqu'il considérait Tensemble de la
situation, et non pas seulement quelques représentants distingués
do la science.

Sauf de rares exceptions, toutes les fortes intelligences qui ne
s'occupaient pas de géométrie, comme Poncelet et Hachette,
cultivaient les diverses branches des mathématiques appliquées.
Cet état de choses enlevait tout intérêt d'actualité aux recherches
d'Abel, qui appartenaient à un tout autre ordre, et devait devenir
un nouvel obstacle au succès du jeune Norvégien. Bien des faits
confirnient d'ailleurs l'opinion d'Abel. Laplace, devenu très vieux,
qui avait maintenant terminé sa grande œuvre et qui n'écrivait
plus, s'était surtout occupé des hautes questions de la mécanique
céleste. Fourier, Ampère, Poisson, etc., s'intéressaient surtout
aux questions physiques. Lacroix était bien mathématicien, dans
le sens propre du mot, mais déjà trop âgé pour pouvoir pénétrer
avec quelque énergie dans des recherches abstraites aussi nouvelles
que l'étaient celles d'Abel; et d'ailleurs, il était plutôt écrivain
qu'investigateur profond. Legendre travaillait encore avec une
vigueur admirable, et cela dans le même sens qu'Abel; mais la
force d'un octogénaire devait bientôt s'épuiser. Aussi lorsque le
vieux géomètre connut enfin les travaux du jeune homme— qu'il
rencontra par hasard à Paris — , il arriva qu'il lui était très difficile
de le suivre : Abel marchait trop vite pour lui. Cauchy, parmi les
savants distingués encore dans la pleine vigueur de l'âge, était
donc presque le seul qui cultivât alors, avec prédilection, les
mathématiques pures ou Vanalyse.

Mais ici, pour quelque raison que ce soit, il devait y avoir
défaut d'entente entre les deux esprits. D'ailleurs, il ne nous
étonnerait guère que Cauchy, mathématicien de haute réputation

2% Al'I'KNDICi:. — I VI.

et partisan des progrès lents et rationnels, grand seigneur, en
outre, et homme cérémonieux, n'ait reçu, pendant le court
entretien qu'il eut avec le jeune Norvégien, l'impression d'avoir
alliiire à un pauvre utopiste, une tôle turbulente qui prétendait
avoir résolu des problèmes faux ou absolument inaccessibles. En
effet, longtemps après, à une époque où déjà, depuis bien des
années, l'Académie des Sciences de Paris avait honoré le mémoire
d'Abel, on put constater encore qu'un savant comme Arago,
secrétaire perpétuel de cette Académie, s'exprimait comme si la
découverte fondamentale du géomètre ainsi honoré (dans la
théorie des équations) n'était qu'une chose oc fort contestable ».

A un autre point de vue, Abel, au détriment de ses intérêts
scientifiques et de ses plans d'avenir, croyait découvrir, dans
les études de mathématiques pures en France, des signes d'un
mouvement rétrograde et môme d'un ce bien laid » recul.

Pendant qu'il rassemblait et rédigeait ses recherches, il était
toujours en peine de trouver un éditeur. Il lui manquait, surtout,
un recueil où il pût insérer ses travaux de plus grande étendue^
travaux qui convenaient moins au journal tout nouveau de Crelle.
Aussi avait-il de très bonnes raisons pour s'ôtre décidé à se faire
juger, en France, par la célèbre Académie des Sciences de Paris.
En même temps, il espérait arriver à publier, dans le pays qui
occupait une place éminente, grâce au nombre et à la supériorité
de ses investigateurs, ses Recherches elliptiques^ recherches qui
devaient suivre son Mémoire de Paris.

Parmi les journaux sur lesquels Abel pouvait compter, à l'oc-
casion, pour des publications de cette importance, à côté des
Mémoires des savants étrangers, il y avait, en première ligne,
les (n Awtales de Gergonne^. Mais, même pour ces Annales^
jadis si excellentes, on constatait qu'elles dégénéraient « de jour
en jour ». Gergonne aussi était devenu a trop vieux ».

a C'est avec lui», ajoute-t-il, (( comme avec v. Zach; mais,
à la vérité, celui-ci n'a jamais valu grand'chose » .

Anm. KT ij:s savants i»k paius. ^î)7

S'il y avait donc dos côtés faibles, à Totat auquel s était élevé
la science dans la France d'alors, cet état iTcii était cependant
pas moins remarquable au plus baut degré, et les Français avaient
tout lieu d\Hre fiers de tant d'bonmies distingués que leur pays
avait produits, (jui y avaient vécu récemment ou (pii y vivaient
encoi'e. Aussi n'est-il pas étoimant qu'on y eût un sentiment de
supériorité à l'égard des étrangers, et que, dans les entourages
d'Abel, on le lui fît entendre.

(ï Personne ne peut penser qu'un Français », dit Abel, cr est
le seul qui puisse produire quelque cbose de théorique. » —
(c L'unique chose que les Français recherchent chez les étrangers,
c'est le côté pratique. »

Mais, dans de telles circonstances, la situation d'un étranger
qui avait quelque chose à dire au monde, n'était pas toujours des
meilleures. Il ne lui servait guère qu'il y eût, à Paris et dans
d'autres villes de France, de célèbres recueils, destinés à recevoir
les pensées des investigateurs contemporains! Et particulièrement
défavorable devait être la position d'un jeune homme, né dans un
petit pays du Nord, à peine remarqué en Europe. De ce coin du
monde on n'attendait aucune contribution au progrès général.

Et c'était de ces contrées, considérées comme presque barbares,
même par des hommes distingués, qu'arrivait maintenant un
étudiant, avec quelques idées aventureuses, qu'il désirait soumettre
aux illustres savants de la France!

Mais ces préjugés n'étaient pas fondés. Plus d'une fois Abel dut
protester contre l'accusation de demi-barbarie adressée à sa
patrie, sans méconnaître, d'ailleurs, le rôle modeste qui convient
à une population pas plus nombreuse que celle de Paris et
répandue sur un vaste territoire.

Si les idées courantes avaient été fondées, il eût été naturel,
non de mettre en doute, mais de nier purement et simplement de
prétendues découvertes, si extraordinaires, que ni Crelle ni Gauss
ne semblent d'abord y avoir attaché aucune foi. Un Abel n'aurait
pas pu naître et se développer dans une société qui eût ressemblé
à la Norvège, telle qu'on se la figurait généralement. Au contraire,

298 APPENDICE. — I VI.

son apparition s'expliquait au milieu d'un peuple régénéré et
recouvrant son ancienne indépendance, dos que la passion de la
vérité pure s'empara de son esprit, à l'exclusion de toute préoc-
cupation étrangère.

Abel — si imprudent que cela fût — jeta, enfin, un défi public et
éclatant aux idées erronées qu'on avait sur son pays, en signant
son savant chef-d'œuvre présenté à l'Académie :

N.-H. Abel, Norvégien.

L'esprit de réaction qui, après tous les bouleversements des dix
dernières années, exerça un empire si étendu sur la société fran-
çaise (comme sur presque toute l'Europe), nuisit, lui aussi, dans
une certaine mesure, à Abel et au succès de ses découvertes. Un
temps, ayant soif de repos et de bon ordre, avait succédé à une
époque d'irrégularités et d'agitations; aussi le libre mouvement
des idées, comprimé sur un point d'abord, fut-il ensuite gêné
sur tous les autres, sous la pression de l'opinion qui désirait le
retour à l'ancien état de choses et qui craignait les nouveautés de
tout ordre, comme autant de causes de trouble pour la société et
pour les systèmes arrêtés.

Cet esprit, fortement conservateur^ nous paraît s'être aussi
emparé alors, et de plus en plus, de la science. Sans doute il
contribua puissamment à assurer les progrès acquis, et il favorisa,
à un très haut degré, le tranquille développement des vérités
acceptées et amassées comme un tas considérable de matériaux.
Mais peut-être les savants du temps ne voyaient-ils pas avec assez
de bienveillance les entreprises hardies des penseurs qui essayaient,
avec plus ou moins de bonheur, de pénétrer plus profondément
dans la nature des choses et de résoudre les grandes énigmes. Or,
c'est à cette classe d'investigateurs qu'appartenait Abel.

Parmi les mathématiciens français de l'époque, il en est deux
qui auraient dû le comprendre le mieux : Legendre, de l'ancienne
école, et Gauchy — plus jeune — , del'école nouvelle. Et, en effet,
le premier, malgré son grand âge et malgré la répugnance que

Am:i, KT LKS SAVANTS l)K l'AUlS. 299

génornlcmont la vieillesse rc^ssent pour les nouveautés, tciuoigna
au moins de la bienveillance à Abel. Mais le second, penseur
sévère, (lui avait si bien mérité de la science en observant les
anciens systèmes, ne sut pas trouver de « ça prendra » pour
encourager le jeune bomme.

Aussi n est- il pas sans intérêt de relever les opinions de ces
deux futurs juges d'Abel. I/uu, entbousiaste octogénaire, qui plus
tard salua si cbaleureusement les progrès de Jacobi et d'Abel lui-
même, bonora toujours les idées de liberté, idées du temps de sa
jeunesse; comme on le voit par une lettre à Jacobi, écrite le
4^'' octobre 1830, où il parle de a fruits amers pour les partisans
des gouvernements absolus. » Au contraire, Tautre grand géo-
mètre, le clérical Cauchy, plus jeune et plus sceptique, suivit son
Roi détrôné dans son exil.

Abel, fils d'un pasteur qui avait défendu, par ses actes et par
ses paroles, la cause de Tindépendance de son pays, était, même
au point de vue politique, plus rapproché de Legendre. Il semble
avoir pensé, bien qu'il ne Tait pas dit expressément, que la réaction
énergique qui triomphait alors en France et qui dominait les
esprits, finirait par produire une stagnation dans la science. « Les
Jésuites veulent gouverner! » s'écrie-t-il, et cela quand il venait
d'exprimer son opinion sur la décadence des études mathéma-
tiques.

Abel, isolé au milieu de ses collègues parisiens et peu compris
d'eux, ne pouvait jouer que le rôle d'un spectateur, contemplant
à distance les savants distingués de la France.

Aussi n'avons-nous à citer sur ceux-ci que quelques traits épars,
jetés en passant, tels qu'ils se trouvent dans une lettre adressée à
Holmboe, juste au moment où Abel allait se rencontrer avec les
mathématiciens de l'Académie.

300 appkndicf;. — | vi.

a LegcndrciD, dit-il, «est un homme extrêmement complaisant,
mais il est malheureusement steinall )) (^).

Après avoir remaïqué, comme nous l'avons mentionné déjà,
que I.ejcune-DiriclHet et le vieux Legcndre avaient fait de concert
une découverte dans la théorie des nombres, Abel, insérant dans
le texte norvégien un mot allemand composé pour Toccasion,
exprime, d'une manière saisissante, la crainte qu'on n'ait plus
grand'cliose à attendre de l'illustre et très méritant géomètre.
. Par contre, pour peindre Gauchy, il se sert d'un mot français,
marque d'une sympathie infiniment moindre. On peut même voir,
dans le choix qu'il fait tour à tour des deux langues étrangères,
pour les mêler à sa langue maternelle, une preuve de colère et
d'humeur envers ce dernier, dont il finit cependant par reconnaître
la haute valeur.

«Gauchy est fou », dit-il, « et il est impossible d'avoir affaire
avec lui. Pourtant c'est lui qui, à présent, est le mathématicien qui
sait comment doivent être traitées les mathématiques. Ses travaux
sont excellents; mais il écrit obscurément. D'abord je ne compre-
nais presque rien à ses œuvres; maintenant j'y arrive mieux. Il
fait publier une série de mémoires sous le titre ^'Exercices de
mathématiques. Je les achète et les lis assidûment. Neuf livrai-
sons en ont paru depuis le commencement de cette année.

» Cauchy », continue-t-il, « est infiniment catholique et bigot.
Chose bien singulière pour un mathématicien ! D'ailleurs, il est
le seul qui travaille les mathématiques pures. Poisson, Fourier,
Ampère, etc., etc., s'occupent exclusivement de magnétisme et
d'autres parties de la physique. »

Abel parle encore de Laplace, et décrit aussi, avec sa brièveté
ordinaire. Poisson, Fourier et Lacroix.

Il dit textuellement de ces personnages :

«Laplace n'écrit plus rien, je crois. Son dernier ouvrage est
un supplément à sa (l Théorie des probabilités)). Lui-même dit
que c'est son fils qui l'a écrit; mais, en fait, c'est bien lui-même.

(1) Vieux comme les pierres.

AI'.KI, KT I.I'S SAVANTS I(K l'AIlFS. I^O I

Je Pai vil soiivoni à rinslihil. (Vost un petit lioiiiiuo, très ^^a il lard ;
mais il a le (h'faiit (|ue le Diable boiteux impute à Zambullo, la
mauvaise habitude de eou[)er la parole aux j^ens. »

«Poisson est un bomme eourt, avec un joli petit ventre. Il
porte son cor[)s avec di^niti''. Il en est de môme de Fourier.
Lacroix c^s! Icrrihlemcnl clumve et exlraordinairemcnl vieux,

D Lundi, je dois ôtrc présente à plusieurs de ces messieurs par
Hachette. »

302 APPENDICE. — 1^ VII.

VII.

Achat de livres. Lettre à la sœur d'Abel. Solitude et gêno.

Keilhau était sur le point d'obtenir une position à FUniversité,
comme et lecteur d de géologie. Il s'était donc mis en route en
prenant pour revenir par le Havre et par la voie de mer. Trois
jours après son départ de Paris (qui eut lieu le 16 octobre), il
s'embarqua, avec les objets qu'il rapportait du Tyrol et de Tltalie,
pour Arendal, ville maritime située sur la côte méridionale de la
Norvège. De là, il devait continuer sa route sur Christiania.

Abel profita naturellement de la (c bonne occasion » pour
renouveler ses envois en Norvège, si commodes par la voie de
mer. A son arrivée à Triesle, il en avait déjà fait un premier.
Maintenant que son ami partait, il expédia bon nombre de livres
de mathématiques et les adressa à Holmboe, exprimant le désir de
partager avec lui « le contenu du grand cotîre rouge, avec son
inventorium y> . Nous avons vu, en effet, qu'il nourrissait depuis
longtemps un projet d'achat de livres, mais qu'il était obligé de
chercher quelqu'un qui partageât avec lui une dépense trop forte
pour ses moyens. C'était sur Holmboe qu'il comptait principale-
ment alors.

Il avait acheté, disait-il, ce qu'il croyait qu'on ne possédait pas
en Norvège. Au printemps il comptait envoyer le surplus.

Parmi ces livres, on remarque le cinquième tome de la Méca-
nique céleste. Ce tome était destiné à Hansteen, qui s'était déjà
procuré les quatre premiers.

(( La Mécctnûjiie céleste est donc finie ! » dit Abel. (c Celui qui a
écrit un pareil livre peut faire avec plaisir un retour sur sa vie
scientifique. »

Legendre avait imprimé un remaniement do ses Exercices.

LF'TTIIK I)'Ani:i. A SA S^i•A]l{. 3015

Mais au inoniont du dnparl de Kcilhau, la nouvelle édition
n'était pas encore en vente.

Abel profita aussi du départ de Keilliau pour écrire à sa sœur
Elisabeth et pour lui transmettre un cadeau de Paris.

Le ton de sa lettre est plus satisfait que celui d'une autre lettre
qu il écrivit la semaine suivante à Holniboe. Mais le temps des
grands soucis n était pas encore venu ; soucis qui devaient
coïncider avec le sentiment de solitude et d'abandon qui allait
bientôt s'emparer, avec tant de force, de notre mathématicien,
trop enclin par nature à la mélancoh"e. Peut-être aussi n'avait-il
pas encore eu sa décourageante entrevue avec Gauchy, ou n'en
voulait-il rien dire à sa sœur.

« Le départ de Keilhau», dit-il, «est une occasion que je no veux
pas négliger pour t'écrire quelques lignes. Très souvent, chère
sœur, je pense à toi, et je te souhaite toujours le bonheur. Tu te
portes bien, n'est-ce pas, chez les excellentes gens où tu te
trouves? — Mais comment vont et ma mère et mes frères? Je
ne sais rien d'eux. J'ai écrit, il y a déjà longtemps, à ma mère.
La lettre est arrivée, je le sais, mais je n'ai rien entendu d'elle. —

Où est ? Yit-il, et comment? Je suis bien inquiet pour lui.

Quand je partis, il ne semblait pas devoir se bien porter. Dieu
sait combien de fois j'ai eu du chagrin à son sujet. Pour moi, il
ne m'a guère témoigné d'affection, et j'en suis bien fâché, car
jamais je n'ai fait volontairement quelque chose qui ait pu lui
déplaire. Écoute! Elisabeth, écris-moi (ne l'oublie pas) tout ce
que tu sais de lai> et de ma mère, et de mes autres frères.

» Ici, à Paris, je mène une vie assez gaie. Je m'applique à
l'étude; visite de temps à autre les curiosités de la ville, et prends
part aux plaisirs qui me conviennent. Je n'en attends pas moins,
avec impatience, le moment où je pourrai m'en retourner, et
volontiers je partirais aujourd'hui, si cela était possible. Mais je dois
rester encore assez longtemps. C'est au printemps que je reviendrai.

y> Il est vrai que je devais rester à l'étranger jusqu'en août

304 APPENDICK. — I VU.

prochain ; mais je reconnais que je n'ai plus beaucoup à gagner
en restant. Je partirai donc pour le pays par mer, ou peut-être
par terre en passant par Berlin (que je voudrais bien visiter avant
de revenir). Mais je ne sais pas si mon argent y suffira.

» De ma bien-aimée, qui est maintenant à Aalborg chez sa
sœur, je n'ai rien entendu depuis assez longtemps. Je commence
déjà à en être inquiet. J'espère toutefois qu'elle se porte bien.
Elle a sans doute écrit, mais la lettre se sera perdue.

y> Et M"''' Hansteen, comment se porte-t-elle? Elle se porte bien,
n'est-ce pas? iN'oublie pas surtout de la saluer de la façon la plus
aimable. De même, pour le professeur Hansteen. Je lui écrivis, il
y a quelque temps. Tu les visites bien quelquefois?

D Au conseiller d'État et à sa femme, mes compliments les
plus respectueux.

y> Keilhau a eu la bonté d'emporter un petit cadeau que je
t'envoie. J'aurais désiré pouvoir le faire plus considérable, mais
mes moyens ne me le permettent pas. C'est une paire de brace-
lets et une agrafe destinée à être mise à une ceinture, ainsi
qu'une petite bague. Ne refuse pas mon cadeau, et pense quelque-
fois à ton dévoué frère, N.-H. Abel.

» Quand tu écris, il faut écrire à l'extérieur de la lettre, etc.
Elle ne doit te rien coûter, ou, du moins, pas plus que 2 skilling.

» Porte-toi bien, ma sœur chérie; et m'écris aussitôt que tu
auras reçu cette lettre. Ne l'oublie pas !

» Adieu, solte, sompe, sova. »

Ces mots, qui appartiennent sans doute à une langue enfantine
servant à Abel et à sa sœur, terminent la lettre.

Sur l'adresse était écrit : « A Monsieur, Monsieur Elisabeth
Abel, chez M. Treschow, Conseiller d'État, etc., par bonté. »
Mais le double Monsieur^ écrit par distraction, avait été rayé
ensuite et remplacé par un simple « Demoiselle y> .

Les voyages et les courses onéreuses avaient épuisé les res-
sources de Keilhau. Pour le mettre en état de revenir et de

SOLITUDE ET GÊNE. 305

prendre possession do sa cliaire, Abcl dut, sur ses ressources
déjà trop restreintes, lui prôter une somme de 180 marcs-banco,
somme cpii devait ôtre remise à llolmboc, dès que Keilliau serait
revenu ù Christiania.

Les diflicultés matérielles recommencèrent dès lors pour Abel.
Toutefois elles ne semblaient constituer d'abord qu'un embarras
temporaire, résultant du prêt qui devait être remboursé au plus
tard dans un espace de deux mois. Mais, indépendamment de cet
emprunt, la situation était pénible, et devait aller s'aggravant de
jour en jour.

Le grand voyage improvisé avait été singulièrement coûteux
et pour Abel, et pour Keilhau, et pour Boeck aussi, dans Tétat de
leurs ressources. Mais il y avait une différence capitale dans la
situation de ces trois compagnons d'étude.

Keilhau, revenant tôt et allant occuper une position dans son
pays, n'avait qu'à gagner Le Havre et à y chercher un capitaine
retournant en Norvège.

Il en était autrement d'Abel. 11 s'était engagé à rester deux ans
à l'étranger. Or, il n'était encore qu'au milieu du mois d'octobre,
et à la rigueur, il ne devait être libre qu'au mois d'août de Tannée
suivante.

Sans doute, il y avait aussi des difficultés analogues dans la
position de Boeck, qui (nous nous en souvenons) séjourna à
Munich après s'être séparé d'Abel en Tyrol. Mais le sort d'Abel
était incomparablement plus mauvais. Il appartenait à une
famille ruinée et dispersée, qui ne pouvait lui donner la moindre
assistance. C'était plutôt à lui d'aider les siens de ses faibles
ressources, dans la mesure où il lui serait possible.

De plus, Abel, au moment où il se sépara de Boeck, avait dû
hii venir en aide, et, bien que l'avance qu'il lui fit fût peu
importante, elle n'en avait pas moins réduit ses minces facultés.
Ajoutons que Boeck ne pouvait pas facilement rembourser sa
dette : ses obligations étaient identiques à celles d'Abel, quant à
la durée de son séjour à l'étranger, et il n'habitait pas le même
pays que son créancier.

306 APPENDICE. — I VII.

Et ce fut alors que se fit cet achat de livres, qui priva encore
Abel d'une part notable de ses ressources, trop près de s'évanouir.
— Il n'en avait pas moins la tentation de se procurer toujours de
nouveaux ouvrages.

« Peut-être », écrivit-il à Holmboe, quand il ressentit pour la
première fois de graves embarras, « peut-être que je serai contraint
de te causer l'ennui de me procurer une traite sur Hambourg
pour cette somme » (les 480 marcs -banco qu'il avait prêtés à
Keilhau).

« Encore une chose, une seule et modeste demande! Pourrais-
tu me prêter 2:20 m. b.; ce qui ferait en tout 400? Tu me rendrais
un éminent service; car je tiendrais diablement à aller à Berlin,
avant de revenir, et à acheter quelque chose que je ne puis me
procurer chez nous ou qui y coûterait le triple.

y> Ne sois pas fâché de ma demande et donne-moi une réponse
au plus tôt; — 71 oublie pas : — aussitôt que possible. Une longue
lettre, avec beaucoup de nouvelles! »

d Je regrette», dit-il ailleurs, en parlant de ses embarras et
des inconvénients qu'il y avait pour lui à ne pouvoir revenir
comme Keilhau, — (c je regrette d'avoir fixé à deux ans la durée
de mes voyages; un an et demi aurait suffi largement. J'ai un
violent mal du pays, et, dès à présent, mon séjour à l'étranger
(ici ou ailleurs) ne me portera plus tout le profit qu'on pourrait
croire. Je suis au fait de tout ce que les mathématiques pures
offrent d'essentiel et d'insignifiant. Il me tarde seulement de
pouvoir exclusivement consacrer mon temps à rédiger ce que j'ai
recueilli. Il me reste bien des choses à faire! Mais tant que je serai
en pays étranger, cela n'ira pas comme cela devrait.

)) Ah ! si j'étais dans les habits de Keilhau, quant au professorat !
Je n'ai pas d'assurance, il est vrai. Mais je n'ai pas peur : car, si
cela craque quelque part, cela portera sur une autre. »

Après le départ de Môller et puis de Keilhau, dernier et plus
intime compagnon de voyage d'Abel, celui-ci souffrit, plus

SOLITUDE ET T.ÉNE. :J07

qu'aulrofois, de sa solitude à Paris. 11 s'y trouvait maintenant
« blankcnborg alcne y> et seul jusqu'à la nudité.

Dans ses heures de loisir, après un travail acharné, il n'avait
que rarement Toccasion d'échanger des idées avec quelqu'un,
surtout avec des personnes dont l'entretien pût l'intéresser. Et ce
n'étaient pas les conversations de table auxquelles présidait, avec
son (( sanglier » d'épouse, le bon mais stupide hôte matliénialicien
d'Abel, qui devaient parvenir ù chasser le sentiment d'isolement
dont souffrait le jeune homme.

Toujours il fallait entendre les mêmes discussions sur les
secrets du ménage; toujours les mêmes trivialités et les mêmes
équivoques, anciennes ou modernes, constamment répétées.

« L'autre jour )) , raconte-t-il, (( il alla si loin, qu'une dame

Mais nous ne redonnerons pas l'innocent bon mot de la pension-
naire en question. — Parler de vases de nuit, etc., voilà un des
sujets les plus décents. — Moi, je bois toujours du café dans
mon petit vase de nuit. »

A cela s'ajoutait pour Abel que les embarras de sa situation
matérielle commençaient à lui permettre de moins en moins la
recherche de ses petites distractions auxquelles il attachait tant de
prix, et qui, un moment, lui faisaient oublier, les soucis et les pen-
sées qui l'obsédaient. Si, même quelquefois, dans un accès d'étour-
derie, au milieu de ses plus grands embarras, il céda à son désir
ardent de voir une belle comédie, et surtout d'admirer le grand
art qui se déployait sur le Théâtre français, alors il eut à com-
battre intérieurement le sentiment qu'il avait d'être réduit à
l'épargne, et ses plaisirs en étaient gâtés. En effet, bien qu'il soit
arrivé à Abel de se laisser entraîner par la vivacité de son esprit
et par son insouciance, il était naturellement, au témoignage
de ses amis, sagement économe de ses ressources.

«Étudier, manger, boire et dormir», telle fut dès lors sa vie
à Paris et à l'étranger; sans parler de quelques visites à la
Comédie.

308 APPENDICE. — I VII.

Sa profonde tristesse, on pourrait dire sa peine d'âme, se
peint même au début de sa lettre à Holmboe, lettre écrite (on
s'en souvient), après le départ de Keilhau, quand Abel avait
terminé ce grand travail de Paris, qui fut si mal reçu par Cauchy.

((ïu es un liomme brave à garder le silence, cela ne saurait
être contesté. Tu ne peux le faire une idée de Tanxiété avec
laquelle j'ai attendu quelques mots de toi. L'unique raison pour
laquelle tu ne m'as pas écrit doit être que tu n'as pas reçu ma
dernière lettre, datée de Botzen (Bolzano). 11. y a déjà quatre
mois et plus encore, qu'elle a été expédiée.

y> Ghercbe maintenant, mon ami, non pas à me tromper, mais
à m'adresser quelques mots de consolation et d'encouragement
dans ma solitude. Oui, bien que je sois dans la cité la plus
vivante du continent, je me trouve néanmoins comme dans un
désert : je ne connais presque personne. »

Abel se préoccupait beaucoup de ses amis absents. Et, naturel-
lement, il pensait à Holmboe et à tout ce qui le concernait d'une
façon toute spéciale. En effet, il n'avait pas assez d'amis, ainsi
qu'il le fait remarquer, pour qu'il risquât d'oublier ceux qu'il
possédait.

«Combien de traitement as-tu? Est-ce que tu es fiancé, et
avec qui? Telles sont les questions auxquelles il faut que tu
répondes.

y> Moi, d'ailleurs, je vis fort sagement. J'étudie, mange, bois,
dors; et quelquefois je vais à la Comédie, ce qui est le seul soi-
disant plaisir dont je jouisse. Mais c'est aussi un grand plaisir.
Je ne connais rien de plus amusant que de voir une pièce de
Molière, où joue M"^ Mars. Véritablement alors je suis tout à
fait ravi. Elle a quarante ans, et n'en remplit pas moins des rôles
très jeunes.

;) Écris! Ne m'oublie pas. Écris, au moins huit jours (au plus
tard) après la réception de cette lettre, et n'affranchis pas. Je
n'ai pas voulu le faire, parce qu'il en coûte moins pour nous deux
et que les lettres arrivent plus sûrement. y>

DERNIERS TRAVAUX DE PARIS. 309

VIII.

Derniers travaux de Paris. — Abel prépare la rédaction de ses
« Recherches sur les fonctions elliptiques. »

Abel se sentait donc bien découragé par la solitude, par les
difficultés matérielles où il se trouvait de plus en plus engagé, et
aussi par le peu de succès qu'obtenait un travail qui méritait un
tout autre accueil. Il ne se sentait donc pas disposé au labeur
régulier et soutenu qu'eussent exigé la composition et la rédaction
des matériaux qu'il avait accumulés. H ne comptait plus en tirer
de résultat satisfaisant tant qu'il n'aurait pas terminé son voyage
et tant qu'il ne serait pas bien installé chez lui, a si cela doit
jamais arriver. »

Mais, à d'autres égards, il continua ses travaux, moins réguliè-
rement sans doute, mais avec une plus grande vigueur dans les
moments où il était mieux disposé, et le succès le plus décidé
couronna ses investigations. Il ne semble pas avoir beaucoup
avancé la rédaction du second travail capital qu'il s'était proposé
d'élaborer pendant son séjour à Paris, séjour qui, dans ses pre-
miers projets, devait être d'une plus longue durée. En revanche,
il élargit très heureusement le cercle de ses découvertes, en
poursuivant ses « Recherches sur les fonctions elliptiques ».

Occupons-nous ici de l'ensemble des travaux qui appartiennent
à la seconde période de son séjour à Paris, et surtout de ce qui
est relatif au très important mémoire que nous venons de men-
tionner.

Abel avait terminé son mémoire pour l'Académie quelque temps
avant la fin d'octobre; il raconte, en effet, qu'il l'avait montré à
Gauchy, le 24 de ce mois, et le 30 il le présentait à l'Institut.

310 APPENDICE. — I VIII.

Ce travail fini, il s'occupa, pendant quelque temps, de questions
d'une moindre étendue et relativement d'une moindre importance.

Il fit, par exemple, des études sur les intégrales définies; et Ton
doit remarquer que le premier mémoire qu'il publia alors dans le
Journal de Crelle, traite aussi d'un sujet qui se rapporte à cet
ordre de questions. Ce mémoire, dans la série de ses travaux,
précède immédiatement les ce Recherches ».

On constate encore, en particulier, que, dans les jours de répit
qu'il s'accorda entre ces deux grandes entreprises, il s'occupa des
écrits de Gauchy, dont il parle dans sa lettre à Holmboe. Il paraît
s'être appliqué alors au célèbre et très important travail que le
géomètre français a intitulé : (c Mémoire sur les intégrales définies
prises entre des limites imaginaires. » C'est peut-être sous l'in-
fluence de Cauchy qu'il fit aussi diverses recherches, bien modernes
du reste, sur les quantités imaginaires, dont il dit qu'il y avait là
beaucoup à faire.

D'ailleurs, il continua ses investigations sur le calcul intégral,
et surtout sur la théorie des séries infinies^ « très mal fondée »,
d'après lui.

Au moment même où il écrivit à Holmboe la lettre précitée, il
reprit son thème de prédilection : la théorie des équations. Il était
arrivé à ce point, explique-t-il, qu'il voyait le moyen de résoudre
le problème général que voici : « Déterminer la forme de toutes
les équations algébriques qui peuvent être résolues algébrique-
ment. )) — <k J'en ai trouvé, dit-il, un nombre infini du 5% 6®
et 7° degré, qu'on n'a pas flairées jusqu'à présent. J'ai, en même
temps, la solution la plus directe des équations des A premiers
degrés, avec la raison évidente pourquoi celles-ci sont les seules
résolubles et non pas les autres. Quant aux équations du 5® degré,
j'ai trouvé que, quand une telle équation est résoluble algébri-
quement, il faut que la racine ait la forme suivante, etc. ))

Mais ces travaux ne pouvaient être considérés que comme des
travaux accidentels et, en partie, préliminaires, auxquels Abel se
livrait avant d'entreprendre la rédaction de ses « Recherches sur
les fonctions elliptiques » . Si le temps où ils furent achevés ne

DERNIKRS TRAVAUX DE PARIS. 311

courut qu'à partir du ^i) octobre, jour de présentation du Mémoire
à rinstitut, cette période intermédiaire fut de courte durée. Le
2 novembre, en ciïet, soit quelques jours après seulement, Abel
envoya à Gcrgonne, à Montpellier, un petit mémoire intitulé :
« Recherche de la quantité qui satisfait à la fois à deux équations
algébriques données. y> C'était pour voir, dit Abel, <r s'il voulait
rimprimer. » Dans ce cas, il comptait lui envoyer (c un grand
mémoire sur les fonctions elliptiques ».

Abel s'appliqua alors à un ordre d'idées qui le préparait plus
directement à la nouvelle théorie qu'il voulait exposer; et, chose
remarquable, il ouvrit ces recherches par une petite étude relative
à la théorie des transformations.

Pour cela, il répéta les procédés dont il s'était déjà servi si
fréquemment dans son ancien travail inédit sur la « Théorie des
transcendantes elliptiques d, et dans son mémoire de Freiberg; en
d'autres termes, il exposa la série des calculs qui mènent au
principe des transformations.

Conformément à la base de ses études, cela voulait dire pour
Abel qu'en commençant, il rappelait ce qui était nécessaire pour
achever la démonstration du théorème général de la théorie des
transformations, il s'agissait donc pour lui de confirmer une
théorie qui était déjà découverte dans ses parties essentielles.
Car, nous le répétons, Vexposilion même des formules de trans-
formation ne présentait pour Abel aucune difficulté, dès qu'il
était en possession des idées de V inversion et de la double pério-
dicité, et, en outre de l'idée si naturelle alors, et d'ailleurs
déjà employée dans ses précédents mémoires, de se servir de la
forme des produits dont il resterait à chercher les racines. Cette
théorie partielle, sur laquelle il jetait ainsi d'abord un coup
d'œil rapide, devait cependant être naturellement placée à la fin
d'un mémoire complet, rédigé dans l'ordre le plus simple et le
plus rationnel.

Dans son livre manuscrit, on trouve ensuite, d'ailleurs, àes

312 APPENDICE. — I VIII.

calculs se rapportant à la transformation des intégrales de la
seconde espèce.

Peu de jours après, nous voyons subitement Abel en possession
de la nouvelle théorie des fonctions elliptiques, dans tout ce
qu'elle a d'essentiel. 11 ne peut donc être douteux qu'il se trouvait
sur un terrain depuis longtemps connu, et que, pour lui, il s'agis-
sait seulement d'éteridre et di' approfondir d'anciennes découver les.

Pour s'en convaincre, il suffira toujours de noter le contenu
du même livre manuscrit, tel qu'on le trouve analysé dans les
indications données aux pages 284 et 285, à la fin de la nouvelle
édition des Œuvres complètes. 11 faut cependant se rappeler
aussi ce qui s'était passé auparavant, et, particulièrement, que
le fondement de la théorie était déjà posé.

Voyons donc, avec quelques détails, les notes qui se rapportent
à la fin d'octobre et au commencement de novembre. Les
pages 117-118 contiennent une ébauche du mémoire XIII du
tome l^'' des Œuvres complètes. Or, cette ébauche a dû
être écrite avant le 2 novembre 1826, jour auquel le mémoire
fut envoyé à Gergonne afin de voir « s'il voulait l'imprimer ».
L'ébauche était donc finie, au plus tard, peu de jours après la
présentation du mémoire composé pour l'Institut. Abel s'était
donc déjà décidé alors à entreprendre le « grand mémoire » sur
les fonctions elliptiques annoncé depuis six mois, comme un des
travaux qu'il voulait achever à Paris.

Immédiatement après, aux pages 119-121, il traite de la
transformation des intégrales elliptiques : il y rappelle quelques
séries de conclusions très importantes, dont nous avons déjà fait
mention ci-dessus.

Vient ensuite une courte interruption. Mais elle n'est qu'appa-
rente : ses notes prouvent, en effet, qu'il poursuivait ses recher-
ches, quoique, d'une manière moins directe, en résolvant
certains points difficiles avant de commencer la rédaction même
de son mémoire.

RECHERCFIES SUR LRS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 31 'i

Ainsi, des pages 15 i h 127, il traite de la couver f/cncc des
séries. C'était un sujet évidemment utile à approfondir lorsqu'il
s'agissait d'exposer avec exactitude les développements des fonc-
tions elliptiques en séries.

Des pages 129 à 133, il s'occupe des équations abéliennes; et
l'utilité que présentaient ces études pour les investigations sur la
division, peut être encore moins contestée.

Tout à coup, à la pai^c 135, on trouve notés les résultats sur la
division de la leniniscate, résultats du plus haut intérêt pour la
nouvelle théorie des fonctions elhptiqucs.

De ce dernier résultat, si beau et si transcendantal, il ressort
que non seulement A bel était, à ce moment, en possession de ses
anciennes découvertes, de l'idée de Vinversion des transcendantes
elliptiques, jointe à celle de l'analogie de ces fonctions inverses et
des fonctions trigonométriqiies^ et de l'idée de la double périodicité
de ces nouvelles fonctions, mais qu'en outre il connaissait com-
plètement et était maître des théories de leur addition, de leur
multiplication et de leur division, théories qu'il s'agissait dès lors
seulement de perfectionner.

Abel ne s'occupe donc, avant de passer à la rédaction, que
d'étendre ses découvertes et de résoudre quelques difficultés de
détail. Il voulait surtout faire une très intéressante application de
la théorie de la division et il tenait à s'assurer que rien ne
manquait pour une complète démonstration des formules de
transformation, ni pour bien établir la convergence de certaines
séries.

Comme nous Tavons déjà fait remarquer pour Abel, les théo-
rèmes principaux relatifs aux transformations des fondions
elliptiques devaient être alors faciles à exposer. Et il en était de
même des théorèmes fondamentaux sur le développement des
fonctions. Il ne s'agissait plus, en effet, que de trouver quelques
racines et puis de faire quelques passages à l'infini. Aussi Jacobi
dit-il dans sa lettre du 12 janvier 1828, après avoir parlé de la
découverte par Abel de la double périodicité et de la division, etc :
(( Connaissant les racines des équations mentionnées, M. Abel les

31^A APPENDICn:. — I VIII.

résout en facteurs ; ensuite, dans les formules qui en résultent, il
pose n^==oc, d'où il lire des expressions très remarquables.
Mais cela », ajoute-t-il, ce n'a plus aucune difficulté, d

Abel a dit à Holmboe qu'à Paris il avait trouvé « l'essentiel de
ce qu'il a traité plus tard dans ses écrits sur les fonctions ellip-
tiques »; et l'on voit de ce qui précède que cela se confirme dans
les détails par fexamen de son livre-manuscrit.

Les principes avaient été déjà trouvés à Christiania. Plus tard,
il n'en avait plus été question, jusqu'au jour où il annonça de
Vienne qu'il élaborerait à Paris ses recherches sur les fonctions
elliptiques. Et, à peine a-t-il commencé qu'on le voit, tout à coup,
déjà maître de la théorie dans sa plus grande extension !

Dans ses lettres à Holmboe et à Crelle, relativement à ce sujet —
lettres écrites toutes les deux en décembre 1826, — Abel ne parle
pas de ses découvertes au point de vue général et abstrait. ïl se
borne à expliquer des choses pratiques, qui résultaient de ses
études et qui pouvaient être facilement saisies du lecteur, sans
les détails des démonstrations. Mais, de ces communications,
on peut conclure à quel point élevé, il était parvenu de très
bonne heure, dans ses investigations. Car les résultats obtenus
supposent la connaissance de toute une grande théorie fonda-
mentale.

Dans la lettre à Holmboe, il s'exprime de la manière suivante
sur la découverte relative à la division de la lemniscate:

(( Item, j'envoie à Gergonne un grand mémoire sur les fonctions
elliptiques, où il y a de bien drôles de choses qui piqueront (je
m'en flatte) tel ou tel : entre autres quelque chose sur la division
de la lemniscate. Tu verras comme c'est gentil. J'ai trouvé qu'au
moyen de la règle et du compas, on peut diviser la lemniscate
en 2" -h 1 parties, lorsque ce nombre est premier. La division
dépend d'une équation du degré (2" -[- 1)'— 1; mais j'en ai
trouvé la solution complète à l'aide des racines carrées. A cette
même occasion j'ai éventé le mystère qui a régné sur la théorie

RECHKnCHES SUH LKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 315

de Gauss, de la division du cercle. Je vois clair comme le jour
comment il y est parvenu.

(( Ce que je viens de dire de la lemniscale est un des fruits de
mes recherches sur la théorie des équations. Tu ne saurais
l'imaginer combien j'y ai trouvé de théorèmes délicieux, par
excniple celui-ci, etc. »

316 APPENDICE. — i IX.

IX.

Fin du séjour à Paris et sort du mémoire présenté par Abel

à l'Institut.

Avant que la lettre à Holmboe parvînt à Christiania, celui-ci
avait déjà écrit à Abel; mais, dès qu'il Teut reçue, il s'empressa
de lui écrire de nouveau et de lui procurer Targent demandé, y
compris la somme que lui devait Keilhau. Cet envoi donna lieu à
la dernière lettre qu'Abel adressa de Paris, celle qui est datée de
décembre, et où il fait mention de sa découverte relative à la
division de la lemniscate. Dans cette lettre, il exprime à son
ancien maître et ami ses meilleurs remercîments; et de ce qu'il
dit, ressort une fois de plus combien grand était son embarras et
combien il devait lui avoir été pénible d'en être réduit à recourir
à la bonté d'Holmboe. Du reste, il avait dû en même temps faire
également appel à celle d'un autre ami, ou il était sur le point de
le faire.

«Mille remercîments», dit-il, «pour tes deux chères lettres,
iterrij parce que tu as été si ponctuel. Si j'avais su que tu
m'avais écrit, je n'aurais pas osé te demander tant de sacrifices.
Ne sois pas fâché de mon embarras d'argent. J'ai deux amis, à
proprement parler, et je suis ainsi forcé de les importuner
malgré moi.

)) 11 est possible que je pourrai l'épargner ; mais il est probable
que je serai contraint de recourir à ta bonté. Pas encore cepen-
dant; mais quand je viendrai a Berlin. Dans peu de temps, en
effet, je quitte Paris, où je n'ai rien plus à « pêcher » , et d'abord
j'irai à Gôttingue pour y « bloquer » Gauss, s'il n'est pas trop
((fortifié» d'orgueil. « J'aimerais aussi beaucoup à rester quelque
temps en Allemagne pour apprendre un peu mieux la langue

FIN DU SÉJOUR A PARIS. 317

allemande; ce qui sera de la plus haute importance pour mon
avenir. Quant au français, je me tire d'affaire suffisamment pour
écrire un mémoire; et je voudrais bien pouvoir en faire autant
eu allemand. »

C'est dans celte lettre qu'Abel parle pour la première fois
et d'une manière précise de son projet d'envoyer à Gergonne le
grand mémoire sur les fonctions elliptiques, dont il avait com-
mencé à s'occuper. Mais son attention avait été attirée bien plus
tôt vers ces Annales, à raison des difficultés où il se trouvait,
comme nous l'avons dit, cliaque fois qu'il désirait publier quelque
chose.

Rappelons qu'à l'origine il s'était proposé, en approfondissant
et développant ses recherches, d'en faire un traité complet. Il
avait espéré d'abord pouvoir trouver un éditeur, alors qu'il avait
réussi à se faire un certain renom par ses articles dans le Journal
de Crelle. Puis, il avait compris toutes les difficultés qui s'oppo-
seraient à la réalisation d'un semblable projet, et il semble qu'il
ait pensé quelque temps à l'Académie de Paris. Mais il dut
bientôt changer d'idée, en voyant combien étaient minces les
résultats de sa première tentative. Se servir du Journal de Crelle
n'était pas chose bien facile, ainsi que nous l'avons indiqué déjà.
En premier lieu, il s'agissait de publier un travail d'une étendue
considérable. Or, ce Journal en était encore à ses débuts et il
était d'autant plus douteux que l'insertion de tout un traité pût y
être entreprise sans danger. En outre, on sait que pendant cette
première période, le Journal fut rédigé exclusivement en langue
allemande, ce qui, à plusieurs égards, était désavantageux pour
x\bel, habitué qu'il était à se servir du français. Sans doute,
Crelle lui-même traduisait en allemand ce qu'il écrivait. Mais
pour des travaux d'une très grande étendue, il était singulière-
ment gênant de procéder de la sorte : soit qu'Abel — il Tavait
fait à Freiberg, à la fm de son séjour en Allemagne — essayât
d'écrire tout d'abord en allemand, langue qu'il possédait mal,
soit qu'il employât, comme précédemment, la langue française,
sauf à s'adresser ensuite à Crelle, pour obtenir de sa bonté

318 APPENDICK. — I IX.

lin concours dépassant ce qu'il était raisonnable d'en attendre.

Il est donc bien naturel que, dans les circonstances où il se
trouvait, Abel ne vît d'autres ressources que de chercher à faire
publier son travail dans un journal français, comme celui de
Gcrgonne, surtout alors qu'il pensait encore devoir rester à
Paris jusqu'au printemps.

Il ne pouvait cependant songer à rédiger un mémoire d'une
telle étendue et d'une telle importance dans le court délai qui
restait à courir avant son départ; d'autant plus que les difficultés
matérielles contre lesquelles il luttait, même après avoir obtenu
d'Holmboe un prêt d'argent, l'obligeaient à faire hâter l'époque
de son retour.

On peut dire qu'Abel resta à Paris tant que cela lui fut humai-
nement possible, espérant toujours qu'on en arriverait au juge-
ment de son mémoire, ce Mais rien n'aboutit avec ces hommes
lents. y>

Legendre raconte dans sa lettre du 8 avril 1829, que lui et
Cauchy qui avaient été nommés commissaires, étaient conve-
nus entre eux de demander à l'auteur une copie plus nette et
plus facile à lire. Le mémoire, disait-on, n'était presque pas
lisible, il était écrit « d'une encre très blanche; les caractères
en étaient mal formés. » Depuis, les choses en étaient restées là.
Le manuscrit, ajoute Legendre, « n'avait jamais été dans ses
mains : il fut gardé par Cauchy » qui ne s'en occupa pas. Et
(d'auteur Abel paraît s'en être allé sans s'occuper de ce que
devenait son mémoire; il n'a pas fourni de copie, et il n'a pas
été fait de rapport. ))

Arago, dans sa biographie d'Abel, répète les mêmes choses
pour ce qui regarde Legendre. (( Ses yeux de près de quatre-vingts
ans)), dit-il, «ne parvinrent pas à suivre, à déchiffrer avec
sûreté des formules écrites avec une encre blanche. » Mais il ne
dit rien sur les «caractères mal formés» et ce serait aussi, sans
doute, un injuste reproche adressé à Abel, dont l'écriture était
très nette et très lisible. Sur ce point, Legendre, qui n'avait
jamais eu le mémoire «dans ses mains )), doit s'être trompé,

FIN DU SI'JOUR A PAHIS. 319

d'autant plus qu'à un autre point de vue, la lecture lui en donnait
de la peine.

Arago ne dit rien aussi de ce que Legendre et Caucliy se
fussent entendus pour demander une nouvelle copie; et il semble
que, d'aucune part, on n'ait attaché beaucoup d'importance à
cette demande, puisque ni Arago, défenseur de l'Académie des
Sciences, ni Abcl, qui était le plus intéressé dans TalTaire, n'en
ont eu connaissance. Certainement on n'a rien fait pour prévenir
l'auteur qu'il eût à récrire son mémoire.

Abel, nous l'avons dit, resta à Paris tant que cela lui fut
humainement possible, toujours dans l'espoir d'apprendre quelque
chose sur le sort de son travail. Mais bien qu'il fût d'une nature
timide et qu'il craignît beaucoup d'importuner les gens, il n'est
guère douteux qu'il ait fait une dernière tentative pour se mettre
en rapport avec Legendre, ou au moins pour obtenir quelques
renseignements par d'autres voies, avant de partir.

« Il est vrai, )> écrit-il plus tard de Berlin à Holmboe, «j'aurais
dû t'écrire depuis longtemps, seulement je voulais savoir d'abord
ce qu'il adviendrait du mémoire que j'ai présenté à l'Institut.
Mais rien n'aboutit avec ces d hommes lents )). Legendre et
Cauchy ont été chargés de l'examen, Cauchy du rapport. Legen-
dre a dit : « Ça prendra. »

«Et alors», ajoute-t-il immédiatement après, « le voyage à
Berlin vint sur moi, comme la veille de Noël sur la commère. y>

Ce qui est également remarquable, c'est que dans la lettre
d'Abel datée de Paris et du mois de décembre, il n'est pas
question du mémoire ni de son sort. Il semble donc qu'au
dernier moment, Abel se soit procuré les pauvres renseignements
qui viennent d'être rapportés, et qu'il ait eu un court entretien
avec Legendre. Mais, s'il en est ainsi, il n'a nullement compris
qu'on lui demandât une copie nouvelle. Il est parti avec l'impres-
sion que certainement ses hauts juges ne se presseraient pas
trop de finir leur tâche; mais qu'il y avait aussi, parmi eux, un
vieillard bienveillant, qui avait eu pour lui quelques mots d'en-
couragement. Malheureusement, Legendre s'était trop peu occupé

320 APPENDICE. — I IX.

des matières du mémoire, et ses courtes rencontres avec le jeune
étranger n'étaient pas au nombre des faits qui s'étaient gravés
dans sa mémoire.

Arago, en expliquant pourquoi il no fut pas fait alors de rap-
port, ne dit donc rien de la demande d'une «nouvelle copie».
Après avoir remarqué que presque immédiatement le mémoire
passa aux mains de M. Gauchy, il s'exprime en ces termes :

(( L'illustre géomètre ne se hâta pas de faire le rapport. En
veut-on l'explication? c'est qu'il se hâtait de compléter et d'im-
primer ses propres découvertes; c'est qu'à l'époque dont on parle
les cahiers des Exercices mathématiques se succédaient avec
une rapidité dont le monde savant était étonné; c'est enfin,
tranchons le mot, que l'Académie serait bientôt déserte, que ses
membres les plus célèbres, les plus laborieux, donneraient leur
démission, si les règlements exigeaient qu'à jour nommé chaque
académicien abandonnât ses travaux pour discuter les idées de
quiconque aurait jeté un chiffon de papier sur le bureau du
président. Heureusement, d'aussi absurdes règlements n'existent
pas et n'ont jamais existé.

» Je lis dans la lettre d'Abel du 24- octobre, que j'ai si souvent
citée :

(c M. Gauchy est celui des mathématiciens (français) qui sait le
» mieux comment les mathématiques, pour le moment, doivent
» être traitées. Il y a des choses excellentes, mais sa manière
» manque de clarté. Je ne le compris presque point d'abord,
)) mais à présent je suis en train. ))

» Faudrait-il s'étonner, si M. Gauchy, à son tour, n'avait pas
de premier abord facilement apprécié les idées entièrement
nouvelles d'Abel, s'il lui avait fallu aussi quelque temps pour se
mettre en train? On doit remarquer qu'Abel était revenu en
Norvège. Quand les matières sont abstraites et neuves, les expli-
cations verbales des auteurs peuvent seules hâter les rapports. »

Ges explications du célèbre physicien contiennent une part de
vérité; mais ne justifient pas un retard de quinze années.

Du reste, bien avant, à la date du 24 juillet 1830, le même

FIN DU SÉJOUR A PAULS. 321

savant, en sa qualité de secrétaire perpétuel de l'Académie, avait
déjà eu à proclamer que le grand prix était partagé entre les
héritiers de feu Abel et avec Jacobi, et à cette occasion il avait
exprimé à la famille du défunt les vifs regrets que la perte de
son illustre membre avait inspirés à TAcadémie des Sciences.

On aurait donc bien pu espérer que quatre ans après la
présentation du mémoire, et im an après la mort d'Abel, la
Compagnie ne tarderait pas à entreprendre la publication de son
travail.

Et cependant, il devait s'écouler encore dix ans, au moins, à
partir de l'année 1830, avant qu'Arago écrivît cette courte biogra-
phie d'Abel, qu'on pourrait appeler plutôt une défense de
l'Académie. Cette biographie, en effet, est fondée sur celle
quHolmboe rédigea pour les (a Œuvres complètes yy, publiées en
l'an 1839. Or, ainsi que nous le verrons plus tard, aucun
exemplaire de ces Œuvres ne put parvenir en France que dans
le cours de 1840. Ne semble-t-il pas qu'à l'expiration de ces dix
nouvelles années, on eut dû s'être assez rendu compte de la
valeur des travaux d'Abel, pour ne plus s'arrêter aux raisons
données par facadémicien français lorsqu'il sefforce d'expliquer
un trop long retard?

De plus, certaines idées que l'on considéra d'abord comme
((fort contestables)) et qui purent jeter même leur ombre sur
di'aiUres investigations d'Abel, de son vivant, auraient dû si tard
être regardées d'un tout autre œil par les mathématiciens fran-
çais, à moins que presque toutes leurs forces ne fussent cons-
tannnent tournées vers des questions se rattachant à d'autres
parties de leur science. Si jadis Abel avait pu, avec quelque
raison, apparaître au sévère Gauchy comme un aventurier en
mathématiques, il y avait longtemps qu'il ne pouvait plus en être
ainsi, pour peu que l'on respectât le jugement que Ton avait
rendu antérieurement soi-même.

Sûrement, d'autres raisons que celles qu'Arago expose doivent
être prises en considération pour expliquer un regrettable retard.
Il dut tenir à certaines situations, à certaines personnalités, à des

322 APPENDICK. — I IX.

choses, en somme, que nous ne connaissons pas assez. Mais on
ne saurait soutenir, comme le célèbre physicien essaie de le faire
à Toccasion de ce retard, dans un autre petit endroit du même
petit écrit, qu'on accorde drjà à quelqu'un un grand honneur et
un grand avantage en lisant quelques mots sur lui en pleine
séance d'Académie, et quensuite on peut, en bonne conscience^
mettre de côté, pour une demi-génération, un travail de la portée
la plus haute.

Vraiment, c'est là s'exagérer singulièrement la valeur d'une
semblable lecture, à laquelle on procède d'ailleurs après un
examen bien superficiel. Ce qu'il importe, c'est de constater la
date et, par suite, la nouveauté même d'une découverte. Autre-
ment, rien n'est de nature à satisfaire ni le véritable chercheur
ni les intérêts de la science elle-même.

Une des vraies raisons du retard et de l'oubli signalés fut
peut-être, — bien qu'Arago n'en parle pas — que dans le même
mois de juillet 1830, et seulement quelques jours après qu'on
eut décerné et partagé le grand prix, la Révolution de juillet
éclata à Paris; et que Gauchy, rapporteur du mémoire, et presque
le seul, à part quelques vétérans, qui, d'après Abel, cultivât alors
avec grand succès la pure analyse, Cauchy suivit le roi détrôné
dans son exil.

SECOND VOYAGK A BEULIN. 323

Second voyage à Berlin. — Six semaines d'embarras.

Vers la fin de décembre, la position d'Abel devint insupportable,
et il dut, en conséquence, se dépêcher à partir tandis qu'il avait
encore assez d'argent pour faire le voyage de Berlin. Après avoir
ainsi prolongé son séjour à Paris, il ne put même être question
d'aller à Gôttingue, pour faire le « blocus de Gauss». Le 29 dé-
cembre Abel partit donc.

Dans la diligence de Paris à Valenciennes et Bruxelles , il y
avait ce jour-là deux voyageurs. C'était le contingent de la grande
capitale! Ainsi commença <( l'efProyablement maigre voyage y>
d'Abel à Berlin.

« Bruxelles est une très belle cité », remarque Abel; il y resta
une nuit et un jour, parcourant tout le temps les rues. Il conti-
nua sa route par Liège, et alla à Aix-la-Chapelle, et puis à
Cologne. Vers la fin du trajet, il eut pour compagnon un très
bon garçon de Francfort-sur-le-Mein.

A (( Cologne-sur-le-Rhin, il s'arrêta de nouveau pendant un
jour et deux nuits. Cologne est, dit-il, une ville vieille et laide. »

De Cologne, il se rendit en poste, par Elberfeldt et Arnsberg,
à Cassel. «Le paysage passe ici pour être extrêmement joli»,
raconte-t-il; mais ce la nuit et Thiver » l'empêchèrent de l'appré-
cier. Un accident se produisit pendant ce voyage : un enfant
de sept à huit ans fut écrasé par la voiture qui lui passa sur
le corps; il fut tué sur place. « On continua son chemin sans
s'arrêter. »

A Cassel, ville très belle, on demeura la nuit. Il y avait là un
très beau théâtre, et Abel alla à la comédie, tout gêné qu'il
devait se savoir pendant ce voyage subit, ou, pour mieux dire,

324 APPENDICE. — I X.

cette fuite à Berlin, alors qu'il en était arrivé au bout de l'argent
qu'il avait emprunté. « On joua très bien. »

« Pendant le séjour à Cologne, je fus aussi au théâtre, » dit-il,
(( mais mal ! »

Il voyagea ensuite avec un négociant allant à Berlin et à
Kônigsberg.

Pour la première fois, le nom de cette ville apparaît dans
l'histoire d'Abel. Nous nous figurons que, pendant le voyage, les
deux compagnons parlèrent souvent d'un certain mathématicien
Jacobi, qui demeurait dans cette ville. Jacobi, il est vrai, n'avait
pas encore un nom. A cette époque (en janvier 18:27), il luttait sans
doute; mais il n'était pas encore entré dans la voie de ses futures
découvertes. Toutefois, il était un collaborateur du Journal de
Crelle, trop zélé et trop actif pour qu'Abel ne l'eût pas remarqué.

Par une coïncidence curieuse et qui caractérise l'époque, un
peu plus tard, Jacobi parle aussi d'un marchand avec lequel il
aurait fait un voyage semblable. Il lui avait confié une lettre
pour Legendre. Et qui sait? — car on était alors dans le temps
des petites villes et d'un commerce relativement très restreint, —
qui sait si le marchand de Jacobi n'était pas le même que le
compagnon d'Abel?

Avec son «négociant», celui-ci se rendit de Gassel à Magde-
bourg, en « Extrapost » sans s'arrêter à la résidence de Gauss.

Puis, on traversa le Hartz, <c où il doit faire fort beau en été. »
Mais après Quedlinberg il y avait, dit Abel, «la plus infâme route
où j'aie jamais passé. » Nos deux voyageurs étaient seuls dans la
voiture; et, cependant, c'est à peine si l'on avança, bien qu'on
eût attelé quatre chevaux.

A Magdebourg, les deux compagnons de voyage se séparèrent :
le négociant avait beaucoup d'affaires dans la ville, et Abel, après
y être resté la nuit, continua son voyage dans une voiture de
louage.

Tout changea à l'approche de la capitale. Au lieu des routes
primitives, on trouva des voies excellentes. Mais la compagnie
était <( honteuse y> : un cordonnier, un gantier et un soldat ayant

SECOND VOYACR A RI-RLIN 32.^)

fini son temps de service, qui buvaient continuellement de Tcau-
de-vie. ï)

Abel s'ennuya dans cette société, et personne ne fut plus heu-
reux que lui, lorsque, après deux jours passés de la sorte en
voiture, il entra i\ Berlin par le Potsdamcr Thor.

11 descendit au Kronprinzen, mais s'installa bientôt dans la
Franzosische Sti^asse (au n^ 89 et au second étage), près du
Gens'd' armen Marks. Un quart d'heure après son arrivée, il était
déjà assis à Kônigsstàdterenj où il se réjouit en voyant d'anciens
visages et en entendant des voix connues.

A son arrivée à Berlin, qui eut lieu le 10 janvier 1827, ses
ressources étaient bien réduites. Toute sa fortune consistait en
14 thalers, et il dut s'adresser à des amis et même à des compa-
triotes, plus ou moins connus, pour se tirer d'embarras.

De Becker il accepta 50 thalers.

Un ancien ami qu'il retrouva alors fut Maschmann, « le perma-
nent porteur de lettres ». Ce jeune homme lui était bien connu
depuis qu'étant tous deux à l'école, Abel faisait des visites quoti-
diennes à la pharmacie du père de son camarade. Celui-ci resta
encore quelque temps à Berlin pour s'instruire dans la pharmacie.
11 vint sans doute en aide à Abel dans ces circonstances difficiles.

Un autre Norvégien également pharmacien, Monrad, de Bergen,
demeurait aussi à Berlin et y habitait avec sa femme et sa mère.
Ce fut une famille dont Abel fit maintenant connaissance et chez
laquelle il se sentit à l'aise.

Il avait donc tout lieu d'espérer qu'une assistance bienveillante
ne lui ferait pas défaut jusqu'au moment où il pourrait obtenir des
secours plus efficaces de ses plus intimes amis de Norvège. La
situation n'en était pas moins bien pénible. Toutes ses ressources
(excepté la petite somme que lui devait Boeck) étaient épuisées.
11 ne restait plus rien de l'argent que lui avait remboursé Keilhau,
par l'intermédiaire de Holmboe, ni des "â^O marks que ce dernier
lui avait prêtés de ses propres fonds. Quant à un nouveau subside

326 APPENDICE. — I X.

du gouvernement, il n'en était pas question. Donc il fallait
continuer à faire des dettes et à adresser d'humbles prières à un
petit nombre d'amis. Abel était, en effet, obligé de séjourner à
l'étranger tant qu'il y avait pour lui possibilité de le faire; car ses
deux années de voyage ne finissaient qu'au mois d'août.

En toute hiite, il écrivit donc à Munich à Boeck; celui-ci était
le moins éloigné de ses amis hors de Berlin; il fallait plus de
temps pour obtenir une réponse de Christiania. 11 pria donc Boeck
de lui rembourser le plus expéditivement ce qu'il lui devait; à la
fin de sa lettre, il le somma même une seconde fois de le payer
sans retard.

Il ne s'agissait d'ailleurs pas de grand'chose. D'un nombre, à
demi effacé, qui se trouve dans une lettre à Boeck, écrite de Paris
à la date du i"' novembre, il résulte qu'il était question d'une
somme de 75..., mais de 75... quoi? Impossible de le déchiffrer!
En tout cas, que l'on eût à évaluer la somme en monnaie de
Norvège ou (bien moins favorablement) en monnaie de France, il
était de la plus haute importance pour Abel de la recevoir, et de
la recevoir au plus vite.

Mais si modestes que fussent les obligations de Boeck, il n'était
rien moins que sûr qu'il pût les remplir immédiatement. Aussi
bien qu'Abel, Keilhau avait dû l'aider de sa bourse; de même que,
plus tard, Abel était venu en aide à Keilhau. Il était, en outre,
survenu toutes sortes de complications dans les envois d'argent
faits de Norvège à Boeck.

Depuis longtemps on lui avait expédié deux lettres, mais
adressées à Paris, où elles étaient restées à la légation suédo-
norvégienne. L'une d'elles contenait une traite de 600 francs. Un
jour qu'Abel dînait chez le ministre (et sans doute ce jour d'octo-
bre où — à ce qu'il avoue lui-même — l'affaire avait été un peu
chaude pour lui, mais « très peu »), Abel prit connaissance des
deux lettres, et pria le secrétaire de la légation de les lui remettre
pour les faire parvenir à Boeck. Mais le secrétaire oublia la chose:
il préférait, d'ailleurs, que Boeck s'adressât directement à la léga-
tion. Pour hâter le paiement, Abel avait donc dû inviter son ami

SKCOM) voYA(;i': a iikhlin. 32

absent h écrire lui-môme quelques mots, quMl promettait de
renietirc sui'-le-cliamp ù destination, si Boeck voulait les lui
adresser. La traite étant sur Paris, il se ferait ensuite un plaisir
d'en toucher le montant, pourvu qu'elle fût endossée h son nom.

Cependant, il s'en fallait de beaucoup qu'Abel en fût arrive au
comble de ses peines et de ses préoccupations d'avenir : il gardait
encore de Tespoir, et, aux yeux de ses amis du moins, les dilïi-
cultés de sa situation semblaient ne devoir être que transitoires.
Sans doute, la chaire qui lui eût convenu, Holmboe l'avait obtenue;
mais rUniversito elle-môme avait déclaré, en même temps, qu'il
ne fallait pas perdre de vue « l'étudiant Abel ». On songeait donc
à le placer à TUniversité, et Hansteen s'intéressait à lui, ce qui
devait lui être d'un puissant secours. De plus, Abel avait fait de
bonnes choses pendant son séjour en Allemagne, et il avait été
très heureux avec le mémoire qu'il avait présenté à l'Institut. S'il
n'avait pas eu de succès auprès de Cauchy, au moins Legendre
l'avait encouragé, et le jugement d'une autorité aussi élevée que
l'était l'Académie des Sciences de Paris devait produire beaucoup
d'effet en sa faveur dans son propre pays.

Ce n'était donc pas sans raison que Keilhau — bien qu'il eût déjà
une chaire à l'Université — croyait que, de tous les compagnons
du même voyage, c'était Abel qui finirait par arriver à la situation
la plus avantageuse. '

Abel ne pouvait pas nier qu'il y eût quelque chose de probable
dans cette opinion. Cependant, il avait des doutes : il savait que,
même dans les cas les plus favorables, il rencontrerait encore
beaucoup de difficultés, tenant à ses embarras et à ses rapports
personnels.

(( Ma position », écrit-il à Boeck, (( deviendra la meilleure, à
ce que pense Keilhau. Officiellement, il en sera peut-être ainsi;
mais, entre nous, je vois, privatim, bien « des laideurs » sur la
route que je dois parcourir. En vérité, j'ai grand' peur de l'avenir!
Peut-être devrais-je chercher à rester pour toujours en Allemagne,

328 APPENDICE. — I X.

ce qui no rnc serait pas bien diiricile. Crclle m'a terriblement
bombardé pour que je reste ici. Il est même un peu fâché que je
dise non. II ne voit pas ce que je veux faire en Norvège, pays qui
lui paraît être une autre Sibérie. »

A son arrivée à Berlin, Abel avait une foule de lettres à écrire :
à Boeck, d'abord — et, vu sa situation pécuniaire, c'était alors la
plus importante — ; mais, de plus, à sa fiancée, à Hansteen, à
Keilhau, à Holmboe, à Miller, etc. En outre, il avait déjà « une
damnée besogne y> à faire pour le Bulletin de Férussac et le
Journal de Crelle.

Une lettre, avec demande d'argent, à Holmboe ne pouvait plus
être ajournée. Mais ce ne fut encore qu'un petit billet, tant Abel
était occupé pour lui-même et pour Crelle.

ce Bientôt je t'écrirai plus en détail, » dit-il dans ce billet du
20 janvier. <k Mais ce que je voudrais surtout, c'est de l'argent,
tu as été assez bon pour me promettre de m'aider. Gomme je
suis diablement à court d'argent, je désire naturellement beau-
coup que tu puisses m'en fournir et aussi vite que possible. Quant
à la traite, il vaut mieux que tu en parles avec le professeur
Maschmann, qui a un commissionnaire à Hambourg. »

Maschmann, le père, pharmacien à Christiania et ayant le
titre de professeur, avait, en effet, des relations avec Hambourg et
Berlin. Il était, en outre, en rapport avec Hansteen, et, plus tard,
il fît la connaissance de Crelle : il joua donc certainement un
certain rôle dans les graves événements qui devaient se produire.

« Le fils de Maschmann)), dit ensuite Abel,» le fils, qui est ici,
a promis d'écrire à son père; ce qu'il y a de mieux, c'est qu'on
envoie tout en (c Hamburger Banco. 3)

» Ne sois pas fâché, mon ami, de ce que je te donne tant de
peine. Mais que veux-tu que je fasse, pauvre diable que je suis! )>

Cette petite lettre de demande fut solennellement adressée :
(( Seiner Hochwohlgehorcn Herrn, Herrn Bernt Holmboe, Lecior. »

SIX SEMAINES D'EMBARRAS. 329

Un mois so passa dans cette misère! Abel, depuis son arrivée,
n'avait souvent d'autres ressources que de vivre aux dépens de ses
compatriotes qui se trouvaient à Berlin. Sa vie était donc généra-
lement bien fastidieuse! Comme à Paris, il ne faisait qu' «étudier,
manger, dormir, et d'ailleurs très peu d'autres choses. » Quelque-
fois, cependant, en dépit de sa pénurie, il ne savait pas résister
à son ardent désir d'aller au théâtre; il comptait sur des temps
meilleurs. A d'autres moments, au contraire, il se laissait aller
au désespoir.

Sous certains rapports, la vie à Berlin, quoique bien monotone,
était plus agréable que celle de Paris, à condition, toutefois,
qu'Abel fît abstraction de sa gêne, de plus en plus pressante, et
de sa situation de plus en plus endettée; à tel point [qu'il devait
lui être bien difficile de s'en jamais tirer.

Abel était souvent chez Grelle, cet homme sympathique, qu'il
ne mentionne qu'en ajoutant quelque chose de bon sur son
compte. Chaque lundi, il assistait à sa réception, et, de plus, il
était en relations fréquentes avec lui.

Il allait surtout dans la famille de Monrad. Deux ou trois fois
par semaine, il y jouait aux cartes, en même temps que Masch-
mann. C'était là une distraction heureuse, qui reposait Abel de
ses études continuelles, et qui, pour un habile joueur comme lui,
devenait pour lui une petite source de revenus, les seuls qu'il ne
dût pas à des emprunts.

Abel, en racontant à ses amis tous ses embarras d'argent, a dit
plus d'une fois comment, lorsqu'il était invité à une soirée, il
trouvait dans ses gains de jeu un soulagement à ses misères du
moment, misères qui devaient se renouveler sans cesse pendant
un temps assez long. Sans doute, entre camarades et en famille,
les mises étaient modiques; juste ce qu'il fallait pour donner de
l'intérêt au jeu. Les profits qu'il réalisait ne pouvaient donc con-
duire Abel bien loin. Mais les plus petites sommes lui devenaient
précieuses alors qu'il n'avait pour vivre que les emprunts minimes
qu'il contractait auprès de ses nouvelles connaissances.

33 APPENDICE. — I X.

Il ne reniait pas, A l'occasion, ses succès de joueur passé
maître en son art; il exprime même à Boeck et à Holmboe la
satisfaction que lui causaient ses triomphes, en disant étourdi-
ment : « Je plume ces gens; j'en ai besoin, et c'est juste. »

Pendant un mois et jusqu'à la fin de février, Abel avait eu beau-
coup à faire, non seulement pour ses travaux scientifiques, mais
aussi parce qu'il avait un «nombre effroyable de lettres» à écrire.
Combien de ces lettres renfermaient de demandes à des amis, on
l'ignore; mais il est sûr qu'ïïolmboe ne fut pas le seul auquel il
s'adressa afin de continuer son séjour à l'étranger jusqu'au mo-
ment où il pourrait se considérer comme libre.

En outre, Abel fut malade et alité, mais peu de jours. Vers la
fin de février, il était remis. L'hiver était d'ailleurs très rigou-
reux : il y avait beaucoup de neige, et « il faisait un froid de
loup ». A Berlin, on avait eu jusqu'à 18° Réaumur au-dessous de
zéro; à Munich, le thermomètre était descendu à 24-^.

Quant à la langue allemande, Abel commençait à s'en servir
mieux qu'à son dernier séjour. Naturellement, toutefois, il ne
pouvait point se mesurer avec Maschmann, qui avait déjà passé
à Berlin presque deux années. (( Maschmann », dit Abel dans une
langue familière, mais assez peu correcte au point de vue gram-
matical, c( Maschmann y est tout à fait devenu un chien qui salue. »

En attendant; était arrivée une lettre du professeur Hansteen et
de sa femme. Datée de Christiania et du 25 janvier, elle avait
passé par Paris et n'arriva à Berlin qu'un mois après son départ.
C'était une grande lettre de six pages pleines in-quarto. Elle ne
renfermait guère cependant que des choses qui ne touchaient que
M'"® Hansteen et Abel.

Peu de nouvelles du pays ! Il y est question d'Esmark, profes-
seur de minéralogie à l'Université, prédécesseur de Keilhau et, de
plus, disciple fidèle de l'illustre Werner, sous lequel il avait étudié
à Freiberg; on en dit qu'il avait été chargé de prononcer un dis-

SIX SEMAINES iriiMBAHHAS. 331

cours en latin à l'occasion du jour de naissance du nji, (\\[ « il
avait sué beaucoup » sur ce discours, détail qui l'ut ensuite
transmis à RoiTk.

De Sonunerield et Ratke {^), il était dit qu'ils étaient en guerre
dans le Magazin; Ilansteen espérait que le professeur s'en tirerait
avec les « oreilles coupées ».

Ilansteen était devenu membre de deux sociétés savantes : la
Société de Copenhague et la Société Werncrienne d'Edimbourg;
mais il ignorait comment un Ici honneur lui était arrivé, vu qu'il
n'entendait rien aux pierres.

11 y avait aussi dans la lettre un passage qui intéressait
personnellement Abel : Hansteen pensait qu'il obtiendrait, à son
retour, une place à TUniversité. Cependant, il avait été question
de le « torturer dans une école », au préalable, pendant un an. —
«Si Ton veut cela », disait Abel, «je me dresserai absolument
sur les pieds de derrière. »

Peu après l'arrivée de la longue lettre que lui avaient écrite
ensemble M"'° Hansteen et le professeur, Abel eut enfin des
nouvelles de Boeck, qui était aussi en correspondance suivie avec
Hansteen. Il reçut de son ami non moins que deux lettres à la
fois, toutes deux de Munich. Mais elles avaient passé par Paris
et elles étaient parties avant que Boeck eût entre ses mains la
lettre où Abel lui avait adressé une demande pressante d'argent.

Elles n'apportaient donc pas de fonds.

Abel, bien que déçu dans ses espérances, n'en fut pas moins
reconnaissant d'apprendre quelque chose de cet « honnête garçon
de Boeck)). Sans doute, il comprit qu'il n'était pas facile à son
débiteur de se démunir alors d'argent, vu qu'il devait se passer
du temps avant qu'il entrât en possession des 600 francs qui
étaient déposés à la légation de Paris.

Boeck, au lieu de retourner directement en Norvège, où il
devait revenir à l'automne, s'était maintenant décidé à aller à son
tour à Paris, et plus tard à Berlin. Keilhau lui donna une lettre

(1) Ratke, professeur de zoologie, l'ut le prédécesseur de Rasch, l'ami et le cama-
rade de chambre d'Abel au Regenssen.

332 APPENDICE. — I X.

de recommandation pour Paris, adressée à M. Broquart. De son
côlé, Abel lui avait fourni des renseignements qui devaient lui
servir pendant son séjour dans la même ville. Il ne voulut pas lui
recommander la pension de son mathématicien ; et lui conseilla
tout au plus d'y dîner. Mais, naturellement, il l'engagea à se
mettre en rapport avec Gorbitz, Tartiste peintre, autre <r honnête
garçon ». Il y avait aussi à Paris un jeune Norvégien, Grônvold,
également c( honnête garçon )) , qui se ferait un plaisir de guider
Boeck à son arrivée.

Bien qu'Abel eût enfin reçu une lettre de Holmboe, il était trop
dans la nécessité de rassembler toutes ses ressources propres pour
qu'il pût se dispenser d'insister encore une fois auprès de Boeck.
Il fallait «absolument» que celui-ci lui remît le peu d'argent
qu'il lui devait, et cela avant de quitter Munich. « Je ne suis pas
du tout en fonds. Hier j'ai reçu de Bernt Holmboe — qui a été à
Stockholm et à Upsala, et qui s'est beaucoup amusé pendant cette
excursion — 293 MarkBanco. C'est, pour le moment, le seul argent
qui me reste. En mai, je partirai donc d'ici, faute de ressources,
mais sans déplaisir. ii>

TRAVAUX D'aHEL A IIERLIN. )J33

XI.

Travaux d'Abel à Berlin. Sa situation au moment du retour

au pays.

Jusqu'au 25 février, lorsque après une attente de plus de six
semaines, il reçut enfin la lettre de Holmboe — prompternent
expédiée d'ailleurs comme toujours — . Abel semble donc n'avoir
eu pour vivre que les prêts que lui faisaient les compatriotes de
sa connaissance qui demeuraient à Berlin.

Il est possible que, pendant ce commencement de séjour à
Berlin, Abel ait pu tirer de Christiania quelques fonds en dehors
des prêts de Holmboe. On peut supposer qu'il s'adressa, par
exemple, à ce Skjelderup, dont il parle dans la lettre du 20 janvier
et à qui il avait écrit de Paris; ce dernier, mieux que la plupart
des autres personnes auxquelles Abel pouvait songer, était en
position de le secourir. Quant à Hansteen, tout porte à croire qu'il
ne connut pas, avant Holmboe, la pénurie de notre voyageur
et que celui-ci ne lui en avait pas parlé dans ses lettres; ce
qu'il put en savoir, il l'apprit de Holmboe et de Keilhau, et il dut
penser que les deux prêts consentis par le premier et le rembour-
sement de la dette du second avaient suffi pour parer aux
nécessités les plus impérieuses.

Mais tout ce que quelque ami ou quelque ancien camarade a
pu fournir d'argent à Abel, pendant les semaines dont nous
parlons, n'a pu être grand'chose, si Ton ne tient pas compte des
avances que lui firent ses nouvelles connaissances de Berlin. Ce
fut sur Holmboe que dut alors, comme plus tard, retomber presque
tout le fardeau, et c'était comme un fardeau qu'Abel se considérait
lui-même, disant qu' a il était créé pour être à charge à ses amis. ;)

Ce qui prouve, d'ailleurs, qu'Abel ne reçut presque rien de

334 APPENDICE. — I XI.

Norvège, en dehors de la somme que lui procura son ancien
maître, c'est qu il dit que cette somme était tout ce qu'il avait
alors à sa disposition. Et c'est avec elle qu'il devait encore vivre
deux mois, du moins sil lui était possible de prolonger aussi
longtemps, dans ces conditions, son séjour à Berlin. Il fallait
ensuite gagner Copenhague, et puis Christiania.

Le 4 mars, Abel écrivait à Holmboe pour le remercier, ce J'ai
déjà constaté, depuis plusieurs jours, les suites de ton honnêteté,
cher Holmboe, et de mon chiffon de papier, en recevant par
Cordes, de Hambourg, 293 By iO p. Merci bien de ton obligeance!
ïu me rends un service d'une importance capitale, car j'étais plus
pauvre qu'un rat d'église. Maintenant, je vivrai ici de ton argent
aussi longtemps que je le pourrai, et puis» — ajoute-t-il, en parlant
de lui-même comme d'un vagabond — « je courrai vers le Nord. »

« Je resterai un peu de temps à Copenhague, où ma fiancée
viendra. Ensuite je retournerai au pays, et j'y retournerai si dénué
qu'il me faudra sans doute tendre la sébille à la porte de l'église.
Pourtant je ne me laisse pas décourager, car je ne suis que trop
accoutumé à une vie pitoyable et à la misère. Ça finira bien par
passer! »

Telle était la situation matérielle où Abel se trouvait pendant
qu'il achevait la première partie de ses Recherches sur les
fonctions elliptiques. Dans la même lettre à Holmboe, il s'exprime
ainsi sur ce travail et sur d'autres dont il s'occupait alors :

«Par Peckel», dit-il, ce je t'ai envoyé, depuis un mois, le
troisième cahier du Journal de Crelle et un peu plus que la moitié
du quatrième cahier qui, maintenant, est terminé. y>

Le troisième cahier, publié dès le mois d'août 1826, contenait
le mémoire de Freiberg, mémoire, nous le rappelons, dans lequel
l'auteur discutait les cas où une certaine classe d'intégrales
hyperelliptiquos peut s'exprimer logarithmiquement.

Ce grand mémoire fut suivi de celui qui est relatif à la série
du binôme et qui est inséré dans le quatrième.

TUA VAUX d'aIIKL A BERLIN. 33.^

La lettre d'Abcl prouve que ce derniei' caliicr était presque
terminé pour la publication, ou bien même déjà publié avant le
4 mars 18^27.

ce Que penses-tu du mémoire de moi qui s'y trouve?» dit-il,
à propos du quatrième cahier, sur la série du binôme. (( J'ai
l'usage d'être si rigoureux qu'aucune objection fondée ne puisse
m 'être faite. »

Déjà, en octobre, Abel avait parlé de ce dernier mémoire, alors
sous presse, et à la fois du précédent, publié pendant son séjour à
Paris. A cette occasion, il disait : « J'espère que tu seras content
d'un mémoire sur une intégrale, inséré dans le troisième cahier —
un très long mémoire. — Mais je suis surtout content d'un autre
qui s'imprime, en ce moment, dans le quatrième cahier, sur la
série simple. — J'ose dire qu'on a là la première démonstration
rigoureuse de la formule du binôme pour tous les cas possibles
aussi bien que d'un grand nombre de formules en partie connues,
mais mal établies. »

Continuant, dans sa lettre de mars 1827, ses explications sur
ses travaux, Abel remarque qu'il y aura bien un petit arrêt dans
la publication du Journal, — Hansteen sait quelle en est la raison,
— mais qu'après il sera publié en français. Puis il dit :

« J'ai déjà préparé un mémoire bien étendu où il y a » "— Abel
se sert du présent et non du futur — « beaucoup de drôles de
choses » (fonctions elliptiques). « Ainsi jd, ajoute-t-il, répétant ce
qu'il avait dit à Paris, «j'ai trouvé qu'avec la règle et le compas,
on peut diviser la circonférence de la lemniscate dans autant de
parties égales que Gauss Ta montré pour le cercle, par exemple
en 17 parties. »

«Ceci», continue-t-il plus bas, après avoir rappelé que la
division de la lemniscate en 17 parties dépend de la solution d'une
équation d'un degré «énormément élevé », d'une équation du
288^ degré, « ceci n'est qu'une conséquence très spéciale de mes
recherches, et l'on en tire une foule d'autres propositions plus
générales. Ce sont mes recherches générales sur les équations qui
m'y ont amené. Dans la théorie des équations, je me suis proposé

336 APPENDICE. — I XI.

et j'ai résolu (^) le problème suivant, qui contient en lui tous les
autres : Trouver toutes les équations possibles d'un degré déter-
miné qui se peuvent résoudre algébriquement. Ainsi je suis
parvenu à une foule de théorèmes magnifiques, par exemple, ....
Mais le plus brillant, je l'ai dans la théorie des fonctions transcen-
dantes en général et celle des fonctions elliptiques en 'particulier .y>

De ces expressions, on voit qu'en dehors des recherches sur les
fonctions elliptiques, auxquelles il se livrait alors, il méditait des
travaux à venir d'une portée encore plus haute que ces recherches
elles-mêmes.

Nous nous étions figuré d'abord que ces paroles faisaient allu-
sion au dernier grand travail d'Abel sur les fonctions elliptiques,
travail qu'il publia, sans pouvoir le terminer, sous le titre de
Précis, etc. Nous supposions, en effet, qu'une certaine ébauche,
écrite, par exemple, en allemand (dans le livre manuscrit qui fait
suite au registre dont Abel se servait à Paris), datait de son second
séjour à Berlin. Mais celte hypothèse ne se soutient plus mainte-
nant qu'il est conslaté, comme nous l'avons expliqué ailleurs, que
cette ébauche en allemand, premier jet du Précis, n'a été écrite
qu'à Christiania, pendant l'automne de l'année 1827. H est donc
plus logique et plus conforme au sens même des mots d'admettre
que le passage précité vise certaines recherches préalables se
rapportant, en général, aux ce transcendantes abéliennes » , qui
allaient entrer dans la science, grâce au Mémoire à l'Institut, et,
en particulier, aux transcendantes elliptiques. C'est là ce qu'Aboi
trouvait « le plus brillant de tout )).

Il semble, cependant, en tenant compte de ses habitudes de lan-
gage, qu'il ne s'agisse ici que de ces travaux préparatoires auxquels
étaient réservés les livres manuscrits. Nous croyons, en effet, que
ces registres lui servaient plutôt pour la rédaction de ses mémoi-
res que comme des cahiers où l'on note une pensée qui vient de
naître, avant qu'elle soit devenue claire et simple pour fauteur.
Du reste, Abel décrit lui-même l'état des choses en ces mots :

{}) Auparavant, à Paris, Abel avait aussi parlé de ce problème, mais en disant
seulement qu'il voyait la manière de le résoudre.

iiiAVAix d'ahki. a iU'Ui.in. 3.37

(( Mais il faul ((ue jo iwioniio avant de pouvoir t'en faire part.
En somme, j'ai l'ait une a masse informe » de découvertes. Si je
les avais seulement mises en ordre et rédigées! car la plupart ne
sont pas encore sorties de ma tête. Il n est pas possible de penser
à de telles choses tant que je ne serai pas de retour et tant que je
ne serai pas tranquillement installé chez moi-même. Alors, j'aurai
à travailler comme un cheval de trait, mais avec plaisir, s'entend. »

Vers la fin de sa lettre, Abel parle de Boecket dit qu'il partira
pour Paris au mois d'avril, et qu'il sera à Berlin en août. Boeck
aussi avait été malade et alité. Il était rétabli maintenant, mais
attristé de la mort de sa mère.

Abel revient ensuite sur la nécessité d'abréger son séjour à
l'étranger. Mais on voit que, tout en attendant avec impatience
rheure du retour, il a des altaches au dehors. La patrie qui le
réclame est un pays sévère.

«Il me tarde», dit-il, ((de revenir; car je ne vois pas grand
profit à prolonger ici mon séjour. Chez soi, on se fait de l'étranger
des idées diablement différentes de ce que Ton devrait. Ce n'est
pas tellement supérieur! En somme, le monde est fade, mais
passablement droit et honnête. Nulle part, il n'est plus fticile de
faire son chemin qu'en France et en Allemagne. Chez nous, c'est
dix fois plus difficile.

» J'apprends que tu as été à Upsal et à Stockholm. Pourquoi
ne pas aller plutôt à Paris? Je veux y revenir avant ma mort! »

(( La lettre incluse » , dit-il en terminant, ((je te prie de la taire
parvenir au professeur Hansteen, en mains propres. J'ai reçu de
lui, il y a quelques jours, une lettre qui avait passé par Paris. —
Je n'ose pas te demander de m'écrire; mais si tu veux me sacrifier
ton temps, et les frais de port (car on ne peut rien envoyer, tu le
sais, sans affranchir), je n'ai pas besoin de te dire que tu me
rendras bien heureux. Cependant, alors, il faut te presser; et, du
coup, me donner des renseignements sur le vapeur, d

Abel avait appris qu'au printemps prochain un bateau à

338 APPENDICE. — I XI.

vapeur allait régulièrement faire le trajet entre Copenhague et
Christiania.

Nous ne savons pas ce qu'A bel crut devoir ne pas confier à la
famille Hansteen. On avait sans doute appris, à Christiania,
quelque chose de la situation difficile d'Abel ; il est vraisemblable
cependant qu'on ignorait, au moment où partit la lettre du
professeur, à quel point cette situation s'était aggravée, et en
pays étranger. Hansteen avait toujours et vivement désapprouvé
les longs et coûteux voyages. Il n'en est pas moins possible, bien
que nous en doutions fort et que la chose dût être pénible à
Abel, que celui-ci, pressé par le besoin, ait révélé au professeur
une part de la vérité. C'est même ce que semble indiquer une
phrase que nous aurons à citer tout à l'heure : a. comme vous
pouvez bien le penser. »

En dehors même des difficultés matérielles, il ne lui manquait
pas, d'ailleurs, d'ennuis à surmonter, et à l'occasion desquels il
pouvait être obligé de s'adresser à quelqu'un. C'étaient ses parents
dont la misère était extrême et qu'il devait secourir dans la
mesure du possible; c'était son plus jeune frère, qui n'en essayait
pas moins de faire ses études à fUniversité; c'était sa fiancée,
qui travaillait pour vivre dans un autre pays. Toutes ces questions
étaient de la nature la plus délicate. Certainement, elles n'étaient
pas ignorées de la famille qui prit tant de part au sort d'Abel ; et,
entre lui et sa maternelle amie, M™^ Hansteen, il devait y avoir
bien des sujets à traiter dans leur échange de correspondance.

On a conservé un bout de papier, faisant partie de la lettre qui
fut conservée dans la lettre à Holmboe. L'écriture en est très
serrée; et c'est précisément à M™^ Hansteen que le morceau est
adressé. Mais ce n'est qu'un simple fragment! Impossible de
savoir le contenu du reste, qui a été coupé.

Ce fragment commence ainsi, au milieu d'une phrase :

(( .... sens chez moi, que j'irai vous voir fréquemment. Vrai-
ment, cela sera un de mes meilleurs plaisirs. Bon Dieu, que de fois

TRAVAUX d'ABEL A BERLIN. 339

n'ai-jo pas désiré aller chez vous, mais sans Toscr! Maintes fois,
je suis venu près de la porle, et je m'en suis relourné, de peur
de vous importuner; car le pis qui pourrait m'arriver, ce serait
que vous vous lassiez de moi. Il est heureux que je puisse croire
qu'il n'en est pas ainsi....

» Quand je pense au plaisir que vous avez eu, vous et Hanstccn,
lorsque M'"" Fredrichscn et Charité étaient chez vous, je me sens
tout jaloux. Toutes les deux me sont, en elîet, si chères! Je me
réjouis de tout mon cœur de les revoir à mon retour à Copenha-
gue, qui ne tardera plus longtemps. Ma bien -aimée (qui est
maintenant à Aalborg) y viendra aussi. A Copenhague, j'ai tou-
jours mené la vie la plus agréable.

;) Hier j'ai reçu une lettre de Boeck, )) continue-t-il, répétant
ce qu'il a raconté à llolmboe. ce II a souffert quelque temps d'un
rhume et d'autres indispositions. Maintenant il est rétabli. Sa
mère est morte. Au milieu d'avril, il partira pour Paris, et il
reviendra par Berlin. D'ailleurs, il n'est guère de bonne humeur.
C'est un brave garçon !

D Je suis heureux, plus que je ne puis le dire, de ce que cela
aille si bien pour ma sœur chérie. Je l'aime du fond du cœur.
Son bonheur et la joie que j'en ressens, nous vous en sommes
redevables, chère Madame Hansteen. Saluez-la, je vous en prie,
mille fois, quand vous la verrez. Je songe sans cesse à elle.

y> Du reste, comme vous pouvez bien le penser, je mène une
vie éminemment tranquille et monotone. Toutes mes distractions
consistent à aller quelquefois au théâtre et à me rendre, chaque
lundi, à la réception de Crelle.

)) Et maintenant adieu, très chère et maternelle conseillère!
Gardez à votre Abel dans votre cœur une petite place, si petite
qu'elle soit. »

Nous ne savons rien de certain sur le séjour d'Abel à Berlin à
partir du -4 mars. C'est à cette date (on s'en souvient) qu'il écrivit
à llolmboe, en lui donnant des renseignements sur son grand

VlO APPENDICE. — I XI.

niéiTioire fondamental, alors dnjà bien avancé, les Bechcrchcs f;ur
les fondions elliptiques. C'est à celte date aussi qu'il faisait allu-
sion aux choses a les plus brillantes » de la « théorie des fonctions
transcendantes en général et des fonctions elliptiques en parti-
culier. ))

Par une singulière rencontre, ce fut le môme mois que Jacobi,
qui se livrait à ses études préparatoires des transcendantes de
Legendre, et qui Pavait fait d'abord sans succès, entra dans la
voie des découvertes, en trouvant son a principe de transforma-
tion » . Collaborateur du Journal de Crelle, il avait pris alors depuis
longtemps connaissance des procédés d'Abel, surtout grâce au
mémoire de Freiberg, où un éminent savant comme lui avait dû
puiser des inspirations pour ses propres et audacieuses recherches.

Maintenant Abel allait retourner bientôt en Norvège; mais il
devait n'y trouver longtemps qu'abandon et détresse, et y être,
par suite, arrêté dans ses travaux réguliers et dans son libre déve-
loppement. Ici commence la plus pénible période de sa vie, période
qu'une lueur ne vint éclairer que vers la fin de l'année. Toutefois,
nous ne pouvons pas entrer dans de nouveaux détails, d'autant
plus que nous nous heurterions à d'impénétrables mystères. Nous
ajouterons donc seulement quelques dernières remarques, et, pour
le reste, nous nous bornerons à renvoyer le lecteur à ce que nous
avons exposé plus haut.

L'abandon où se vit Abel ne fut pas heureusement du fait de
ses amis; sans eux, au contraire, il n'aurait pas eu d'histoire, car
il se serait entièrement perdu.

Pour comprendre la situation d'Abel, il ne faut pas songer
seulement aux secours que lui fournissait constamment Holm-
boe, et à l'aide qu'il trouvait dans la famille Hansteen et chez
quelques autres amis dont la plupart suffisaient à peine à leurs
propres besoins; il faut se rappeler que le malheureux s endettait
de plus en plus; que sa famille était dispersée et ruinée; qu'il
n'avait d'autres ressources propres que le salaire de quelques
leçons trop rares, et que cependant sa fierté et sa timidité le rete-
naient et lui imposaient silence.

TRAVAUX n\\ni:L a reriin. ?tï\

Comme lo dit Docck, pou de personnes connurent Abcl tel qu'il
était véritablement. 11 cachait ses pensées et ses soucis à ses
camarades, sous une apparence de gaîté feinte ou d'élourderie
dans les manières et dans le langage; étourderie et gaîté qui
Irahissaient sans doute une fermenlation intérieure et lui servaient
do dégagement.

Du reste, malgré sa pénurie, les apparences au moins furent
sauvées ù Christiania; Abel ne fut jamais réduit h une misère
patente : ses amis ne l'auraient pas permis. Bien qu'il n'eût presque
rien qu'il pût appeler le sien, il était toujours bienvenu dans les
familles; il put inviter parfois ses camarades à venir jouer une
partie dans sa chambre; et l'on raconte même qu'après son retour
en Norvège, « il était habillé plus conformément à son état. »

Il vivait donc de crédits, d'emprunts successifs, aidé par des
amis, et entouré d'une famille dont la plupart des membres,
aussi peu fortunés que lui-même, le regardaient comme un de
leurs soutiens. iMais ses camarades ne connaissaient que très
imparfaitement sa véritable situation. Ce ne fut qu'aux plus
intimes qu'il parla do ses difficultés matérielles contre lesquelles
il avait à lutter pour se maintenir, sans importuner toujours les
mômes amis. Et ces amis qu'il était contraint d'importuner (( à
son grand regret ^), qui l'invitaient chez eux, qui l'aidaient en lui
prêtant de l'argent ou en le cautionnant, qui faisaient toute sorte
de démarches, restées longtemps vaines, pour lui procurer une
situation officielle, ces amis, rassurés par tout ce qu'ils faisaient
pour lui, ne se rendirent guère compte de toute la gravité de sa
situation.

H y a des choses que l'on voit, et d'autres que Ton ne voit pas
ou que l'on ne comprend pas clairement, si l'on n'a pas quelque
peu passé par les mêmes épreuves. Dans les entretiens intimes,
ou dans les lettres qui n'étaient pas destinées au public, mais
dont quelques fragments subsistent encore, Abel a laissé échapper
des paroles qui témoignent d'une lutte silencieuse et de nombreux
jours de privation.

342 APPENDICE. — I XII.

XII.

Réunion des œuvres d'Abel dans une première édition, et
publication du Mémoire présenté à l'Académie des Sciences
de Paris.

Nous ne nous occuperons plus de la vie et des œuvres d'Âbel,
bien qu'il eût été très intéressant de voir se développer le drame
où lui-même, dans son isolement, oii Jacobi, et Gauss, et Schu-
macher, et Legendre jouèrent chacun son rôle et manifestèrent
leurs personnalités. Faute d'espace, nous avons dû exposer ce
drame, en son temps, sous une forme systématique, et non en
racontant les faits dans leur ordre chronologique et en laissant la
parole aux acteurs. Il ne serait donc pas possible de revenir ici
sur ce sujet sans multiplier les répétitions.

Mais il peut être curieux de savoir comment on se détermina
à faire une édition des œuvres d'Abel, et c'est ce que nous allons
maintenant raconter en détail.

A la date du 17 juillet 4831, le baron Maurice adressa une lettre
à notre ministre de Paris, M. Lowenhjelm. Il commençait par y
rappeler qu'il avait fait une visite au comte, lorsqu'il avait eu la
douleur d'apprendre que M. Abel, si jeune encore, avait été enlevé
à son pays, dont il eût été une des gloires. A cette occasion, il
s'était permis de parler du grand intérêt que présenterait pour la
science une édition de l'ensemble des écrits de cet éminent
mathématicien, et qu'il avait cru remarquer que Son Excellence
était disposée à croire que Son Altesse le Prince royal ne refuserait
as de favoriser l'exécution de cette entreprise.

Le baron regardait actuellement comme son devoir d'informer

PUBLICATION DKS OEUVRKS d'aRKL. :Î43

le comte de tout le prix qu'aurait une semblable publication aux
yeux des malbématicicns dont les signatures se- trouvaient au bas
de la Lettre au Roi, lettre que le comte avait eu la bonté de
transmettre au mois de septembre précédent (^). Ces mathéma-
ticiens étaient convaincus que rien ne serait plus avantageux au
progrès de l'analyse malhémati(jue, plus honorable pour la mé-
moire d'Abel, et plus digne de sa patrie que le soin qu'on prendrait
de réunir en un seul volume les travaux du jeune savant, travaux
qui, malheureusement, se trouvaient dispersés dans plusieurs
journaux, dont l'acquisition complète était toujours diiïicile et
coûteuse. On pensait que, publiés dans un volume in-^'' de 400
à 500 pages, les écrits de feu Abel se répandraient commodément
dans le monde scientifique. Cette diffusion de ses œuvres assu-
rerait à l'auteur la gloire posthume à laquelle il avait tant de droit,
et cette gloire rejaillirait infailliblement sur le pays qui l'avait vu
naître.

Rien ne serait, d'ailleurs, plus naturel que de confier le soin
de rassembler et de publier les travaux en question aux mathé-
maticiens membres de l'Académie royale de Stockholm. On
pourrait même donner au volume projeté la forme d'un supplément
aux mémoires de cette Académie. On rattacherait ainsi les bril-
lants travaux d'Abel aux travaux des membres dont la compagnie
se composait.

« Si les détails que je viens de vous exposer. Monsieur le Comte,
vous paraissent dignes d'attention, je me trouverais heureux
d'avoir provoqué une mesure sans laquelle, peut-être, la dispersion
des écrits d'un homme de génie préjudicierait à l'éclat que mérite
son nom. »

La lettre de Maurice fut communiquée par le ministre à Berze-
lius, le célèbre chimiste de Stockholm. Mais, naturellement.

(^) Nous ne comprenons pas le sens de cette phrase, d'après laquelle la Lettre au
Roi n'aurait été transmise qu'au mois de septembre 1830. Peut-être la première
lettre avait-elle été suivie d'une seconde. On en doit aussi conclure que l'Adresse
où le Roi était sollicité d'appeler Abel à l'Académie de Stockholm, avait été signée
également par Maurice.

314 APPENDin:. — I xn.

celui-ci reconnut trop bien la confusion de nationalité qui ressortait
de récrit adressé au Roi par les savants étrangers. Il écrivit, en
conséquence, le 27 septembre 1831, à Hansteen, en lui envoyant
la lettre du savant Français. <k L'Académie », disait-il, « n'a
pas les moyens de publier une semblable édition, et la gloire
nationale quon pourrait en acquérir reviendrait incontestable-
ment à la Norvège. Si l'Université de Christiania se chargeait de
l'affaire, le Storthing ne refuserait certainement pas de voter les
fonds nécessaires. y>

Hansteen présenta alors les deux lettres (celle de Maurice et
celle de Berzelius) dans une séance du Sénat de fUniversité. Il en
résulta que, conformément à la proposition du Sénat, il fut décidé
que les œuvres d'Abel seraient publiées aux frais de l'État, et l'on
confia à Ilolmboe, comme à celui qui avait été le maître d'Abel,
et plus tard, quelque temps, son compagnon d'études, le soin de
l'édition.

La tache de Holmboe était bien plus difficile qu'on ne le croit
ordinairement aujourd'hui. Il avait à s'occuper de matières aussi
profondes que nouvelles et, entre autres, d'une excessive géné-
ralité. La publication ne pouvait donc être terminée qu'après
plusieurs années. De plus, malgré les scrupules minutieux que
l'ancien maître d'Abel apporta dans sa tâche, pour la remplir
dignement, on peut se demander s'il n'y a pas beaucoup de choses
qui aient échappé à son attention ou qu il ait omises, faute de les
comprendre, en étudiant les manuscrits. Il est naturellement fort
probable qu'il n'a pas pu, en général, deviner le sens de maintes
notes ou premières esquisses que l'auteur n'avait pas eu le temps
d'élaborer avec soin et de rédiger sous la forme définitive de
mémoire.

On ne sait pas davantage dans quelle mesure Holmboe a disposé
des manuscrits d'Abel. Un bon nombre de ceux-ci ont été certai-
nement anéantis et dispersés, par suite d'un incendie qui, peu de
temps après la mort de Holmboe, menaça la maison où celui-ci

l'UHMCATION I»r:S (EUVHHS iTAlirL. IVlV)

demeurait. Ainsi que nous l'avons àô\k dit, on n'a guère retrouvé,
do temps à autre, ((uo les manuscrits ayant la forme de livres et
contenant les rcclicrches auxquelles Fauteur se livrait imim'îdia-
tement avant do rédiger ses mémoires. La plupart des papiers
détaches ont été détruits par l'eau et dispersés, en sorte (ju'ils
sont bien perdus pour toujours.

Il est aussi diflicile de comprendre comment il s'est fait que le
mémoire qu'Abel envoya de Paris à Gergonne et dont Ilolmboe a
eu connaissance par une lettre d'Aboi, n'ait pas trouvé place dans
l'édition. Quant au Mémoire de Paris, il fut fait des tentatives
pour en obtenir une copie, mais en vain; et cela, bien que des
membres de l'Institut de France s'intéressassent très vivement h
Abel, au géomètre dont le travail le plus précieux avait été gardé
par leur Académie, sans qu'elle eût encore rien fait pour le publier.

Au milieu de l'année 1839, Ilolmboe finit sa tache. Un exem-
plaire des Œuvres complètes (ou plutôt incomplètes) fut transmis
à Crelle avec une lettre datée du i5 août. A cette époque,
il fallait bien du temps pour qu'un semblable envoi arrivât à son
adresse! En effet, Crelle ne reçut son exemplaire qu'au commen-
cement du mois d'avril 1840, et la lettre d'accusé de réception
adressée à Holmboe est datée du 15 mai. Il y exprime sa recon-
naissance pour le don du livre, si précieux pour lui, de l'homme
rare, mort trop jeune, qui l'avait honoré de son amitié et de sa
confiance (*).

. L'incident du baron de Maurice et des académiciens suédois
tomba bientôt en oubli, ainsi que la lettre adressée parles savants
Français au <k Roi de Suède li), afin qu'il appelât Abel à l'Académie
de Stockholm : les contemporains ne devaient guère conserver la
mémoire d'événements relatifs à un homme qui était mort si
jeune et dont les mérites n'étaient pas de ceux que peut apprécier
le grand public.

(*) Cotte IcUre, dalée de Rorlin, 15 mai, fut reçun par Holinboo le 2 juin. F.lle
piouve, do nouveau (ce qui n'est pas sars intérêt imur l'îiistoiro d'AbcT, qu'ordinai-
rement il se passait deux seniairi''S avant ([u'unc lolln; arrivât de Berlin à Cljristiania,
ou réciproquement.

346 APPENDICE. — I XII.

D'ailleurs, d'autres circonstances contribuèrent à ce résultat.
L'une des deux affaires que nous venons de rappeler, celle de la
nomination à TAcadémie de Stockholm, fut regardée par tout le
monde comme une chose qui ne touchait pas les compatriotes
d'Abel. Les académiciens français avaient, sans doute, agi dans
les meilleures et les plus louables intentions; mais presque comme
s'ils s'étaient adressés, à cette époque, au roi de la Grande-Bretagne
pour qu'il fît entrer un Hanovrien dans la « Royal Society )>. Quant
à la seconde affaire, qui s'explique naturellement par la première,
elle équivalait, dans la même hypothèse, à une demande adressée
à la Société savante de Londres, pour qu'elle se chargeât de la
publication des écrits d'un jeune et éminent Allemand. Or, la
dernière invitation (l'invitation du baron Maurice aux académiciens
suédois) est la seule qui, après quelques retards forcés, soit arrivée
à destination. Mais on en fit si peu de bruit, que le public qui y
était vraiment intéressé, n'en eut presque aucune connaissance.
On paraît même s'être arrangé de manière à employer les fonds
publics de la Norvège sans qu'on eût besoin de proposer à l'As-
semblée nationale l'ouverture d'un crédit spécial. Ainsi, tout fut
réglé dans les hautes régions, par la voie diplomatique, ou par une
courte intervention de l'Université. H n'est donc pas étonnant que
cette affaire ne contribuât pas beaucoup à augmenter la gloire
d'Abel parmi ses compatriotes, ni à éclairer ceux-ci sur la haute
estime que professaient pour lui les plus illustres savants de
l'Europe. On ne se souvint pas, non plus, de Maurice et des
généreux savants français.

La nouvelle que les œuvres d'Abel étaient publiées, se répandit
parmi les savants de Paris vers le milieu de l'année 1840. Un
peu plus tôt, le premier exemplaire était déjà arrivé à Berlin.
Maurice qui désirait ardemment posséder un exemplaire de l'ou-
vrage, alors, sans doute, que les libraires étrangers ne pouvaient
pas se le procurer encore, s'adressa au comte Lovvenhjelm. Il en
advint que, conformément au désir exprimé par Sa Majesté le Roi,

PUBLICATION DRS OEUVRES d'AHEL. 347

un bel oxomplaire lui fut transmis, accompagné d'une lettre de
Ilolmboe, datée du 2^2 juillet 1840.

La publication des œuvres d'Abel allait être sous peu un fait
généralement connu de tout le monde scientifique.

L'année suivante, en 1841, quinze années après la présentation
du mémoire d'Abel à l'Académie de Paris, ce mémoire, exclu
d'abord de la collection, fut inséré enfin dans les Mémoires des
Savants étrangers. Il avait pour titre : « Mémoire sur une pro-
priété générale d'une classe très étendue des fonctions transcen-
dantes, par M. N. IL Abel, Norvégien; présenté à l'Académie le
30 octobre 1826. »

348 APPENDICE. — I XIII,

X1!I.

Remarques finales sur le caractère et la situation de la société
d'où sortit Abel. — État de la Norvège pendant sa première
jeunesse et à son retour de l'étranger.

Pour mieux comprendre Thistoirc d'Abel, il est bon de jeter
un coup d'œil sur les grands changements qui s'accomplirent
dans sa patrie pendant ses premières années. Nous rapporterons,
en outre, quelques traits de l'existence que menaient les classes
de la population au milieu desquelles il vécut dans le presbytère
de son père. Ainsi nous verrons comment les événements de
cette époque, tout en modifiant le sort du pays, exercèrent une
influence profonde jusqu'aux foyers des familles; si bien qu'on
doit y chercher la cause complexe de bien des choses qui se
passèrent alors.

Dans cette exposition, nous introduirons aussi le père d'Abel;
Il prit une part, bien que peu apparente, aux événements du
temps. Cet homme, qui fut l'instituteur et le précepteur de notre
mathématicien, représenta avec distinction une société qui
aspirait à regagner et regagna sa liberté, société éprouvée fort
durement et contrainte à compter jusqu'au bout avec ses faibles
ressources. Pour le futur savant, un semblable milieu compensa,
dans une large mesure, quelques-uns des défauts qu'on découvrait
aux institutions d'un petit pays renaissant à peine au milieu des
circonstances les plus graves. L'influence puissante des premières
impressions de sa jeunesse dut se manifester plus tard dans les
recherches aussi sévères qu'indépendantes auxquelles il se livra.

Mais les revers de fortune qu'éprouva sa famille, eurent une
action non moins profonde sur la vie du jeune Abel ; d'autant
plus que sa position devait déjà se ressentir péniblement des

LA NOUVKCK Ml COMMKNCRMKNT DU XIX^ SIKCLE. '.\\\)

malheurs qui avaient IVappi; lo pays tout on lier. Ces revers (1(3
for! une fureni la conséqu(}nco clos gran<ls boulovorscments qui
agitèrtMil la société d'alors, mais surtout de quelques contre-coups
qui se produisirent dans les contréi's où était située la paroisse
dWbel pore. Le désastre l'ut complot quand survint la mort du
père, avant que le fils eût quitté les bancs de l'école.

En expliquant toutes ces choses avec un peu plus de détails,
nous ferons aussi voir plus clairement quels étaient les risques
et périls que courait Abel en revenant dans son pays; et nous
ferons sentir combien il avait raison de redouter à Berlin ces
a laideurs» qu'il rencontrerait sans doute, même dans le cas
où il obtiendrait une place à TUniversité.

A la fin du siècle passé, ainsi qu'au commencement du
précédent (mais après une courte interruption), il y avait eu
une période bien florissante dans ce pays du Nord où naquit Abel.
Presque toute l'Europe était impliquée dans de grandes guerres
et les Anglais dominaient sur mer. Mais l'Etat danois-norvégien
put d'abord garder la neutralité; et ses côtes étendues (celles de
Norvège su i tout) étaient admirablement situées pour une naviga-
tion profitable. Ce fut là un avantage d'autant plus grand qu'on
avait, à l'époque, à pourvoir d'autres pays, fortement gênés dans
leurs communications respectives. Aussi la flotte marchande
s'accrut-elle considérablement, peut-être même hors de proportion
avec le nombre des habitants. De plus, la Norvège, en particulier,
obtint de très hauts prix pour les produits de ses forêts.

Et ce n'étaient pas seulement les habitants des districts
maritimes ou des villes de la côte qui firent des bénéfices
extraordinaires dans ces circonstances ; ceux des vallées, dans
l'intérieur du pays, furent aussi favorisés par cette liberté de la
mer, sans laquelle on ne peut presque pas vivre, encore moins
parvenir à quelque aisance, dans ces régions dont une si grande
partie ne saurait subvenir à sa propre subsistance.

D'autant plus grand fut le désastre, lorsqu'on 1807 (c'était

350 APPENDICE. — I XIII.

encore dans Tenfance d'Abcl, TÉlat danois-norvégien, mal dirigé
par un gouvernement absolu, sans ressources rassemblées à
temps, se vit une seconde fois en guerre avec l'Angleterre, avec
laquelle il avait eu un premier conflit au commencement du
siècle. D'un seul coup, les Anglais s'étaient emparés de la flotte
de guerre à Copenhague, et, par la suite, mille navires marchands
(danois et norvégiens) furent capturés. Pour la Norvège, en
particulier, les plus importantes ressources de ce pays de pêcheurs,
de marins et de montagnards, furent ainsi presque perdues et
même toute communication fut sévèrement interceptée avec le
Danemark, siège du gouvernement et magasin de blé de la
contrée. En môme temps, éclata la guerre avec la Suède, qui
occupe la partie orientale de la péninsule Scandinave et dont la
frontière est longée à l'ouest par la Norvège sur une grande
étendue.

Dans ces temps extrêmement durs — comme à l'époque de la
première guerre avec les Anglais, on dut maintes fois subvenir,
dans son isolement, à ses besoins tant bien que mal, avec ce qui
vous restait. Pour défendre d'immenses côtes, avec leurs îles,
leurs ports et leurs villes, la flotte canonnière et le petit nombre
de vaisseaux de guerre dont on disposait encore ne suffisaient
pas, alors qu'on luttait contre un ennemi si puissant — sur lequel
on remporta, cependant, quelques avantages en s'abritant derrière
les nombreux écueils de ces parages. Encore moins put-on faire
prendre la mer aux navires marchands. — On raconte, entre
autres traits de cette époque et de la précédente, que le père
d'Abel, le paisible pasteur, rassembla lui-même ses paroissiens,
quand les Anglais menacèrent le pays, et organisa la défense de
son île. Pour cette action, il fut décoré de l'ordre du Danebrog.

Des banqueroutes, la misère, et même, pour un grand nombre
d'habitants, la famine, telles étaient les conséquences des événe-
ments politiques.

Les croiseurs anglais surveillaient les côtes et capturaient les
navires à voile qui, par de sombres et orageuses nuits, essayaient
de traverser le Skagerak, afin d'aller chercher des céréales et

LA NORVÈGE AU COMMKNCKMENT OU XIX" SIÈCLE. 3f>l

craulros ciioscs de première nécessité. Quelquefois aussi, en plein
hiver, dans quelque port débarrassé de glaces, on essaya de faire
de périlleux voynges en bateaux ouverts, sans oser lever la voile,
de peur d'être aperçu, et, quand alors on réussissait à revenir,
c'étaient deux ou trois tonneaux de blé à partager. Voilà quelle
était la situation des cotes.

A Tintérieur, en maiuls endroits, on fut réduit à remplacer les
céréales par de l'écorce, ou bien on recueillit de la mousse sur
les montagnes et on la prépara de manière à la mêler à la farine.
Et le sort des habitants s aggrava encore quand, dans ces circons-
tances critiques, les désastres d'une ou deux années stériles vinrent
plus tard s'ajouter à ceux de la guerre et de la fermeture des mers.

On avait été contraint de développer outre mesure la culture du
blé. Cependant, il ne fallait pas restreindre le nombre des têtes
de bétail. On dut donc, même en hiver, conduire chaque jour,
pendant quelque temps les bestiaux chercher leur nourriture dans
les bois, où ils vécurent des feuilles en aiguille. Mais, quand
vinrent ensuite les années stériles, et que, dans les hautes terres,
le blé gela, le mal redoubla, et en bien des lieux la misère alla
jusqu'à la famine.

Les finances de l'État avaient été mauvaises même dans les
bons temps. Maintenant l'argent n'eut presque plus de valeur.
On en arriva même à de telles extrémités qu'on dut payer pour
un tonneau d'orge mille écus dansk kurant, et un pareil écu
devait équivaloir à | spd. 11 fallut donc des sommes énormes
pour les objets les plus nécessaires, surtout dans une telle mon-
naie; et il arriva en exécution d'anciens marchés, que le prix
convenu d'une ferme se payait avec celui d'une vache.

Bien des familles furent ainsi ruinées. Les plus grands boule-
versements économiques se produisirent en peu de temps, et tel
qui était riche hier, n'avait plus rien aujourd'hui.

Le père d'Abel, pasteur à Findci, — une des innombrables îles
de la côte Sud -Ouest de la Norvège — fut envoyé en 1803 à

352 APPKNDICR. — I XI!f.

Gjorresiacl (*), paroisse où son propre père, récemment décédé,
avait exercé le ministère avant lui. Son second fils, notre mathé-
malicien, n'était alors qu'un enfant âgé d'un an.

La nouvelle paroisse formait un district situé auprès de la
mer entre le cap Lindesnes (point le plus méridional de la Nor-
vège) et l'entrée du fjord de Christiania. Cette paroisse, par
exception à ce qui se voit dans un pays dont la population est
clair-semée, confinait à la fois à plusieurs petites villes de la côte.
C'étaient Krajero, Ristir, Tvedestrand et, un peu plus vers le sud,
Arendal. Dans toutes ces villes, et surtout dans la dernière,
s'exportaient les produits forestiers des districts voisins, et, de
plus, il s'y faisait d'importantes affaires commerciales avec un
grand nombre de navires. On peut même avancer que là s était
concentrée l'activité maritime du pays.

En conséquence, pendant les premières années qui suivirent
la prise de possession de la paroisse par Abel, la situation était
excellente, au point de vue économique, tant pour ses paroissiens
que pour lui-même. Avantageusement connu dans la contrée, il
fut reçu avec beaucoup de bienveillance; et il contribua fortement
pour sa part au progrès les plus divers, prenant la direction de
toutes les réformes utiles : qu'il s'agî^t d'améliorations relatives
à la vie pratique, ou bien d'écoles et de petites bibliothèques
communales. xMais soudain éclata la guerre avec l'Angleterre et
avec la Suède, et elle jeta partout la confusion. Aucune partie
de la côte ne fut surveillée plus rigoureusement par les croiseurs
anglais, que la paroisse et les rivages contigus.

Toute activité fut dès lors arrêtée dans les petites villes
maritimes qui vivaient presque exclusivement du commerce; et,
à part une conséquence inévitable, une stagnation semblable des
affaires se produisit dans les campagnes voisines, peuplées de
marins, de pilotes et de paysans, vivant tous plus ou moins des
villes, où les uns cherchaient des engagements sur les navires, et
où les autres écoulaient les produils de leurs bois.

(1) Ou, plus exactement, à la paroisse de Sondclcr, qui ne faisait plus partie de
Gj erres lad.

LA NOnVKC.K AU COMMIiNCEMENT DU XIX'' SIÈCLE. 3rj3

Au bout (le quoique temps, le riciie ariuateur, le inarchand, le
propriétaire de bois, le rentier, se virent bien des fois dans une
situation à peine meilleure que riioinme du peuple, et cependant
leur argent semblait devoir leur permettre de se procurer plus
aisément tous les agréments de la vie, ou du moins les moyens
d'existence, alors si rares. L'État ne pouvant plus tenir ses pro-
messes et l'argent ayant perdu presque toute sa valeur, la confusion
arriva au dernier degré, et il en résulta les plus extrêmes vicissi-
tudes de fortune pour le ricbe comme pour le pauvre.

Naturellement, la condition du pasteur Abel se ressentit grave-
ment de tous ces bouleversements, de cette confusion financière,
de cette cberté des vivres, de toutes les difficultés, en somme,
contre lesquelles ses paroissiens avaient à lutter chaque jour: il
suffisait que le temps s'écoulât, et que le nombre de ses enfants
s'accrût, pour que sa situation devînt de plus en plus mauvaise.

Quand ces temps pénibles commencèrent, son fils cadet, notre
futur mathématicien, était encore un enfont de cinq ans. Cet
enfant ne fit donc que trop connaissance avec la gêne, dans la
maison paternelle, où il resta pendant toute sa première jeunesse,
jusqu'à l'âge de treize ans, époque à laquelle il fut mis en pension
à Christiania (1815); et, pendant tout ce temps, il ne vit autour
de lui que dénûment et misère.

Telles furent les circonstances au milieu desquelles il reçut
ses premières et plus vives impressions et dut aussi commencer
à apprendre quelque chose d'une manière régulière.

On ne pouvait point songer alors à se débarrasser de ses
enfants, en les plaçant à un âge encore peu avancé dans une
école de la ville la plus voisine. On ne pouvait pas davantage,
sans une nécessité absolue, se charger de faire vivre chez soi une
personne étrangère qui remplirait dans la maison les fonctions
de percepteur. Là où c'était possible, il fallait se tirer d'affaire
de toute autre façon. Aussi, ce ne fut pas loin du foyer domes-
tique qu'Abel reçut ses premières leçons. Il eut son père pour
maître.

Mais c'était un père de très haute capacité! A l'Université de

354 APPENDICE. — I xrii.

Copenhague, il avait subi ses examens avec une distinction
exceptionnelle, et Ton raconte que le grand'père avait été bien
fier d'un tel fils. En outre, Abel père n'était pas un homme de
routine. Il pensait par lui-même. C'est ce dont témoignent les
projets d'améliorations de divers ordres, dont il était toujours
occupé. Nous avons mentionné déjà, comme quelque chose de
bien caractéristique, qu'il voulut que, dans l'enseignement, tout
fût si clair qu'on pût, en quelque sorte, le a toucher des mains ».
Peut-être ce que son fils apprit à son école n'était pas conforme
en tout point aux connaissances d'un élève ordinaire : il dut y
avoir des lacunes dans cet enseignement. Mais si Ton admet
que c'est à la vie que l'école a vraiment mission de préparer, on
jugera que cet inconvénient était bien compensé par Yesprit d'une
méthode visant toujours à la clarté la plus parfaite, et par des
rapports journaliers avec un maître et un père semblable.

On vivait donc, alors, dans un temps où chacun faisait effort
pour se soutenir, et on luttait, à cette époque cruelle, non seule-
ment pour l'existence, mais aussi pour conserver les avantages
de la civilisation et de l'ordre social.

Entre les deux pays formant le même État, une espèce de
séparation avait commencé à se produire par suite de l'interrup-
tion des communications. Ce n'étaient plus que de très faibles
liens qui rattachaient maintenant la Norvège, possession lointaine
de la couronne danoise, au pays où siégeaient l'Université com-
mune et le Gouvernement. Aussi, dans ces circonstances, le
besoin de prendre une part plus active à sa propre destinée et à
celle de son pays devait se manifester énergiquement dans tout
le peuple. On allait bientôt se trouver en présence de nécessités
irrésistibles.

Il ne pouvait plus être question de continuer à se rendre dans
la capitale, si lointaine et séparée par la mer, pour achever ses
études ou pour subir les examens d'entrée au service de TEtat.
Le désir d'avoir une Université propre prit en Norvège, dans
ces jours de danger et d'isolement, une énergie telle qu'il fallut
le satisfaire. Le résultat en fut la fondation de l'Université de

LA KOnVKf.r: au rOMMKNCKMFM DU XI\° SIÈCLF. 3^);)

Christiania, oï> l'an 1811. — Ilanslccn, dont nous avons déjà
parlé si souvent dans ces esquisses, appartient à la première
série de professeurs. Pour prendre possession de sa place, il dut
alors se rendre par mer en Danetnark, voya^^e dangereux à
cause des croiseurs anglais.

Quand les longues querelles des puissances de TEuropc furent
sur le point de finir, et que le jour de la justice et de la récom-
pense approcha, le pays fut traité comme une marchandise. Il
fut séparé du Danemark, mais pour être livré à la Suède, à titre
de pays vassal.

Toutefois, les événements que l'on décrète à l'avance ne sont
pas toujours ceux que l'histoire enregistre. Souvent il faut
compter avec des facteurs que l'on n'a pas pu prévoir. 11 en fut
ainsi dans le cas qui nous occupe. Mais ce n'est pas le lieu
d'expliquer en détail comment la balance finit par s'établir en
faveur du plus faible, ni d'essayer de faire voir que ce qui se
passa était presque la seule chose possible. Nous verrons,
ailleurs, qu'en réalité aucune des deux parties ne gagna ce quelle
s'était proposé, et que l'une et l'autre durent se contenter d'une
transaction. L'accord qui intervint était, du reste, très acceptable
et fut heureux par la suite, en dépit des dangers qui devaient
naître d'une lutte inévitable entre des intérêts majeurs et
opposés.

Le pays qui devait être la proie du plus fort commença par se
constituer, après s'être dégagé de ses anciens liens avec le Dane-
mark, en royaume indépendant. 11 se donna, au mois de mai 18 17,
une constitution libre, et choisit comme souverain un prince
danois. Par bonheur pour le pays « rebelle » , on était trop occupé
avec la France pour pouvoir agir contre les Norvégiens. Ceux-ci
gagnèrent ainsi un temps précieux, jusqu'au mois d'août.

Cependant la situation du prince danois, héritier de la couronne
de Danemark, et homme trop faible de caractère pour diriger
un mouvement national si plein de péril, était trop difficile, en

356 APPENDICE. — I XIII.

présence de l'opposition des grandes puissances aK-'ees, pour se
prolonger longtemps. 11 n'osa rien et se borna, pendant quinze
jours, à des «parades militaires)). On n'eut de succès que là où
le prince ne put tout confondre par sa présence. Enfin il céda,
et renonça à sa pauvre couronne de Norvège.

Mais cela môme fut une nouvelle faveur inespérée de la fortune.
On ne pouvait rien faire définitivement en traitant avec un
simple rebelle. Il fallait convoquer le « Storthing », l'assemblée
nationale. On avait, d'ailleurs, obtenu un grand avantage en
forçant le prince à se retirer. De cette façon, les choses traînèrent
jusque vers la fin d'octobre. On arriva à la veille de l'hiver.

Pour la Suède (qui elle-même était épuisée par suite des luttes
et des malheurs du siècle), la guerre n'était pas encore une
guerre nationale, comme elle menaçait de le devenir pour la
Norvège. Ce n'était jusque-là quune guerre essentiellement
politique, pouvant produire de grands avantages pour le pays,
dont la frontière occidentale n'aurait plus d'agression à craindre
et serait mise en communication avec la mer. Il n'était pas, du
reste, si facile de mettre sur pied le nombre de troupes néces-
saires pour conquérir le pays révolté et pour le garder en sa
possession. Il y avait aussi des ditficultés pour se procurer
l'argent indispensable à une telle entreprise. Enfin, alors qu'on
avait déjà gagné beaucoup, la position du prince royal de Suède,
ancien maréchal de France, n'était pas des meilleures aux yeux
des princes légitimes de l'Europe.

Il fallait donc se hâter. L'hiver approchait. Une occupation
éventuelle de Christiania, avec ses dix mille habitants, n'avait
pas une si grande importance, et pouvait même devenir dange-
reuse plus tard. Les forces norvégiennes étaient intactes, et, si
l'on osait entreprendre une campagne d'hiver, le pays à défendre
réunissait les avantages d'une Espagne, d'un Tyrol, d'une Russie,
et mieux encore; car les Norvégiens pouvaient, de plus, former
des corps se transportant partout avec une très grande rapidité.

On comprit, de part et d'autre, qu'il était bon et nécessaire de
céder sur quelques points importants pour gagner et conserver

LA NOnVKr.I- AU COMMFNrFMrîNT DU XIX" SlèCLF. 357

rcspoctivemcnt ce qui, pour lo momont, était plus importnnt
cnroro. Quand on on fut arrivé là, la situation du Stortliin^^ fut
la nioilloiiro pendant los dcrni«'TCs négociations, et ce fut aussi
lui <pii sutlo plus souvent faire accepter ce qu'il voulait, lorsqu'il
fixa les conditions sans lesquelles la Norvc^ge ne consentirait pas
à s'unir à la Suède. Si nous entrons dans ces détails, c'est qu'ils
ont rapport à certaines déclarations que nous allons citer et qui
émanèrent du père d'Abel, dont il va être de nouveau question.

Ce fut en novembre que fut définitivement acceptée l'union,
en vertu de laquelle la Norvège devait former un royaume
particulier, libre et indépendant, qui (c de sa libre volonté »
tendait la main à la Suède, mais gardait ses institutions en tant
qu'il n'était pas nécessaire de les modifier, pour les mettre en
rapport avec le nouvel état de cboses.

Dans les événements de cette année, le père d'Abel, pasteur
d'une paroisse maritime qui avait tant souffert du blocus, ne
joua aucun rôle marqué; toutefois, député à l'Assemblée natio-
nale qui fut convoquée alors, il sut exprimer fidèlement l'opinion
générale, en déclarant les conditions auxquelles il consentait,
pour sa part, à l'union éventuelle.

«Nous sommes encore, » dit-il, « grâce à Dieu, un peuple libre
et indépendant; et il faut agir comme tel. Ce n'est pas à la
Suède, mais c'est à nous de préciser les principes conformément
auxquels des libres Norvégiens appelleront les Suédois leurs
frères. »

Un nouvel état de choses était maintenant fondé : les deux
nations voisines, ennemies depuis plusieurs siècles, se métamor-
phosaient, comme le dit Abel, en «frères».

Abel père continua à représenter ses districts à l'Assemblée
nationale. Il fut spécialement membre du premier « Storthing
ordinaire», celui de l'an 1815; et comme député il s'y joignit à
l'opposition qui défendit la cause de la liberté et des intérêts
nationaux, contre toutes les tentatives de fusion des deux peuples
et de modification de la constitution du paysan profit du pouvoir
central.

358 APPENDICE. — I XIII.

La môme année (1815), son fils Niels-Henrik Abel fut misa
récole cathédrale de Christiania.

On s'était donc donné une constitution très fibre, et on avait
fondé des institutions bien conformes certainement à la nature
du pays et aux besoins d'un peuple arrivé, par un développement
historique, à Tétat d'une pure démocratie. Néanmoins les pre-
mières années n'en devaient pas moins être critiques. On avait
été soumis naguère à un gouvernement absolu, et, aux désastres
de la guerre et du blocus, s'était joint le fléau d'années stériles.

Les finances étaient donc fatalement, tout d'abord, dans un
désordre très regrettable. On créa, grâce à de grands sacrifices,
une banque nationale. Quelques années après, on n'en vint pas
moins à une nouvelle banqueroute. C'était la seconde dans le
court intervalle qui s'était écoulé depuis le commencement du
siècle. La valeur de l'argent descendit cette fois au huitième de
la valeur nominale.

Il y avait donc des côtés bien sombres dans l'état social de
l'époque, malgré tous les effets bons et salutaires qu'avaient pro-
duits les changements politiques. On éprouvait l'action vivifiante
de la liberté; mais on ressentit également les contre-coups des
terribles événements qui venaient de s'accomplir ou qui s'ache-
vaient alors. En quelques endroits môme, une plus grande
indépendance contribuait à rendre plus manifestes les consé-
quences du mal.

Nous ne faisons pas ici allusion à des faits qui ont exercé une
influence immédiate et visible sur la société en général. Nous ne
parlerons que de petites choses; nous exposerons certaines altéra-
tions des mœurs qui se produisirent très fâcheusement dans la
paroisse d'Abel, vers la fin de sa vie. Ces circonstances portèrent
une rude atteinte aux intérêts du pasteur et de sa famille.

Les événements avaient imposé et imposaient encore à tous
les plus courageux efforts pour se tirer d'affaire. D'excellentes
conséquences devaient en résulter dans l'avenir. Mais ces appels

LA NORVÈGE AU COMMENCEMENT DU XIX° SIÈCLE. 359

cxni^érés à Tonorgic individuelle devaient aussi produire, à côté
du bien, des résultats inconnus et mauvais, c'est-;'» -dire des habi-
tudes démoralisantes.

L'ivrognerie et d'autres vices se répandirent avec les soucis,
la misère, rinsuffisancc de la nourriture surtout, au milieu des
vicissitudes extrêmes de la fortune, par suite de l'abandon et du
désœuvrement. Ces maux firent môme de plus rapides progrès
quand la vie commença enfin à reprendre. Dans les districts les
plus durement éprouvés surtout, Tctat moral ne bénéficia point
du nouveau régime, qui, en 18IG, supprima d'anciennes entraves,
augmenta brusquement la liberté dans un temps critique, et
nmlliplia ainsi, pour les faibles, les occasions de chute.

A Gjerrestad (d'après une description de cette paroisse et de
ses pasteurs), la contagion fit de grands ravages pendant les
premières années qui suivirent la fondation du nouveau gouver-
nement de la Norvège. Le fait coïncida avec les dernières années
de la vie d'Abel père. Ce réformateur, toujours zélé, toujours
actif, avait même fini par se faire des ennemis dans les contrées
où il avait été reçu d'abord avec tant de dévouement. Il n'en fut
que très affligé, lorsqu'il se vit impuissant à combattre la démo-
ralisation qui croissait sans cesse et qui menaçait même son
foyer.

Le nouveau régime avait, en effet, supprimé certains privilèges
du temps de la domination absolue, et l'on avait commis la
grande imprudence de lâcher soudainement tous les freins. A la
campagne, chacun put maintenant utiliser le produit de ses terres
comme il le jugeait le plus avantageux pour lui, et, bientôt,
l'eau-de-vie du fermier ou de l'habitant d'une simple cabane
devint une valeur d'échange. Le dimanche, quand les paroissiens
se rassemblaient pour entendre le sermon de leur pasteur, celui-ci
put voir de ses yeux ses propres domestiques marchandant la
funeste liqueur devant les portes mômes de son église.

Ces faits déplorables, de grands embarras financiers — qu'aug-
menta, dans ces moments pénibles, l'accroissement que prit sa
famille par la survenancc d'un grand nombre d'enfants, — des

3f)0 APPENDICE. — I XHI.

chagrins, enfin, nés de certaines circonstances domestiques,
finirent par miner la santé d'Abel, et tellement qu'il mourut de
douleur. Dans un poème composé à l'occasion de sa mort, on fait
remarquer que sa vie est une preuve de la grande instabilité de la
fortune.

C'est en 1820 que cet événement se produisit, c'est-à-dire
alors que le second fils, Niels-Henrick, absent de la maison
de son père, n'avait pas quitté l'école de Christiania et n'était
pas encore étudiant. Du coup, toute la famille, si nombreuse,
composée de la mère, de six fils et d'une fille — un des enfants
était môme idiot — tomba dans la plus profonde détresse et fut
dispersée.

La situation du pays avait changé par l'union des Norvégiens
avec un peuple très rapproché d'eux par une commune origine,
mais beaucoup plus nombreux et doté d'institutions toutes diffé-
rentes. D'un côté, un (c peuple de paysans » , de l'autre, une
nation ayant une aristocratie puissante, portant des noms célèbres.
Comme roi futur, devant hériter des deux couronnes, on avait
un ancien républicain, un glorieux maréchal de France. Mais les
intérêts des deux nations étant opposés sur bien des points, on
devait, dans le petit pays, être bien en garde contre d'anciens
désirs, incomplètement satisfaits, qu'on entretenait de l'autre
côté de la frontière. L'on avait à soutenir en même temps une
lutte de plus en plus vive contre une réaction très hostile' aux
nouvelles institutions démocratiques, réaction partant de haut
et encouragée par toute l'Europe réactionnaire.

Toutefois, ce n'était pas là tout ce qu'il y avait de plus grave
dans la situalion, bien qu'on fût obligé de céder sur certains
points. Le danger de perdre, en temps de paix et petit à petit, ce
qu'on avait tout récemment sauvé avec tant de peine, dans les
temps les plus difficiles, ce danger, toujours imminent, main-
tint mieux que toute autre considération l'union de toutes les
forces indépendantes du pays. L'esprit de liberté, source de tant

LA NORVÈGE AU COMMENCEMENT DU XIX" SIÈCLE. 361

de bonnes et grandes choses, en fut constamment tenu on
haleine (').

]\Iais ce qui était pUis inquiétant — du moins pour un avenir
immédiat — ce fut que les finances, dont l'Etat n'était déj.^ que
trop précaire, furent soudainement compromises de la manière
la plus grave. On contraignit, en effet, TÉtat norvégien à se
charger d'une part de la dette du Danemark. Cela se passa
en 18^1.

Un semblable état de choses ne promettait rien de bon, évidem-
ment, pour Tavenir prochain de la nouvelle Université, ni pour
celui d'un jeune savant qui se livrerait à des études très élevées
sans aucun rapport immédiat avec les besoins de la vie de tous
les jours. Et cependant, c'était le moment où un Abel allait
entrer en scène. Il avait bien encore à passer quelques mois à
récole cathédrale; mais, avec toute la fougue de la jeunesse, il
s'était déjà jeté dans de grandes entreprises scientifiques. Il

(*) Il régnait alors dans le pays une sorte d'enthousiasme permanent, qui s'était
emparé même des gens aisés et des fonctionnaires publics. C'est avec ceux-ci en
tète qu'on s'opposa résolument aux propositions du roi faites en vue de refondre
complètement «l'œuvre d'Eidsvold». En cherchant imprudemment à intimider la
nation par des démonstrations militaires devant Christiania, et en défendant de
célébrer l'anniversaire du « jour de la liberté », le gouvernement n'arriva qu'à
exciter davantage un sentiment romanesque, qui, autrement, se serait rapidement
éteint au milieu des préoccupations de la vie pratique.

C'est lorsqu'on lutte en commun pour la liberté et pour l'indépendance nationale,
qu'on possède le mieux ces nobles biens. En ce sens, il y avait une certaine vérité
dans les vers hyperholiqiies qu'on chantait en chœur : « L'oiseau dans les bois et le
floL de la mer du Nord ne sont pas plus libres que l'homme de la Norvège. » On était
oublié du grand monde du dehors, considéré par lui comme des barbares Lapons,
ou, plus généralement encore, confondu avec les frères de l'autre côté de cette
montagne que les géographes ont imaginée sous le nom de « Kjôlen » ; on avait,
en outre, à veiller sans cesse à une nationalité menacée; on n'en était que plus fier
d'appartenir à sa nation, comme le montre bien le fait d'Abel, faisant suivre son
nom du titre de « Norvégien », dans son mémoire à l'Institut.

Il se peut qu'il y eût quelque chose de naïf dans les conceptions et les sentiments
de cette époque de trouble. Il n'en est pas moins sûr qu'il en résulta d'excellentes
choses, que les progrès les plus louables et les plus marqués furent faits dans tous
les sens — même en art, en littérature et en science — par un petit peuple, qui
ne comptait alors que 800,000 habitants, et qui vivait dans un pays désolé.

362 APPENDICE. — I XIII.

s'occupait, depuis longtemps sans doute, du très haut problème
de la résolution des équations du cinquième degré; car, justement
alors, il recevait, par Ilansteen, la réponse de Degen, et il venait
de découvrir la faute qu il avait commise dans la chaîne de ses
raisonnements. Cet échec, quil subissait dans une situation si
désolante, ne devait pas cependant Tarrôter dans la voie des
recherches abstraites; cet échec eut pour tout effet de lui permet-
tre de reprendre le problème à un point de vue nouveau. Bien
plus, Abel s'enfonça de plus en plus dans des études si périlleuses.
La même lettre lui apportait, en effet, les premières indications
et exhortations qui devaient le conduire avant peu à soumettre
les fonctions elliptiques de Legendre à une étude approfondie.

Au mois de juillet de la même année (1821), Tannée, par
conséquent, de la mort de son père, il devint étudiant — mais
après un examen très médiocre, qui ne lui servit pas de recom-
mandation pour l'avenir.

L'époque n'était pas, d'ailleurs, favorable à l'augmentation
rapide du nombre des chaires, surtout de celles qui seraient
réservées aux plus hauts enseignements de l'Université. Quelque
précieuse que dût être cette institution à une nation qui
longtemps avait lutté en vain pour l'obtenir, il fallait attendre.
Il y avait à satisfaire des besoins plus impérieux pour le pays
que ne Tétaient les progrès de la plus haute analyse.

Dans une Université organisée sur un pied modeste, fondée
dans un temps de misère et de dangers, et n'ayant pas encore
plus de dix ans d'existence, si Abel voulait persévérer dans sa
voie^ il fallait qu'il le fît par passion, sans poursuivre d'autre
récompense de ses efforts que la découverte même de la vérité.

L'occasion pouvait se présenter sans doute — vraisemblablement
après une longue série d'années — d'obtenir une place vacante
de professeur de mathématiques à l'Université. Cela arriva même,
en fait, beaucoup plus tôt qu'on n'aurait pu s'y attendre, par suite
de la retraite de Rasmussen. Mais alors ce dont on devait se
préoccuper en première ligne n'était pas de nommer un homme
de grande érudition ou de mérite scientifique exceptionnel.

LA NORVÈGC AU COMMENCEMENT DU XIX" SIÈCLE. 303

Naturellement, comme partout, on eût aimé ;i attacher à TUnivcr-
sité de Giiristiania des savants de cet ordre, distingues comme
professeurs. iMais le besoin le plus pressant était d'avoir, dans
les chaires, des hommes possédant do bonnes et solides connais-
sances, avec ou sans fiicultés brillantes, mais sachant communi-
quer les principes essentiels, et faire en sorte qu'ils fussent
soigneusement cultivés par leurs propres élèves. On devait donc
avoir quelque défiance des étudiants médiocres et des spécialistes,
des personnes qui, comme Abel. ne pouvaient se prévaloir d'une
série complète de bons examens. Les chefs de l'Université, les
hommes érudits, auxquels on confiait l'importante mission d'im-
primer une direction déterminée à l'enseignement supérieur du
pays, recherchaient, en principe, une plus haute instruction
générale et des connaissances classiques plus complètes.

Aucune préoccupation étrangère ne devait donc troubler Abel
dans ses recherches pour découvrir le vrai. Il n'avait pas même
le moindre espoir quelles lui servissent à arriver à une position
dans rUniversité. En cas de vacance d'une chaire, c'était plutôt
son maître Holmboe, qui avait la chance d'être nommé. Aussi
Abel était-il plus libre que personne, tant que les circonstances
devaient lui permettre de continuer des études qu'il lui eût été
si dur d'abandonner avant d'avoir résolu les grands problèmes
qu'il méditait. Et cette liberté, si étendue, multipliait en propor-
tion, pour un chercheur très instruit, sincère, indépendant, sans
préjugés et sans crainte, les chances de rencontrer sur sa voie
quelques profonds secrets de la nature.

S'il fut privé de certains avantages dont jouirent à un plus
haut degré des collègues qui étudièrent et préparèrent leurs
examens dans des Universités étrangères et plus savantes, il en
eut amplement d'autres en compensation. Et ceux-ci, pour un
investigateur doué de ses hautes et rares facultés, durent avoir
sans doute une bien plus grande valeur. Il ne s'attarda point et
ne se gâta pas plus ou moins l'esprit, dans ces études traînantes
par lesquelles on prépare une longue série d'examens, conquiert
ensuite un savant doctorat et finit par emporter une chaire sur

364 APPENDICE. — I XIII.

ses concurrents, grâce à des communications minutieuses. Ces
épreuves sont nécessaires, dans les circonstances courantes, pour
contrôler les capacités et procéder à de bons choix; mais, dans
bien des cas, elles arrêtent les meilleurs. Pour Abel, il n'eut pas
à étudier, surtout, ses examinateurs, leurs spécialités et aussi
leurs faiblesses; à accommoder ses investigations, ses plans de
recherches nouvelles aux exigences ni aux désirs d'autrui; à se
précipiter sur la première petite lacune transcendantale qu'il
pourrait découvrir ou qui lui serait montrée dans telle ou telle
œuvre à la mode, ou encore dans Tensemble des ouvrages de
valeur moyenne qui traitent d'un certain ordre de questions.

Dans des conditions toutes simples et toutes naturelles, en
quelque sorte, il lut de bons auteurs, les meilleurs qu'on puisse
trouver. Bientôt après, un peu étourdiment peut-être, il s'attacha
à de grands et vastes problèmes, qu'il s'agit d'abord de circons-
crire. Mais, en les traitant, il déploya cette sobriété quil admirait
dans les œuvres des maîtres, et qu'il avait vue, on peut le dire,
pratiquée journellement autour de lui par ceux avec lesquels il
avait vécu péniblement depuis sa naissance.

Nous avons essayé de décrire les états successifs que la Norvège
traversa pendant la première jeunesse d'Abel, et jusqu'à l'époque
où il quitta l'école. Nous avons aussi fait connaître quel fut le
triste sort de sa famille.

Dans la suite, soutenu par quelques professeurs d'abord, et
plus tard par l'État lui-même, malgré tous les besoins publics
auxquels il fallait faire face, il continua les études abstraites
qu'il avait entreprises, sur une si vaste échelle avant même d'être
admis à l'Université. Il obtint ensuite du Gouvernement une
bourse, pour faire un voyage d'études de deux ans à l'étranger.
Puis, il retourna dans sa patrie et près de ses pauvres parents.
Son retour eut lieu au mois de mai 1827, par conséquent, six
ans après qu'il eut commencé ses études universitaires.

Mais il revint très endetté, avec une réputation encore modeste,

CONCLUSION. 305

laissant à Paris son plus beau travail. Lorsqu'il comptait sur un
succès, il avait parle à ses amis de ce travail, qui lui avait
roussi si bien; mais maintenant que les plus illustres juges ne
semblaient pas l'apprécier de bien haut, il finit par s'en taire.

A une époque où les grandes plaies de l'État n'étaient pas
encore guéries, quels étaient les devoirs d'un membre du gou-
vernement envers un étudiant qui revenait dans les conditions
où se trouvait Abel, qu'on avait aidé déjà de son mieux, malgré la
pénurie du trésor et qui s'occupait des recherches les plus trans-
cendantes avec ardeur, et aussi avec plus de succès que la masse
des jeunes adeptes de la science?

Tant qu'il n'avait pas donné plus de preuves de son mérite, il
fallait que ce jeune homme s'aidât lui-même, comme tous les
autres; aucune exception ne devait être faite que pour ce qui
était vraiment exceptionnel.

Au reste, ne regrettons pas trop que l'existence d'Abel se soit
passée si tristement. Celui qui, pendant toute sa vie, a dû aller à
une aussi rude école, a le privilège de voir et de penser autrement
que la majorité des hommes; et si, par ses efforts et ses études
profondes, il a acquis le don de lire les pensées des temps à venir,
il ne se fait pas l'illusion d'être compris par les siens ou par ses
contemporains. Mais, quand même le bonheur lui échapperait, il
n'en a pas moins beaucoup vu, et il sait qu'il n'a pas vécu en
vain.

FIN.

TABI.K DES MATIKHES

PRKFACE I

NiELS-IlENRIK AdEL 1

I. L'entrée à l'école et les quatre premières années d'étudiant,

jusqu'au départ de Christiania en 1825 1-32

II. Ditficultés des relations. — Arrivée à Berlin, rencontre avec

Crelle et fondation d'un journal mathématique 33-51

III. Nomination de Holmboe. — La colonie norvégienne. Som-

bres dispositions 52-66

IV. Réilexions et soucis. — Les matériaux amassés. — L'esprit

et la méthode des recherches d Abel 67-77

V. Sur les g-rands travaux qui se préparaient, et sur leurs
liaisons avec les recherches antérieures de Legendre et
les recherches subséquentes de Jacobi 78-85

VI. Abel et Gauss 86-95

VIL Départ; réunion a Dresde 96-101

VllI. Travaux de Paris. — Retour par Berlin. — Situation d'Abel

à sa rentrée dans son pays 102-109

IX. Découverte de Gauss vers le commencement du siècle.
Remarques préliminaires concernant l'idée qu'on s'est
faite de la situation réciproque d'Abel et de Jacobi 110-123

X. La découverte par Abel des fonctions elliptiques. — Les
théorèmes de transformation de Jacobi, et leurs rapports
avec les fonctions elliptiques ainsi qu'avec la théorie
définitive de Legendre 124-145

XL La théorie de la transformation d'Abel : elle est complète
et remonte à une époque plus ancienne. Comment elle a
été préparée, et comment elle prend place organique-
ment dans un plan naturellement conçu ; quel intérêt
historique offre ce plan pour le développement des recher-
ches de Jacobi 146-154

XII. Théorèmes et problèmes. — Nouveaux travaux qui se
préparent, et citation d'un livre manuscrit. — Conclusion
à en tirer 155-167

XIII. Résumé de la situation pendant l'année 1827. — Caractère

différent des études d'Abel et de Jacobi 168-182

XIV. La lutte et la suite du développement des événements,

368 TABLES.

jusqu'à répoqiie où Abel cède la place, et où paraît le

f^rand ouvrage de Jacobi : les Fandamenta nova 183-21 G

XV. Froland et la mort d'Abel 217-248

APPENDICE 249

I. Le départ de Dresde. — Séjour à Prague et à Vienne 251-260

IL Abel à Holmboe 261-267

III. Voyage à Paris. Séjour dans cette ville 268-273

IV. Comment les travaux de Paris forment une série de travaux

ayant leur origine dans ceux qu'Abel rédigea à Christia-
nia, antérieurement à son départ 274-284

V. Abel commence son Mémoire de Paris. Communication à
Crelle et son importance pour le futur travail de l'appli-
cation 285-289

VI. Position d'Abel parmi les savants de Paris 290-301

VIL Achat de livres. Lettre à la sœur d'Abel. Solitude et gêne. 302-308
VIII. Derniers travaux de Paris. — Abel prépare la rédaction de

ses « Recherches sur les fonctions elliptiques » 309-315

IX. Fin du séjour à Paris et sort du mémoire présenté par Abel

à l'Institut 316-322

X. Second voyage à Berlin. — Six semaines d'embarras 322-332

XL Travaux d'Abel à Berlin. Sa 'situation au moment du

retour au pays 333-341

XII. Réunion des œuvres d'Abel dans une première édition, et

publication du Mémoire présenté à l'Académie des Scien-
ces de Paris 342-347

XIII. Remarques finales sur le caractère et la situation de la

société d'où sortit Abel. — État de la Norvège pendant

sa première jeunesse et à son retour de l'étranger 348-365

Bortloaux. — Inip. G. Gounouilhou, rue Guiraude, 11.

Bjerknes

Niels-Henrik Abel

UBRARY